河北省承德市高新區第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試數學試卷（含解析）

河北承德市高新區第一中學2024--2025學年第二學期期中考試高一數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若將函數的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將圖象向右平移個長度單位，則所得到的曲線的解析式為（）A. B. C. D.2.已知點，，且，則點的坐標為（）A. B. C. D.3.在中，已知，判斷的形狀（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形4.如圖，四邊形中，為線段的中點，為線段上靠近的一個四等分點，則（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數（，），滿足，將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，若的圖象關于直線對稱，則的取值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，在中，，，為上一點，且，若，，則的值為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是()A.在△ABC中，若CA→+CB→=2B.已知A，B，C是平面內任意三點，則ABC.若O，A，B，C是同一平面上的四個點，若OA→=λOB→+1-λOCD.若GA→+GB→+10.若的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結論正確的是（）A.角C為鈍角 B.

C. D.的最小值為11.衢州市柯城區溝溪鄉余東村是中國十大美麗鄉村，也是重要的研學基地，村口的大水車，是一道獨特的風景.假設水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心O距離水面2米，水輪每60秒按逆時針轉動一圈，如果水輪上點P從水中浮現時（圖中）開始計時，則（）A.點P第一次達到最高點，需要20秒B.當水輪轉動155秒時，點P距離水面2米C.在水輪轉動的一圈內，有15秒的時間，點P距水面超過2米D.點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數解析式為三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.＝________.13.函數f(x)＝sinxcosx－ln|x|的零點個數為________．14.已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，點E是邊CD上的一點，設AE→在AC→上的投影向量為a→，且滿足a→=34AC→，則CE→等于；延長線段AE至點F，使得四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題13分）已知是同一平面內的兩個向量，其中且（1）若求的坐標；（2）若求與的夾角.16.(本小題15分）已知向量，．（1）若，，求的值；（2）設函數，求圖像的對稱中心坐標，并寫出的圖像經過怎樣的平移變換，可以得到一個奇函數的圖像（寫出一種變換方式即可）．17.(本小題15分）已知．（1）求函數的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）求的單調增區間；（3）當時，求函數的最大值和最小值．18.(本小題17分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若的角平分線交AC于點D，，，求BD；（3）若的外接圓的半徑為，求的取值范圍．19.(本小題17分）用高中所學知識解決下列問題：如圖正方形的邊長為分別為上動點，且的周長為2.（1）求的最小值；（2）證明：為定值，并求出該定值；（3）設的面積為，求的最小值.參考答案：1.【答案】A【解析】將函數的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，得，再將圖象向右平移個長度單位，根據函數圖象平移中，“左加右減”法則，得到的曲線的解析式為，對應選項A.2.【答案】A【解析】已知點A3,-2，B-5,-1，且設點P坐標為x,y，則AP→=x-3,y+2由AP→=1從而x-3=-4，y+2=12，解得x=-1，y=-32，故點3.【答案】D【解析】由正弦定理(為外接圓的半徑)，得，,則由，得，即，即，所以.因為,是三角形內角，所以，即，所以為等腰三角形.對應選項D.4.【答案】D【解析】由題意因為，為線段的中點，則．5.【答案】A【解析】由3sinα+cos根據二倍角公式，cos2α+π36.【答案】C【解析】當時，，當時，，因為函數在上存在最值，所以，解得，因為函數在上單調，所有，所以其中，所以，所以，解得，又因為，則，當時，；當時，；當時，．又因為，所以的取值范圍是.7.【答案】B【解析】由f(0)=3，代入f(x)=22sin?φ=3又|φ|<π2，所以φ=πf(x)圖象向右平移π6個單位得到g(x)=2因為g(x)的圖象關于直線x=3對于y=Asin?(αx+β)，其對稱軸滿足αx+β=π2+kπ,k∈Z，則ω(3π4-8.【答案】C【解析】在中，因為，所以，，所以，即，因為，所以，因為三點共線，所以，解得，所以，而，所以，又，，，則.9.【答案】ABC【解析】在△ABC中，若CA→+CB→=2由三角形法則可知，AB→由OA→=λOB所以CA→=λCB→，則A，若GA→+GB當D為AB中點時，有GA→+GB所以G為△ABC的重心，故D錯誤.10.【答案】ABC【解析】對于A選項，因為，，所以，即，所以，又因為，所以必為鈍角，故A正確；對于B選項，由余弦定理知，，化簡得，故B正確；對于C選項，因為，所以，故C正確；對于D選項，因為，所以，因為是鈍角，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時取得最大值，故D錯誤.11.【答案】ABD【解析】設點P距離水面的的高度為h（米）和t（秒）的函數解析式為，由題意，解得，則，當t=0時，h=0，故D正確。令得t=20秒，故A正確；當t=155秒時，米，故B正確，令解得，故有30秒的時間，點P距水面2米，故C錯誤。12.【答案】【解析】＝＝＝＝sin30°＝.13.【答案】2【解析】因為f(x)＝sinxcosx－ln|x|＝sin2x－ln|x|，所以函數f(x)的零點個數為函數y＝sin2x與y＝ln|x|圖象的交點的個數，如圖所示，由圖知，零點的個數為2.14.【答案】1-【解析】過點E作ET⊥AC于點T，因為a→=34AC→，故故CE→以AC中點為坐標原點，AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，A-3，0，E因為AE→=2EF解得u=5故F5設Hm，33故FH=m-故當m=7316時，FH15.【答案】解：（1）設，因為，所以，因為，所以，聯立，解得或，所以或.（2）由題，因為，所以，即，所以，即，所以.又，所以.16.【答案】解：（1）由，可得，整理得，即，因為，所以，所以，則．因為的對稱中心是，所以令，，解得，．所以圖像對稱中心坐標是，，令，可得的圖像的一個對稱中心坐標是，所以將的圖像向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，就可以得到一個奇函數的圖像．17.【答案】解：（1）最小正周期T=2對稱軸為，所以，所以對稱軸方程為.（2）單調增區間為：，所以，所以的單調增區間為.（3）當時，，所以，所以，當，即時取得最大值，當，即時取得最小值，所以當時，函數的最大值為，最小值為.18.【答案】解：（1）因為，所以可得，由正弦定理(為外接圓的半徑)，得，因為，所以，且，所以.（2）因為是的角平分線，所以，因為，則，即，整理得，則．（3）因為，且，所以,由正弦定理可得，則，，則，又因為，所以，即，故的取值范圍為.19.【答案】(1)解：設∠QPA=θ，θ∈(0,在△APQ中，根據三角函數關系可得AP=PQcos?θ，已知△APQ的周長為2，即PQsin?θ+PQcos?θ+PQ=2，提取公因式PQ可得根據輔助角公式asin?α+bcos?α=a2+b2因為θ∈(0,π2)，所以θ+當sin?(θ+π4)=1，也就是θ=π(2)證明：設∠PCB=α，∠QCD=β，其中在正方形ABCD中，根據正切函數定義，PB=tan?α，DQ=tan?β，那么根據兩點間距離公式，PQ=(1-由于△APQ的周長為2，則2=1-tan?α+1-tan等式兩邊同時平方并化簡得到tan?α+根據兩角和的正切公式tan?(A+B)=tan?A+因為0<α<π2，0<β<π2，所以那么∠PCQ=