2025屆西藏自治區拉薩市高三下學期第二次聯考（二模）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1西藏自治區拉薩市2025屆高三下學期第二次聯考（二模）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件：．故選：A．2.復數的實部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，故的實部為．故選：A．3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因為，所以成立.即必要性成立.若，取，，則不成立.即充分性不成立.故選:.4.若首項為1的數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.5.已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象下移1個單位長度，所得函數圖象的對稱中心為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知得，由圖可知，即，由，即，則，代入最高點，則，得，又，故，所以，將的圖象下移1個單位長度，得到函數的圖象，令，得，所以對稱中心.故選：A.6.函數的單調遞增區間為（）A. B.C D.【答案】B【解析】由且，得，即或，所以函數的定義域為，因為在上單調遞減，在上單調遞增，又函數為增函數，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，又函數為增函數，所以函數的單調遞增區間為.故選：B.7.如圖，四邊形中，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，則，由余弦定理可得，所以，解得．故選：B．8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若以為直徑的圓與以點為圓心、為半徑的圓相切于點，且點在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由兩圓的圓心分別為，.且圓的半徑為，，可得點在以為直徑的圓內，且兩圓內切，所以點為的中點，所以，，所以圓的半徑為3，即，所以，解得，，所以的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某新能源汽車4S店2024年3月到12月連續10個月的銷量依次為（單位：輛）：，，則關于這組數據的結論正確的是（）A.極差為24 B.平均數為28C.眾數為25 D.中位數為25【答案】ABC【解析】此4S店連續10個月的銷量（單位：輛）從小到大排列為，則極差為，眾數為25，平均數為，由題意，所以這組數據的中位數為，故ABC正確，D錯誤.故選：ABC.10.已知，，均為單位向量，且，則（）A. B.C.當實數變化時，的最小值是 D.若，則【答案】ACD【解析】由.得.解得（舍去）或.因為、均為單位向量.則，故正確.，故錯誤.，當且僅當時取等號，故正確.由.則，所以，整理得，即.故正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數，滿足，，且．則（）A.的圖象關于點對稱B.是周期函數C.在上單調遞增D【答案】ABD【解析】在①中，用代替，得，因，則②，①②兩式相加可得，因此的圖象關于點對稱，故A正確；由A選項可知，又為偶函數，則，所以，可得，則，所以，即是以8為周期的周期函數，故B正確；對于C，易知，則，又，所以，則，故C錯誤；對于D，因，則，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊過點，則_____．【答案】【解析】因為角的終邊過點，所以，，所以．故答案為：13.若的展開式中，二項式系數之和與系數之和相等，則_____．【答案】或1【解析】由題知二項式系數之和為，令，系數之和為．取，得，所以，解得或1．故答案為：或114.已知三棱錐的所有頂點都在體積為的球的表面上，點在棱上，長為4的正三角形，則三棱錐的體積為________.【答案】【解析】如圖，因為點在上，三棱錐的所有頂點都在球的表面上.所以為球的直徑，，則由球的體積為，得.因為.過點作于.連接，又與全等.則，，.所以的面積.因為，，，且平面，則平面，所以三棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）若，求的單調區間；（2）若在區間上有2個極值點，求實數的取值范圍．解：（1）依題意，，，，故當時，，當時，，故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．（2）依題意，，令，得，令，故問題轉化為在區間上有兩個不等的變號零點，故解得，綜上所述，實數的取值范圍為．16.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，其中為線段的中點，點在線段上，且四點共面.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為平面平面，平面平面，平面平面，故.而平面平面，故平面.（2）解：取的中點，連接，易知兩兩相互垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，由于，所以，由為中點，故為中點，故，.設平面的法向量為，則，即，令，則，故，設直線與平面所成的角為，則.17.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國出生人數y（單位：萬人）與年份代碼x的統計數據：年份代碼x12345出生人數y12001062956902954（1）根據上表數據求得y關于x的經驗回歸方程為，求x與y的相關系數r，并判斷該經驗回歸方程是否有價值：（若，則認為經驗回歸方程有價值）（2）從表中第2行的5個數據中任取3個數據，記取到大于1000的數據個數為X，求X的分布列與期望．參考數據與公式：回歸方程中，相關系數．