高中數學 第三章 導數應用 3.2導數在實際問題中的應用 3.2.2.1 函數的最值優質課件 北師大版選修2-2

1、12 2.2 2最大值、最小值問題2第1 1課時函數的最值31.理解函數最值的概念,了解其與函數極值的區別與聯系.2.會求某閉區間上函數的最值.41.最大值與最小值的有關概念函數y=f(x)在區間a,b上的最大值點x0指的是:函數在這個區間上所有點的函數值都不超過f(x0).最大值或者在極大值點取得,或者在區間的端點取得.因此,要想求函數的最大值,應首先求出函數的極大值點,然后將所有極大值點與區間端點的函數值進行比較,其中最大的值即為函數的最大值.在實際問題中,一般可以通過函數的單調性和問題的實際意義確定最大值.函數的最小值點也具有類似的意義和求法.函數的最大值和最小值統稱為最值.5【做一做1

2、】 下列說法正確的是()A.若函數在其定義域內有最值與極值,則其極大值就是最大值,極小值就是最小值B.閉區間上圖像連續不斷的函數一定有最值,也一定有極值C.若函數在其定義域上有最值,則一定有極值,反之,若有極值則一定有最值D.若函數在給定區間上有最值,則最多有一個最大值,一個最小值,但若有極值,則可以有多個極值甚至無窮多個答案:D62.求y=f(x)在區間a,b上的最值的步驟(1)求f(x)在區間(a,b)內的極值:求導數f(x),求方程f(x)=0的全部實根,檢查f(x)在方程f(x)=0的根左、右兩側的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這

3、個根處取得極小值.(2)將f(x)的各個極值與f(a),f(b)比較,確定f(x)的最大值與最小值.7【做一做2】 函數f(x)=2x3-3x2-12x+5在區間0,3上的最大值和最小值分別是()A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16解析:由f(x)=6x2-6x-12=0,得x=-1或x=2.因為x0,3,易知x=2為函數的極小值點.所以由f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4,得f(x)在區間0,3上的最大值為5,最小值為-15.答案:A8題型一題型二題型三9題型一題型二題型三10題型一題型二題型三反思反思如果函數f(x)在給定閉區間上連續可導,那么必有最大值和最

4、小值.因此,在求閉區間a,b上函數的最值時,只需求出函數f(x)在開區間(a,b)內的極值,然后與端點處的函數值比較即可.11題型一題型二題型三12題型一題型二題型三【例2】 已知a是實數,函數f(x)=x2(x-a),求f(x)在區間0,2上的最大值.13題型一題型二題型三反思反思由于參數取值范圍的不同會導致函數在所給區間上的單調性發生變化,從而導致最值發生變化,因此在解決這類問題時常需要分類討論.14題型一題型二題型三15題型一題型二題型三16題型一題型二題型三17題型一題型二題型三18題型一題型二題型三反思1.“恒成立”問題向最值問題轉化是一種常見的題型,一般可采用分離參數法進行轉化.f

5、(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.對于不能分離參數的恒成立問題,直接求含參函數的最值即可.2.處理此類問題時要特別注意“最值能否取到”和“不等式中是否含等號”的情況,以此來確定參數能否取得區間端點值.19題型一題型二題型三【變式訓練3】 已知函數f(x)=2x3-9x2+12x+8c.(1)若對任意的x0,3,都有f(x)c2成立,求c的取值范圍;(2)若對任意的x(0,3),都有f(x)0;當x(1,2)時,f(x)0.當x=1時,f(x)取極大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8cf(1),x0,3時,f(x)的最大值為f(3)=9+8c.對任意的x0,3,有f(x)c2恒成立,9+8cc2,即c9.故c的取值范圍為(-,-1)(9,+).(2)由(1)知,f(x)0時,f(x)=ex-10,當x0時,f(x)=ex-10,即函數f(x)在x=0處取得極小值,f(0)=1.又f(-1)= ,f(1)=e-1,綜合比較得函數f(x)=ex-x在區間-1,1上的最大值是e-1.故選D.答案:D221 2 3 4 52函數f(x)=x3-3x(|x|1)()A.有最大值,但無最小值B.有最大值,也有最小值C.無最大值,但有最小值D.既無最大值,也無最小值解析:f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當x(-1,