2024學(xué)年北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一次月考卷（解析版）

2024學(xué)年北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一次月考卷（范圍：三角形的證明、一元一次不等式和一元一次不等式組，時(shí)間：120分鐘，滿分：120分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的底角為（

）A． B． C．或 D．不能確定【答案】B【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，注意等腰三角形的底角必為銳角．由等腰三角形的兩底角相等可得，內(nèi)角為的角只能是頂角求解即可；【詳解】解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，底角度數(shù)為：；故選：B．2．“x的一半與1的差是非負(fù)數(shù)”用不等式可以表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可直接列不等式．【詳解】解：由題意，得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意．3．如圖，中，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，，則的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得，則可得，再根據(jù)即可求解，熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分，，，，，，，，，故選A．4．下列說法不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可解答；【詳解】A、兩邊同時(shí)加上2得，，不等號(hào)的方向不變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、兩邊同時(shí)乘以得，，不等號(hào)的方向改變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、若，當(dāng)時(shí)，，原說法不正確，故選項(xiàng)符合題意；D、，兩邊同時(shí)除以2，則，不等號(hào)的方向不變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．5．關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則m的值是（

）．A．3 B． C．0 D．2【答案】A【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集，求出不等式的解集即可．【詳解】解：解不等式得：，由數(shù)軸可得不等式的解集為：，則．故選：A6．如圖，是等邊的中線，作，交的延長線于點(diǎn)．若，則長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，求出，推出，進(jìn)而求出的長即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：是等邊三角形，，，是等邊的中線，，，，，，，，，，故選：A．7．若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，分別求出不等式組中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式組的解集，根據(jù)解集中整數(shù)解有個(gè)，可得到的范圍是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式組的解集為，∵不等式組的整數(shù)解有3個(gè)，∴得到整數(shù)解為，，，∴m的范圍為．故選：B．8．如圖，中，，交于E，C為上一點(diǎn)，．若，則的長為（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求得，再求得，，從而求得，根據(jù)證明，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，∴，，∵，垂足為，∴，∴，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，而，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B．9．如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C．關(guān)于x的方程的解是 D．關(guān)于x的不等式的解集是【答案】D【分析】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)問題，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，和一次函數(shù)圖象的解析式，再結(jié)合圖形分析即可求解，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，把交點(diǎn)代入一次函數(shù)中得，，解得，，∴，把點(diǎn)代入一次函數(shù)圖象得，，根據(jù)一次函數(shù)的圖象可得，，故A，B選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．10．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，、交于點(diǎn)，．為的角平分線，點(diǎn)在的延長線上，，連接、．①；②；③；④；其中說法正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．證明，從而得出，即可判斷①；作交的延長線于，作于，可證明，得到，，，即可證明得到，從而得出是等邊三角形，即可判斷②；由，若，則，從而，這與相矛盾，即可判斷③；根據(jù)④，，，即可判斷④．【詳解】解：①是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，故①正確，符合題意；②如圖，作交的延長線于，作于，，，，為的角平分線，，，，，，，，，在和中，，，，，，，由①知，，，，，即，在和中，，，，，，即，是等邊三角形，，故②正確，符合題意；③由②知，，若，則，從而，這與相矛盾，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④，，，即，，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的有①②④，故選：A．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.11．不等式的負(fù)整數(shù)解有個(gè)．【答案】5【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的負(fù)整數(shù)即可．【詳解】解：不等式的解集為：，不等式的負(fù)整數(shù)解有：，故答案為：512．一個(gè)直角三角形，有一個(gè)銳角是，另一個(gè)銳角是°．【答案】【分析】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟記相關(guān)結(jié)論即可.【詳解】解：∵直角三角形的兩個(gè)銳角互余，∴另一個(gè)銳角是，故答案為：13．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)、分別表示數(shù)2，，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)數(shù)軸得到不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸得到關(guān)于的不等式，然后解不等式即可．【詳解】解：由題意可知，解得，故答案為：．14．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，解一元一次不等式組，熟記各象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：①第一象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)>0，縱坐標(biāo)>0；②第二象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)<0，縱坐標(biāo)>0；③第三象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)<0，縱坐標(biāo)<0；④第四象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)>0，縱坐標(biāo)<0．根據(jù)第四象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的符號(hào)，解不等式組即可求得．【詳解】點(diǎn)在第四象限，，解不等式①，得解得:，解不等式②，得：．故答案為：．15．如圖，已知是平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，垂足為，且，，則的面積等于．【答案】18【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，先得出，證明，再求出，得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，∵，∴，∵是平分線上一點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是平分線上一點(diǎn)，，，∴，∴的面積．故答案為：18．16．定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為倍角三角形．若在一個(gè)倍角三角形中，，則其最小的內(nèi)角度數(shù)為．【答案】/30度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目定義進(jìn)行計(jì)算即可；靈活運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵三角形中，，∴設(shè)為最小內(nèi)角，則或或當(dāng)時(shí)，，最小內(nèi)角為；當(dāng)時(shí)，，最小內(nèi)角為；當(dāng)時(shí)，，最小內(nèi)角為；∴最小的內(nèi)角為；故答案為：．