清華大學傳熱學課件-傳熱學-5-2

1、5-3 邊界層換熱微分方程組的解邊界層換熱微分方程組的解 邊界層概念邊界層概念（Boundary layer）： 當粘性流體流過物體表面時，會形成速度梯度很大當粘性流體流過物體表面時，會形成速度梯度很大 的的流動邊界層流動邊界層；當壁面與流體間有溫差時，也會產；當壁面與流體間有溫差時，也會產 生溫度梯度很大的生溫度梯度很大的溫度邊界層（或稱熱邊界層）溫度邊界層（或稱熱邊界層） 一、流動邊界層一、流動邊界層（Velocity boundary layer） 1904年，德國科學家普朗特年，德國科學家普朗特 L.Prandtl 由于粘性作用，由于粘性作用， 流體流速在靠近流體流速在靠近 壁面處隨離

2、壁面壁面處隨離壁面 的距離的縮短而的距離的縮短而 逐漸降低；逐漸降低；在貼在貼 壁處被滯止，處壁處被滯止，處 于無滑移狀態于無滑移狀態 從從 y=0、u=0 開始，開始，u 隨隨 著著 y 方向離壁面距離的方向離壁面距離的 增加而迅速增大；經過增加而迅速增大；經過 厚度為厚度為 的薄層，的薄層，u 接接 近主流速度近主流速度 u y = 薄層薄層 流動邊界層流動邊界層 或或速度邊界層速度邊界層 邊界層厚度邊界層厚度 定義：定義：u/u =0.99 處離壁的距離為邊界層厚度處離壁的距離為邊界層厚度 ?。嚎諝馔饴悠桨?，?。嚎諝馔饴悠桨?，u =10m/s： mm5 . 2 ;mm8 . 1 2001

3、00 mmxmmx 邊界層內邊界層內：平均速度梯度很大；：平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大處的速度梯度最大 由牛頓粘性定律：由牛頓粘性定律： 邊界層外邊界層外： u 在在 y 方向不方向不 變化，變化， u/ y=0 流場可以劃分為兩個區：流場可以劃分為兩個區：邊界層區邊界層區與與主流區主流區 邊界層區邊界層區：流體的粘性作用起主導作用，流體的運動：流體的粘性作用起主導作用，流體的運動 可用粘性流體運動微分方程組描述（可用粘性流體運動微分方程組描述（N-S方程）方程） 主流區主流區：速度梯度為：速度梯度為0， =0；可視為無粘性理想流體；可視為無粘性理想流體； 歐拉方程歐拉方程 y u

4、 速度梯度大，粘滯應力大速度梯度大，粘滯應力大 粘滯應力為零粘滯應力為零 主流區主流區 邊界層概念的基本思想邊界層概念的基本思想 流體外掠平板時的流動邊界層流體外掠平板時的流動邊界層 臨界距離臨界距離：由層流邊：由層流邊 界層開始向紊流邊界界層開始向紊流邊界 層過渡的距離，層過渡的距離，xc 平板：平板： 湍流邊界層：湍流邊界層： 臨界雷諾數臨界雷諾數：Rec c c c xu xu Re 粘性力 慣性力 565 105Re ;103103Re cc 取 粘性底層粘性底層（層流底層層流底層）：緊靠壁面處，粘滯力會占絕對）：緊靠壁面處，粘滯力會占絕對 優勢，使粘附于壁的一極薄層仍然會保持層流特征

5、，具優勢，使粘附于壁的一極薄層仍然會保持層流特征，具 有最大的速度梯度有最大的速度梯度緩沖區；緩沖區； 湍流核心湍流核心 流動邊界層的幾個重要特性流動邊界層的幾個重要特性 (1) 邊界層厚度邊界層厚度 與壁的定型尺寸與壁的定型尺寸L相比極小，相比極小， ?！啊?相當于相當于 例：例：二維、穩態、強制對流、層流、忽略重力二維、穩態、強制對流、層流、忽略重力 u沿邊界層厚度由沿邊界層厚度由0到到u : 由連續性方程：由連續性方程： ) 1 (O uu ) 1 (O l u x u y v )(O v 2 2 2 2 y t x t y t v x t ucp )() )() 2 2 2 2 2 2

6、 2 2 y v x v y p F y v v x v u y u x u x p F y u v x u u y x （ （ x u 0 y v (a) 0 y v x u (b) )() 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u （ (c) )() 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u （ 1 1 ）（）（ 22 1 1 1 1 1 1 1 1 ）（）（ 22 2 1 1 1 1 2 1 0 y v x u 2 2 ) y u x p y u v x u u （ (d) )() 2 2 2 2 y t x t y t v x t uc p

7、（ ）（）（ 22 1 1 1 1 1 1 1 1 2 t 2 2 ) y t y t v x t uc p （ 表明：邊界層內的壓力梯度僅沿表明：邊界層內的壓力梯度僅沿 x 方向變化，而邊方向變化，而邊 界層內法向的壓力梯度極小。界層內法向的壓力梯度極小。 邊界層內任一截面壓力與邊界層內任一截面壓力與 y 無關而等于主流壓力無關而等于主流壓力 )(O y p ) 1 (O x p dx dp x p dx du u dx dp 由上式： 2 2 ) y u x p y u v x u u （ )(O y p 可視為邊界層的又一特性可視為邊界層的又一特性 層流邊界層對流換熱微分方程組：層流邊界

