廣東省茂名市某校2024-2025學(xué)年高三臨門一腳數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年高考臨門一腳試題數(shù)學(xué)一、單選題1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)化簡(jiǎn)后，再利用模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.無(wú)法確定，與有關(guān)【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求得，再應(yīng)用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】由題，則，所以.故選：C4.如圖，，是棱長(zhǎng)為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先還原幾何體，然后根據(jù)三棱錐表面積的求法求得正確答案.【詳解】還原正方體如下圖所示，，，，所以四面體的表面積為.故選：B5.某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，利用不等式性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知，，根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項(xiàng)沒(méi)有足夠證據(jù)論證.故選：C.6.設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋渲校之?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，所以，則，.故選：B7.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，再借助，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合，即可作出判斷.【詳解】求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)，，當(dāng)時(shí)，，可作出圖象：所以當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可知，，所以恒有，故B正確，由于，，所以，故C錯(cuò)誤，故選：B.8.若能被整除，則的最小正整數(shù)取值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】將合理變形，再利用二項(xiàng)式定理展開，進(jìn)而得到的取值即可.【詳解】由題意得,，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，而，得到，故，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，若使最小，則滿足，解得，故C正確.故選：C二、多選題9.擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，下列統(tǒng)計(jì)情況中，可能有出現(xiàn)過(guò)點(diǎn)數(shù)1的有（）A.平均數(shù)為4，中位數(shù)為5 B.平均數(shù)為4，眾數(shù)為3C.平均數(shù)為4，方差為1.6 D.平均數(shù)為5，標(biāo)準(zhǔn)差為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)特征的定義，舉例說(shuō)明AD正確，推導(dǎo)出數(shù)據(jù)的矛盾說(shuō)明BC錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，例如：1，4，5，5，5.故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楸姅?shù)為3，則點(diǎn)數(shù)3至少出現(xiàn)2次，如果點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)1次，那么剩下的2次都取最大點(diǎn)數(shù)6，平均數(shù)還是小于4，所以不可能出現(xiàn)過(guò)點(diǎn)數(shù)1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為4，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，則，即方差不可能為1.6，所以不可能出現(xiàn)過(guò)點(diǎn)數(shù)1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，例如：1，6，6，6，6.故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B.是的一個(gè)周期C.在上為增函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式證明，結(jié)合偶函數(shù)定義可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以的一個(gè)周期是，故B正確；對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋睿瑒t，求導(dǎo)得，由于，所以，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值.因?yàn)椋裕矗蔇正確.故選：ABD.11.已知是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若對(duì)任意的，總存在，使得，則稱是“可分等比數(shù)列”，則（）A.不是“可分等比數(shù)列” B.是“可分等比數(shù)列”C.若是“可分等比數(shù)列”，則 D.若是“可分等比數(shù)列”，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取，則不存在，使得；對(duì)于B，取，則不存在，使得；對(duì)于C，D根據(jù)“可分等比數(shù)列”的定義，用反證法證明即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋圆淮嬖谡麛?shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)A正確：對(duì)于B，若，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以不存在正整數(shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則有，所以不存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椋裕矗伦C：對(duì)任意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．反證法：假設(shè)存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，取滿足條件的最小正整數(shù)，此時(shí)有，使得且，則，即，即與矛盾．所以對(duì)任意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，下證：．由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪ⅲ苑弦螅虎诋?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，不符合題設(shè)要求．綜上，，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD.三、填空題12.若直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個(gè)取值為__________．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)求出的范圍，進(jìn)而求出離心率的范圍，在該范圍內(nèi)取一個(gè)值即可.【詳解】的漸近線為，且焦點(diǎn)在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個(gè)取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).13.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1，余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列為2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“楊輝三角”確定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，從而得到的最大值.【詳解】依據(jù)“楊輝三角”的分布規(guī)律及可知最后一個(gè)出現(xiàn)在第行的第個(gè)數(shù)，去掉所有之后是第行第個(gè)數(shù)，所以的最大值為，故答案為：.14.一個(gè)四面體有五條棱的棱長(zhǎng)為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，取（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球半徑，求出的值，可求出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)，即為所求.【詳解】設(shè)，則和都是正三角形．取的中點(diǎn)，連接、，取（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)為的外心，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，因?yàn)楹投际钦切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫驗(yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫鐖D，則，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則，如圖，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的圓心，是外接球的半徑．設(shè)外接球的半徑為，則，可得，所以，，，，所以，，故，又因?yàn)椋裕剩床煌谖鍡l棱的棱的棱長(zhǎng)為．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題15.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用正弦定理將邊化角后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，再得出的值；方法二：利用余弦定理將角化邊，得出，消去，得出結(jié)果.（2）方法一：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉(zhuǎn)化成，利用余弦定理得出，解方程得出再計(jì)算得出周長(zhǎng)；方法二：利用，得出，由，得出，解方程得出，再計(jì)算得出周長(zhǎng)；方法三：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出，再計(jì)算得出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】方法一：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫瑒t，所以，因?yàn)樵谥校?方法二：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫裕虼耍驗(yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】方法一：由已知條件得.在利用余弦定理得.所以，由余弦定理得，所以，因此，所以的周長(zhǎng)為.方法二：因?yàn)椋裕虼耍裕钟捎嘞叶ɡ淼茫裕裕郑裕缘闹荛L(zhǎng)為.方法三：在和分別利用余弦定理可得，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長(zhǎng)為.16已知某校有甲，乙兩支志愿服務(wù)隊(duì)，甲隊(duì)由3名男生和3名女生組成，乙隊(duì)由4名男生和1名女生組成．（1）先從兩隊(duì)中選取一隊(duì)，選取甲隊(duì)的概率為，選取乙隊(duì)的概率為，再?gòu)脑撽?duì)中隨機(jī)選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；（2）在某次活動(dòng)中，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì)，記為乙隊(duì)中男生與女生人數(shù)之差，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為3【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可計(jì)算結(jié)果.（2）由題意可知的取值為1，3，5，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出期望．【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件A為“選甲隊(duì)”，事件B為“選乙隊(duì)”，事件C為“選中男生”則【小問(wèn)2詳解】，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì),X的可能取值為1、3、5，則,,故的分布列為：X135P數(shù)學(xué)期望為17.如圖，在三棱錐中，，，平面平面，．（1）證明：；（2）若為的垂心，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，易得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量及，再應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，由，所以，都在平面內(nèi)，則平面，由平面，故；【小問(wèn)2詳解】由（1），易知兩兩垂直，如下圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，而，則，且，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取的中點(diǎn)，又，所以，為的垂心，則在上，設(shè)，則，故，而，所以，可得，故，所以與平面所成角的正弦值.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）記較小的一個(gè)零點(diǎn)為，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分和求解；（2）（i）由（1）知，且最小值為小于0即可得的取值范圍；（ii）結(jié)合（i）知，要證，即，分和進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】（i）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)；若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞增.因?yàn)椋慕饧癁?綜上所述，的取值范圍是.（ii）因?yàn)椋桑Y(jié)合（i）知，要證，即證，即，當(dāng)時(shí)，因，，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，由得.即證.即證.即證.設(shè)，，由，所以在單調(diào)遞增.所以，故原不等式成立.所以.19.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且滿足.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，直線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).拋物線在，處的切線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線，分別交直線KD，于點(diǎn)，.（i）求證：點(diǎn)為定點(diǎn)；（ii）記，的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）144【解析】【分析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立方程組，由求解即可；（2）（i）由題知直線斜率必存在，設(shè)，，，直線斜率必存在，設(shè)，分別聯(lián)立方程組，由得解；（i