17．若數(shù)a既使得關(guān)于的二元一次方程組有正整數(shù)解，又使得關(guān)于x的不等式組的解集為，那么所有滿足條件的a的值之和為．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解一元一次不等式，先解二元一次方程組可得：，再解一元一次不等式組，從而可得，進(jìn)而可得：，然后根據(jù)已知二元一次方程組有正整數(shù)解，從而可得是正整數(shù)且也是正整數(shù)，進(jìn)而可得，或，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，解得：，∵二元一次方程組有正整數(shù)解，∴是正整數(shù)且也是正整數(shù)，∴，或，∴所有滿足條件的a的值之和，故答案為：．18．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，在斜邊上有一動(dòng)點(diǎn)．從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s，連接，若為等腰直角三角形，則的值為．【答案】或/或【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．分和，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：∵，，是的中點(diǎn)，∴，由題意，得：，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，由勾股定理，得：，∴（負(fù)值舍去）；②當(dāng)時(shí)，則：，∴，由勾股定理，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；綜上：或．故答案為：或．三、解答題（一）：本大題共4小題，每小題6分，共24分.19．解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查解一元一次不等式組、數(shù)軸，先求得每個(gè)不等式的解集，然后求它們的公共部分即為不等式組的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上，注意端點(diǎn)是空心還是實(shí)心．【詳解】解：解不等式組，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，將解集表示在數(shù)軸上，如圖：．20．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定以及的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)定理求出兩個(gè)三角形全等即可；（2）求出，，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)∴∵∴∵平分，，∴，∴；（2）∵，，∴．21．學(xué)校為舉行社團(tuán)活動(dòng)，準(zhǔn)備向某商家購買甲，乙兩種文化衫，已知甲種文化衫每件定價(jià)40元，乙種文化衫每件定價(jià)30元，學(xué)校決定向該商家購買甲，乙兩種文化衫共100件（其中甲種文化衫不超過50件），恰逢商家搞促銷，現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，方案一：甲種文化衫按標(biāo)價(jià)八折出售，乙種文化衫按標(biāo)價(jià)四折出售；方案二：購買一件甲種文化衫送一件乙種文化衫．根據(jù)以上信息，請(qǐng)通過計(jì)算說明，學(xué)校按照哪種方案購買更劃算．【答案】當(dāng)時(shí)，選擇方案一購買更劃算：當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案購買所需費(fèi)用一樣；當(dāng)時(shí)，選擇方案二購買更劃算【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)購買甲種文化衫x件，則購買乙種文化衫件，表示出兩種方案需要的費(fèi)用，然后列不等式，解不等式即可．【詳解】解：設(shè)購買甲種文化衫x件，則購買乙種文化衫件，依題意得：方案一所需費(fèi)用為：元，方案二所需費(fèi)用為：元，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，答：綜上所述，當(dāng)時(shí)，選擇方案一購買更劃算：當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案購買所需費(fèi)用一樣；當(dāng)時(shí)，選擇方案二購買更劃算．22．如圖，四邊形中，，平分，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，根據(jù)角的性質(zhì)得出，進(jìn)而求證，得出，即可求證；（2）通過證明，得出，設(shè)，列出方程，求出x的值，即可求解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，由（1）可得：，∴，設(shè)，∴，解得：，∴．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分.23．如圖，是的角平分線，，分別是和的高．(1)試說明垂直平分；(2)連接交于點(diǎn)，若，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由高的定義得，，從而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再證明得，根據(jù)線段垂直平分線的判定即可得解；（2）由三角形的內(nèi)角和得，從而根據(jù)角平分線的定義得，然利用直角三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：∵，分別是和的高，∴，，又∵是的角平分線，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴垂直平分．（2）解：，理由如下：∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、三角形的判定及性質(zhì)以及高的定義，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．24．為了實(shí)現(xiàn)縣域教育均衡發(fā)展，某縣計(jì)劃對(duì)，兩類學(xué)校分批進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)預(yù)算，改造一所類學(xué)校和兩所類學(xué)校共需資金萬元，改造兩所類學(xué)校和一所類學(xué)校共需資金萬元．(1)改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元？(2)該縣計(jì)劃今年對(duì)、兩類學(xué)校共所進(jìn)行改造，改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)．若今年國家財(cái)政撥付的改造資金不超過萬元，地方財(cái)政投入的改造資金不少于萬元，其中地方財(cái)政投入到、兩類學(xué)校的改造資金分別為每所萬元和萬元，請(qǐng)你通過計(jì)算求出改造方案？【答案】(1)改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是，萬元；(2)改造類學(xué)校所，改造類學(xué)校所．【分析】（）根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可；（）列出不等式組，再解即可；此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組和不等式組．【詳解】（1）解：設(shè)改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是，萬元，由題意得：，解得，答：改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是，萬元；（2）設(shè)改造類學(xué)校所，則改造類學(xué)校所，由題意得：，解得，∵為正整數(shù)，∴，∴，故改造類學(xué)校所，改造類學(xué)校所．25．如圖，中，，，，點(diǎn)在直線的左側(cè)且．(1)求證：是直角三角形；(2)若在邊上，求的長；(3)若直線的右側(cè)存在一點(diǎn)，且平分，，當(dāng)最大時(shí)，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，（2）根據(jù)三角形的面積，求出的長即可．（3）畫出圖像，證明，當(dāng)A，B，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，代入求值即可．【詳解】（1）證明：∵，，∵，∴，∴是直角三角形．（2）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴．（3）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A，B，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，由（2）知：，，∴，∵，∴．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.26．定義：若一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱此一元一次方程為此一元一次不等式組的子方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因，故方程是不等式組的子方程．．(1)在方程①，②，③中，不等式組的子方程是（填序號(hào)）；(2)若不等式組的一個(gè)子方程的解為整數(shù)，則此子方程的解是；(3)若方程，都是關(guān)于x的不等式組的子方程，求m的取值范圍．【答案】(1)③(2)或(3)【分析】本題主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“子方程”的定義和解一元一次不等