8、層對流換熱微分方程組： 0 y v x u 2 2 1 y u dx dp y u v x u u 2 2 y t a y t v x t u dx du u dx dp 00 dx dp dx du ，則若 3個方程、個方程、3個未知量：個未知量： u、v、t 對于外掠平板的層流流動對于外掠平板的層流流動: 2 2 y t a y t v x t u 此時動量方程與能量方程的形式完全一致此時動量方程與能量方程的形式完全一致: 0 , dx dp constu 2 2 y u y u v x u u 動量方程： 表明：表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規律相似此情況下動量傳遞與熱量傳遞規律相似

9、特別地：特別地：對于對于 = a 的流體（的流體（Pr=1），速度場與），速度場與 無量綱溫度場將完全相似無量綱溫度場將完全相似 并且并且 = t 為了分析與計算的方便，可將方程式寫成無量綱形式為了分析與計算的方便，可將方程式寫成無量綱形式 wf w tt tt u v V u u U u p P l y Y l x X ; ; ; ; ; 2 0 Y V X U 2 2 Re 1 Y U dX dP Y U V X U U 2 2 PrRe 1 Y Y V X U Pr) Re, , ,(Pr) Re, , , , ,( Re); , ,( Re); , ,( 33 21 YXfVUYXf

10、YXfVYXfU Re 雷諾數雷諾數 Reynolds Pr 普朗特普朗特數數 Prandtl 四、外掠平板層流換熱邊界層微分方程式分析解簡述四、外掠平板層流換熱邊界層微分方程式分析解簡述 0 y v x u 2 2 y t a y t v x t u 2 2 y u y u v x u u xw w x y t tt h , 求解的具體過程可參見教科書求解的具體過程可參見教科書 p.337附錄附錄15 0 y v x u(a) xw w x y t tt h , (d) 2 2 y t a y t v x t u (c) 2 2 y u y u v x u u (b) 求解的基本方法：求解的

11、基本方法：引進引進 3 個無量綱變量個無量綱變量 （ 、f( )、 ） (1) 把偏微分方程把偏微分方程 (b)、(c) 轉換為常微分方程轉換為常微分方程 (2) 分別求出邊界層內的速度場、溫度場分別求出邊界層內的速度場、溫度場 (3) 由式由式 (d) 獲得局部表面傳熱系數獲得局部表面傳熱系數 3 個無量綱變量個無量綱變量 （ 、f( )、 ）: x u y 無量綱離無量綱離 壁距離壁距離 xu f )( 無量綱無量綱 流函數流函數 w w tt tt )( 無量綱溫度無量綱溫度 3 個無量綱變量個無量綱變量 （ 、f( )、 ）: x u y 無量綱離無量綱離 壁距離壁距離 xu f )(

12、 無量綱無量綱 流函數流函數 w w tt tt )( 無量綱溫度無量綱溫度 流函數流函數 x v y u ; 動量微分方程與能量微分方程（常微分方程）：動量微分方程與能量微分方程（常微分方程）： )()( 2 1 );( ff x u x vfu y u 2 2 y t a y t v x t u 2 2 y u y u v x u u 0)()( 2 1 )( fff 0)()(Pr 2 1 )( f 經過推導，得：經過推導，得： 0 )( 2 1 0 )( 2 1 0 0 )( de de f u u df df 結果綜述：結果綜述： 1、從動量方程和連續性方程可解得速度場：、從動量方程

13、和連續性方程可解得速度場： 0.99 =5.0 x u 0 . 5 u x 0 . 5 21 Re0 . 5 x x 注：邊界層內注：邊界層內v 0 21 , Re332. 0 2 x xf C xu x Re 2 2 ,x ,w u C y u xf 經過推導，得：經過推導，得： de de df df 0 )( 2 Pr 0 )( 2 Pr 0 0 de df 0 )( 2 Pr 0 0 1 2、從能量微分方程可解得不同、從能量微分方程可解得不同 Pr 下的溫度下的溫度場：場： 0.99 熱邊界層厚度隨熱邊界層厚度隨Pr增大而減小增大而減小 xw w x y t tt h , 10)Pr(

14、0.6 Pr332. 0 31 0 波爾豪森（波爾豪森（1921）：）： xw y , x u y 對長度為對長度為 l 的常壁溫平板，通過積分可得平均值：的常壁溫平板，通過積分可得平均值： ;PrRe332. 0 3121 xx x h 3121 PrRe332. 0Nu x x x xh ;PrRe664. 0 1 3121 0 l l x l dxh l h 3121 PrRe664. 0Nu l hl number) (Prandtl Pr普朗特數 p c a 流體動量擴散能力與熱量擴散能力之比流體動量擴散能力與熱量擴散能力之比 反映流體物性對換熱的影響反映流體物性對換熱的影響 ）努謝

15、爾特數（numberNusslet Nu hl 反映對流換熱過程的強度反映對流換熱過程的強度 各準則中的物性均采用邊界層平均溫度作為定性溫度各準則中的物性均采用邊界層平均溫度作為定性溫度 2 fw m tt t 3、由上式：流體物性以、由上式：流體物性以 Pr1/3影響換熱；被實驗證實影響換熱；被實驗證實 ;PrRe332. 0 3121 xx x h 3121 PrRe332. 0Nu xx ;PrRe664. 0 3121 l l h 3121 PrRe664. 0Nu l 4、對于、對于Pr=1的流體，無量綱速度場和溫度場的分布的流體，無量綱速度場和溫度場的分布 曲線完全一致；而且曲線完全一致；而且 = t ；對于；對于Pr 1的的流體：流體： 31 Pr t