湖北省黃岡市八模2025屆高三模擬測試（八） 數學試卷（含解析）

2025屆湖北省黃岡市八模高三模擬測試（八）數學試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B．5 C． D．3．已知函數的導數為，且，則（

）A． B． C．1 D．4．已知數列是等差數列，且，則（

）A．0 B． C． D．5．已知雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，且滿足，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．6．如圖，某沙漏是由兩個形狀完全相同的圓錐容器組成．已知最初沙漏中細沙全部在上部容器時，其高度為圓錐高度的一半，假設細沙全部漏入下部容器中，將細沙搖勻，此時細沙堆成如圖所示的一個圓臺．若圓錐容器的高為，則此圓臺的高為（

）

A． B． C． D．7．已知為數列的前n項和，且，若對任意正整數n恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數的定義域為，是奇函數，的導函數為，且，則（）A． B． C． D．2二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．已知數據的極差為6，方差為2，則數據的極差和方差分別為，B．一組數的平均數為，若再插入一個數，則這個數的方差變大C．若隨機變量，則D．若隨機變量，且，則10．設函數，，則下列結論正確的是（

）A．，在上單調遞減B．若且，則C．若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的函數為奇函數11．如圖是底面半徑為1，高為2的圓柱體，正六邊形ABCDEF內接于底面圓O，P是上底面圓周上一動點，則下列說法正確的是（

）A．平面B．存在點P，使得C．當與平面所成的角最大時，三棱錐的外接球的體積為D．若M為的中點，則三棱錐的體積的最大值為三、填空題12．若為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第六十百分位數，則二項式的展開式的常數項為.13．已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點處的切線互相垂直，則實數.14．已知函數，其中.若方程有且只有一個解，則實數的取值范圍是.四、解答題15．在中，角，，的對邊分別為，，，已知且.（1）求角；（2）若為的中點，求線段長的取值范圍.16．圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.（1）證明：平面平面；（2）棱上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.17．某學校為了推選一名羽毛球選手參加市級聯賽，對成績都非常優秀的甲、乙兩名選手進行了五輪綜合測試，測試成績如下（分數越高，代表打球水平越好）．第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪甲的分數7.27.37.687.9乙的分數66.39.59.27（1）根據以上信息，結合概率統計知識，你傾向于選派哪一名選手參加比賽？說明理由．（2）若甲、乙兩名選手進行對抗賽，由于兩人實力相當（即甲、乙在每一局比賽中獲勝的概率均為），特制訂如下規則：當其中一人比另一人多勝兩局或比賽局數達到20局時，比賽結束．假設每局比賽互不影響，求比賽結束時比賽局數的數學期望．18．已知函數．(1)求曲線y=fx在處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)設函數．證明：存在實數，使得曲線y=gx關于直線對稱.19．定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓，已知橢圓的相似橢圓為（且）.（1）求證：橢圓與橢圓的離心率相等；（2）直線、與橢圓均有且只有一個公共點，且、的斜率之積為，求證：、的交點在橢圓的相似橢圓上；（3）若為橢圓上異于左、右頂點、的任意一點，直線與橢圓交于、兩點，直線與橢圓交于、兩點，試探究的值是否為定值，若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】因為對數函數是上的增函數，所以由，得，則；因為指數函數是上的減函數，所以由，得，則，由此，.故選B.2．【答案】A【詳解】設，則，由，得，即，所以，所以，解得，所以，故選A．3．【答案】B【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選B4．【答案】A【詳解】由等差數列公式得：，所以，所以.故選A.5．【答案】D【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，易知.又，解得.所以，所以的離心率為.故選D.6．【答案】D【詳解】方法1：由題可得，根據相似比，細沙的體積占圓錐容器體積的，即細沙堆成的圓臺的體積占圓錐容器體積的，所以圓臺上方的空白小圓錐體積占圓錐容器體積的，因此圓臺上方的空白小圓錐的高為，則圓臺的高為．方法2：設圓錐的底面半徑為，圓臺的上底面半徑為，圓臺的高為，如圖所示，

