概率論與統計大數定律

概率論與統計大數定律第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五一、問題的提出二、隨機變量序列的收斂性第一節大數定律三、常用的四種大數定律第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五一、問題的提出在第一章有關概率的統計定義中講到,隨機現象在大量重復試驗中呈現明顯的統計規律性,即事件發生的頻率具有穩定性.貝努里于1713年首先提出關于頻率穩定性的定理,被稱為貝努里大數定律.第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五大量拋擲硬幣正面出現頻率生產過程中的廢品率字母使用頻率在實踐中,人們認識到大量測量值的算術平均值也具有穩定性.大數定律就是用于研究大量隨機現象中平均結果的穩定性的理論.大數定律的客觀背景第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五二、隨機變量序列的收斂性

定義4.1的分布函數分別為和若在的所有連續點

上都有

則稱隨機變量序列

依分布收斂與隨機變量Y，簡記為和隨機變量Y

設隨機變量第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五依分布收斂表示：當n充分大時，

的分布函數收斂于Y的分布函數

它是概率論中較弱的一種收斂性.定義4.2任意實數有或和隨機變量Y，若對設隨機變量序列第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五則稱隨機變量序列

依概率收斂與隨機變量Y，簡記為依概率收斂表示：

與Y的絕對誤差小于任意小大，直至趨于1.定理4.1為一隨機變量序列，且

(常數)，又函數

在點C處連續，則有的可能性(即概率)將隨著n增大而愈來愈的正數

設第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五證由

在C處連續可知，對任意實數

存在實數

使當

時，總有

從而這就表明：

第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定義4.3和隨機變量對時，有和

，若

則稱隨機變量序列階收斂于隨機變量Y，簡記為設隨機變量序列

第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五

特別的有1-階收斂又稱為平均收斂，2-階收斂又稱為均方收斂。可以證明：均方收斂則平均收斂。第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五

定義4.4設隨機變量序列和隨機變量，若

或簡記為以概率1（或幾乎處處）收斂于隨機變量簡記為

。則稱隨機變量序列以概率1（或幾乎處處）第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五下面定理揭示了四種收斂之間的關系。。(3)若，則和隨機變量定理4.2設隨機變量序列

(1)若，則(2)若，則。(4)若，則第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定義4.5三、常用的四種大數定理令第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定理4.3切比謝夫大數定律第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五證第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五注1

這種接近是概率意義下的！通俗地說,在定理條件下,n個隨機變量的算術平均值,當n無限增加時,幾乎變成一個常數.第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五2

切比謝夫大數定理的另一種敘述第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五解設X1,X2,,

Xn

是獨立同分布的隨機變量例1第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五從而對任意給定的0,由切比謝夫不等式得第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五解設隨機變量相互獨立,具有如下分布律:問是否滿足切比謝夫大數定理?由題意可知獨立性.可見,每個隨機變量的數學期望都存在.檢驗是否有數學期望例2第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五檢驗是否有有限方差故滿足切比謝夫大數定理的條件.第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定理4.4定理4.5貝努里大數定理第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五證由定理4.3對任意的0,有第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五證畢.第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五注1

用嚴格的數學形式表達頻率的穩定性!當n很大時,事件發生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實際應用中,當試驗次數很大時,便可以用事件發生的頻率來代替事件的概率.第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五都有定理4.6泊松大數定理證令由定理4.3可得結論.第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五注1

與切比謝夫大數定理相比,不要求方差存在且有界.2

貝努里大數定理是辛欽大數定理的特例.定理4.7辛欽大數定理第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五設隨機變量獨立同分布,證明對任意解例3由辛欽大數定理知,第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五設f(x)

(axb)

是連續函數,試用概率論方法近似計算積分.解設|f(x)|的一個上界為M(M>0),f(x)的最小值為h,則故不妨假定0

f(x)1,引進新變量z:x

(ba)za后,可將x軸上的區間[a,b]變為z軸上[0,1],

故不妨設a

0,b

1.例4Oyxy＝f(x)A11第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五考慮幾何型隨機試驗E:向矩形0x1,0y1中均勻分布地擲點,將E獨立地重復做下去,以A表示此矩形中曲線y

f(x)下的區域,即A={(x,y):0yf(x);x[0,1]}并定義隨機變量序列則{Xk:k1}獨立同分布,而且E(Xk)

P(Xk

1)

|A|第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五|A|表示A的面積,由貝努里大數定理知這表示當n充分大時,前n次試驗中落于A中的點數除以n后,以任意接近于1的概率與近似.這種近似計算法叫蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法.第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五四個大數定理內容小結頻率的穩定性是概率定義的客觀基礎,而貝努里大數定理以嚴密的數學形式論證了頻率的穩定性.第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五再見第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五設Xn為獨立同分布的隨機變量序列,其共同分布為例3-1試問Xn是否服從大數定律?即EXn存在,由辛欽大數定律知服從大數定律.解備用題第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五貝努里(JacobBernoulli)1654-1705提出貝努里大數定理,建立了貝努里概型.在無窮級數理論、變分法和概率論等反面都有貢獻.瑞士人,貝努里家族的三大杰出的數學家之一.首先發展無窮小分析,1960年提出懸連線問題,首創積分“integral”這一術語.第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五切比謝夫(PafnutyChebyshev)1821-1894俄國數學家、機械學家.對數論、積分理論、概率論和力學都有很大貢獻.證明了貝爾特蘭公式,關于自然數列中素數分布的定理,大數定律的一般公式以及中心極限定理.創立了