圓的基本性質含答案

1、 圓的基本性質基礎知識回放集合：圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡：1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線垂徑定理:垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論1：（1）平

2、分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即： AB是直徑 ABCD CE=DE 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在O中，ABCD圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 圓周角

3、定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：AOB和ACB是 所對的圓心角和圓周角 AOB=2ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在O中，C、D都是所對的圓周角 C=D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在O中，AB是直徑 或C=90° C=90° AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90°注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：

4、在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理: 弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。即：MN是切線，AB是弦 BAM=BCA切線的性質與判定定理（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：MNOA且MN過半徑OA外端 MN是O的切線（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件 MN是切線 MNOA切

5、線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：PA、PB是的兩條切線 PA=PB PO平分BPA圓內相交弦定理及其推論：（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等即：在O中，弦AB、CD相交于點P PA·PB=PC·PA（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在O中，直徑ABCD （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項即：在O中，PA是切線，PB是割線 （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條

6、割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）即：在O中，PB、PE是割線 弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：（2）扇形面積公式： 中考熱點難點突破例1：如圖1，正方形ABCD是O的內接正方形，點P在劣弧上不同于點C得到任意一點，則BPC的度數是（ ）A B C DODABC例3圖例1圖ABCDEO例2圖例2：如圖，在中，的度數為是上一點，是上不同的兩點（不與兩點重合），則的度數為（ ）ABCD例3：高速公路的隧道和橋梁最多如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，路面=10米，凈高=7米，則此圓的半徑=（）A5 B7 C D試題演練一、選擇題1如圖，AB是O的直徑，弦CDAB

7、于點E，CDB30°,O的半徑為，則弦CD的長為（ ）A B C D第3題圖第4題圖第1題圖第2題圖2如圖，ABC內接于O，若OAB28°，則C的大小為（ ）A28° B56° C60° D62°3如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E,CDB30°, O的半徑為，則弦CD的長為（ ）A B CD4如圖，弦CD垂直于O的直徑AB，垂足為H，且CD，BD，則AB的長為（ ）A2 B3 C4 D55ABC中，ABAC，A為銳角，CD為AB邊上的高，I為ACD的內切圓圓心，則AIB的度數是（ ） A120° B125&#

8、176; C135° D150°6如圖，O是ABC的外接圓，AB是直徑若BOC80°，則A等于（ ）A60° B50° C40° D30°第6題圖第7題圖第8題圖第9題圖BCDA7如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣弧），其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為( )A5米 B8米 C7米 D5米 8一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（ ）A0.4米B0.5米 C0.8米D1米9如圖，在RtABC中，C90°，AB10，若以點C為圓心，

9、CB長為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC的長等于（ ）AB5 C D610.如圖，A、D是O上的兩個點，BC是直徑，若D 35°，則OAC的度數是（ ）A35° B55° C65° D70° 第10題圖第11題圖第12題圖第13題圖二、填空題11如圖，AB是O的直徑，C是O上一點，BOC44°，則A的度數為 12如圖，點在以為直徑的上，則的長為 13.如圖，AB是O的直徑，點C在O上 ，ODAC，若BD1，則BC的長為 .14如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，E為上一點，若CEA，則ABD°. 第14題圖第15題圖第16

10、題圖第17題圖15如圖，AB為O的直徑，CD為O的弦，ACD42°，則BAD _°.16如圖，點C、D在以AB為直徑的O上，且CD平分，若AB2,CBA15°，則CD的長為 17已知O的直徑AB8cm，C為O上的一點，BAC30則BC_cm.18如圖所示，、是圓上的點，則 度第18題圖第20題圖 19. 在O中，弦AB的長為6，它所對應的弦心距為4，那么半徑OA 20如圖，ABC內接于O，ABBC，ABC120°，AD為O的直徑，AD6，那么BD_三、解答題21如圖，AB為O直徑，BC切O于B，CO交O交于D，AD的延長線交BC于E，若C = 25

11、76;，求A的度數22如圖，AB是OD的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F，且AEBF，請你找出線段OE與OF的數量關系，并給予證明23如圖，P為正比例函數圖象上的一個動點，P的半徑為3，設點P的坐標為（，） （1）求P與直線相切時點P的坐標； （2）請直接寫出P與直線相交、相離時的取值范圍 四、解答題（每小題8分，共24分）24從衛生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4cm×11cm，如圖甲用尺量出整卷衛生紙的半徑（）與紙筒內芯的半徑（），分別為5.8cm和2.3cm，如圖乙那么該兩層衛生紙的厚度為多少cm？（取3.14，結果精確到0.001cm）圖 圖25如圖