由相似比可得，，即．所以，所以，整理得，即，所以.故選D.7．【答案】D【詳解】數列中，，當時，，即，當時，，解得，則數列是以2為首項，2為公比的等比數列，因此，，依題意，對任意正整數n恒成立，令，由，得，即數列單調遞減，則，于是，所以實數的取值范圍是.故選D8．【答案】A【詳解】由，得，因為是奇函數，所以也是奇函數，所以，，又，所以，即，所以，所以8是的一個周期，所以，由得，由得，又，所以，所以，即，所以，所以8也是的一個周期，所以，得，所以，所以.故選A.9．【答案】AD【詳解】對于A選項，數據的極差為6，則數據的極差為，數據的方差為2，則數據的方差為，故A正確；對于B選項，由題意可知，若再插入一個數，則平均數變為，即平均數不變，而原來的數據的方差為，同理可算得新數據的方差為，所以方差會變小，故B錯誤；對于C選項，若隨機變量，則，故C錯誤；對于D選項，若隨機變量，且，則，故D正確.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】，對于A，，當時，，由復合函數、正弦函數單調性可知在上單調遞減，故A正確；對于B，若且，則，故B錯誤；對于C，若，則，若在上有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當時，是奇函數，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABC【詳解】A.由正六邊形的性質得，，∵平面，平面，∴平面，選項A正確.B.當平面時，由平面得，故存在點P，使得，選項B正確.C.由為圓直徑得，.當平面時，由平面得，∵平面，，∴平面，此時與平面所成的角最大，為，記圓柱上下底中心連線的中點為，則，故為三棱錐的外接球的半徑，∵，∴，∴三棱錐的外接球的體積為，選項C正確.D.由題意得，.∵在底面圓上，點到的距離最大，為，∴當平面時，點到平面的距離的最大值為，三棱錐的體積最大，此時體積，選項D錯誤.故選ABC.12．【答案】【詳解】因為為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第六十百分位數，又，所以，所以的展開式的通項為（且），令，解得，所以展開式的常數項為.13．【答案】【詳解】由拋物線的對稱性，如圖，不妨設交點為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.14．【答案】【詳解】如圖，作出函數的圖象，令，則，當時，由，得或，即或，若方程只有一個解，則，解得，若方程只有一個解，則，解得，此時方程必有解，與題意矛盾，所以，當時，由，得，即，令，解得，要使方程只有一個解，則，解得，綜上所述，a的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，所以；（2）點為的中點，則，，因為，由（1）可知，即，因為，當且僅當時，等號成立，故，求出，當且僅當時，等號成立，故，當且僅當時，等號成立，故，又，故，故，即的取值范圍為.16．【答案】（1）證明見解析（2）存在，且點為線段靠近的三等分點【詳解】（1）取的中點為，連接、，作圖如下：因為四邊形是邊長為正方形，所以，，在中，，則，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）易知是以為斜邊的等腰直角三角形，且為的中點，則，又因為平面，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、，設，則，設，，可得，解得，所以，則，，設平面的法向量，可得，令，則，，所以平面的一個法向量，由圖易知平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，化簡可得，解得或（舍去），所以存在滿足題設條件的點，點為線段靠近的三等分點.17．【答案】（1）選擇甲，理由見解析；（2）.【詳解】（1）設甲、乙兩名選手的平均成績分別為，，方差分別為，，，．，，顯然，，所以傾向于選派甲參加比賽.（2）設比賽結束時比賽局數為隨機變量X，由比賽結束的條件“當其中一人比另一人多勝兩局或比賽局數達到20局時，比賽結束”，得比賽局數X的取值只能為偶數，即X的可能值為：2，4，6，…，20，，當時，說明前兩局二人各勝一局，然后第三局和第四局均為甲勝或均為乙勝，前兩局二人各勝一局的概率為，則，當時，雙方前兩局，前四局，…，前局的勝負局數均相同，且第局，第X局均為甲勝或乙勝，設，則，顯然也滿足上式，當時，說明雙方前兩局、前四局、一直到前十八局的勝負局數均相同，因此，于是X的分布列為X2468…1820P…數學期望，即，因此，兩式相減得，所以.18．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）求出切點，求導，由導數的幾何意義得到切線斜率，進而得到切線方程；（2）求定義域，求導，分，兩種情況，得到函數的單調性；（3）求的定義域，根據對稱得到，再得到，從而得到關于直線對稱.【詳解】（1）切點為,因為，所以切線的斜率為，所以曲線在處的切線方程為，化簡得.（2）由題意可知，則Fx的定義域為，，，當時，，則Fx在上單調遞減；當時，令，即，解得，若，；若，，則Fx在上單調遞減，在上單調遞增,綜上所述，當時，Fx在上單調遞減；當時，Fx在上單調遞減，在上單調遞增.（3）證明：函數，函數的定義域為．若存在，使得曲線y=gx關于直線對稱，則關于直線對稱，所以，由，可知曲線y=gx關于直線對稱．19．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）是定值，且定值為【詳解】（1）對于橢圓，則，，，所以，橢圓的離心率為，對于橢圓