12、，A是半徑為12cm的O上的定點，動點P從A出發，以cm/s的速度沿圓周逆時針運動，當點P回到A地立即停止運動（1）如果POA90o，求點P運動的時間；（2）如果點B是OA延長線上的一點，ABOA，那么當點P運動的時間為2s時，判斷直線BP與O的位置關系，并說明理由26如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），試驗證點D是否在經過點A、B、C的拋物線上；（3）在（2）的條件下，求證直線CD是M的切線五、解答題（每小題8分，共16分）27如圖，圖是一個小朋友玩“滾鐵環”的游戲。鐵

13、環是圓形的，鐵環向前滾動時，鐵環鉤保持與鐵環相切將這個游戲抽象為數學問題，如圖已知鐵環的半徑為5個單位（每個單位為5cm），設鐵環中心為O，鐵環鉤與鐵環相切點為M，鐵環與地面接觸點為A，MOA，且（1）求點M離地面AC的高度MB（單位：厘米）；（2）設人站立點C與點A的水平距離AC等于11個單位，求鐵環鉤MF的長度（單位：厘米）28圖是用鋼絲制作的一個幾何探究具，其中ABC內接于G，AB是G的直徑，AB6，AC3現將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖），然后點A在射線OX由點O開始向右滑動，點B在射線OY上也隨之向點O滑動（如圖），當點B滑動至與點O重合時運動結束（1）試說明在運動過

14、程中，原點O始終在G上；（2）設點C的坐標為（，），試求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在整個運動過程中，點C運動的路程是多少？圖 圖 圖參考答案中考效能測試1B 【解析】本題考查同弧所對的圓周角和圓心角的關系及垂徑定理的應用.因為300，所以600，所以在直角中，根據勾股定理可得，所以23 cm.2D【解析】本題考查了圓周角和圓心角的有關知識。根據圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，所以AOB=2C。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=28°, AOB=124°，所以C=62°.故選D.3【解析】本題考查同弧所對的圓周角

15、和圓心角的關系及垂徑定理的應用.因為300，所以600，所以在直角中，根據勾股定理可得，所以23 cm. 4B 【解析】由垂徑定理，可得DH=,所以BH=又可得DHBADB.,所以有.本題考查了垂徑定理及相似三角形判定與性質。5C【解析】由CD為腰上的高,I為ACD的內心，則IAC+ICA=,所以又可證AIBAIC,得AIB=AIC=。6C【解析】考查圓周角定理.同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，所以A是BOC的一半，答案為C.7B【解析】本題主要考查直角三角形和垂徑定理的應用。因為跨度AB=24m，拱所在圓半徑為13m，所以找出圓心O并連接OB，延長CD到O，構成直角三角形

16、，利用勾股定理和垂徑定理求出DO=5，進而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故選B。8D【解析】考查點：本題考查圓的垂徑定理和解直角三角形的有關知識。解題思路：根據題意，我們可以通過添加輔助線得到如下圖形：AOBCD設圓的半徑為R，則OA=R，由垂徑定理可得AC=，OC=R-0.2，在中，利用勾股定理可得：，解得R=0.5，故該圓的直徑為（米）。9A【解析】本題考查圓中的有關性質，連接CD，C90°，D是AB中點，AB10，CDAB5，BC5，根據勾股定理得AC，故選A10B【解析】本題考查同弧所對的圓周角和圓心角的關系。法1：在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角是圓角角的2倍，所以

17、2700，而中，所以，而18001100，所以550.法2：因為是直徑，所以900，則900，而中，所以，而350，從而問題得解。1122°【解析】本題考查了圓周角和圓心角的有關知識。根據圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，所以本題的答案為。125【解析】因為AB是圓的直徑，則它所對的圓周角為直角，又，根據在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，則BC=5。132【解析】本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質.因為AB是直徑,所以它所對的圓周角為直角,再根據兩條直線平行,同位角相等,所以ODBD,根據垂徑定理,可知,D為BD的中點,所以BC=2BD=

18、2.1428【解析】本題綜合考查了垂經定理和圓周角的求法及性質。由垂徑定理可知弧AC=弧AD，又根據在同圓或等圓中相等的弧所對的圓周角也相等的性質可知ABD=28°.解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解。1548【解析】連接OD，根據同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半可得，,又因OD=OA，所以。16【解析】本題考查了垂徑定理的基本圖形.連接OC，過點O作OE，使OECD，垂足為點E，因為ABC=15°，OB=OC，所以OCB=15°，OCE=BCD-OBC=45°-15°=30°，在RtOCE中，CE=OC×cos30°=1×,所以CD=.174【解析】本題考察的是圓周角定理.根據直徑所對的圓周角為直角可以得到C為直角.再根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半,所以BC=AB=4cm.1830【解析】1=A+B, B=30°,又C=B=30°.（同弧所對的圓周角相等）本題主要考查同弧所對的圓周角相等及三角形的外角的性質.有的同學會錯誤地應用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半從而得到C=1=35°.195【解析】本題考查垂徑定理與勾股定理。如圖，在O中，AB=6，OCAB