解：（1）由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，因為經驗回歸方程為，所以，所以，所以．因為，所以該經驗回歸方程有價值．（2）X的取值依次為0，1，2，，所以X的分布列為X012P所以．18.已知數列滿足．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和．（1）證明：因為，所以，且，所以數列是首項為、公比為的等比數列．（2）解：由（1）知，，所以，所以，兩式相減得，所以．19.已知橢圓，直線經過的上頂點及右焦點．（1）求的方程；（2）若直線與交于點，，且直線與交于另外一點．（ⅰ）若，求直線的方程；（ⅱ）判斷直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．解：（1）因為直線經過的上頂點及右焦點，所以上頂點坐標為，，令得，所以，，所以的方程為．（2（ⅰ）由（1）得，直線斜率一定存在，設其方程為，設，，則，由得，所以，，所以，解得，，所以直線的方程為或．（ⅱ）直線方程為，由對稱性易知若直線過定點，則該定點在軸上，令，得，所以直線過定點．西藏自治區拉薩市2025屆高三下學期第二次聯考（二模）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件：．故選：A．2.復數的實部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，故的實部為．故選：A．3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因為，所以成立.即必要性成立.若，取，，則不成立.即充分性不成立.故選:.4.若首項為1的數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.5.已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象下移1個單位長度，所得函數圖象的對稱中心為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知得，由圖可知，即，由，即，則，代入最高點，則，得，又，故，所以，將的圖象下移1個單位長度，得到函數的圖象，令，得，所以對稱中心.故選：A.6.函數的單調遞增區間為（）A. B.C D.【答案】B【解析】由且，得，即或，所以函數的定義域為，因為在上單調遞減，在上單調遞增，又函數為增函數，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，又函數為增函數，所以函數的單調遞增區間為.故選：B.7.如圖，四邊形中，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，則，由余弦定理可得，所以，解得．故選：B．8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若以為直徑的圓與以點為圓心、為半徑的圓相切于點，且點在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由兩圓的圓心分別為，.且圓的半徑為，，可得點在以為直徑的圓內，且兩圓內切，所以點為的中點，所以，，所以圓的半徑為3，即，所以，解得，，所以的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某新能源汽車4S店2024年3月到12月連續10個月的銷量依次為（單位：輛）：，，則關于這組數據的結論正確的是（）A.極差為24 B.平均數為28C.眾數為25 D.中位數為25【答案】ABC【解析】此4S店連續10個月的銷量（單位：輛）從小到大排列為，則極差為，眾數為25，平均數為，由題意，所以這組數據的中位數為，故ABC正確，D錯誤.故選：ABC.10.已知，，均為單位向量，且，則（）A. B.C.當實數變化時，的最小值是 D.若，則【答案】ACD【解析】由.得.解得（舍去）或.因為、均為單位向量.則，故正確.，故錯誤.，當且僅當時取等號，故正確.由.則，所以，整理得，即.故正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數，滿足，，且．則（）A.的圖象關于點對稱B.是周期函數C.在上單調遞增D【答案】ABD【解析】在①中，用代替，得，因，則②，①②兩式相加可得，因此的圖象關于點對稱，故A正確；由A選項可知，又為偶函數，則，所以，可得，則，所以，即是以8為周期的周期函數，故B正確；對于C，易知，則，又，所以，則，故C錯誤；對于D，因，則，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊過點，則_____．【答案】【解析】因為角的終邊過點，所以，，所以．故答案為：13.若的展開式中，二項式系數之和與系數之和相等，則_____．【答案】或1【解析】由題知二項式系數之和為，令，系數之和為．取，得，所以，解得或1．故答案為：或114.已知三棱錐的所有頂點都在體積為的球的表面上，點在棱上，長為4的正三角形，則三棱錐的體積為________.【答案】【解析】如圖，因為點在上，三棱錐的所有頂點都在球的表面上.所以為球的直徑，，則由球的體積為，得.因為.過點作于.連接，又與全等.則，，.所以的面積.因為，，，且平面，則平面，所以三棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）若，求的單調區間；（2）若在區間上有2個極值點，求實數的取值范圍．解：（1）依題意，，，，故當時，，當時，，故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．（2）依題意，，令，得，令，故問題轉化為在區間上有兩個不等的變號零點，故解得，綜上所述，實數的取值范圍為．16.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，其中為線段的中點，點在線段上，且四點共面.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為平面平面，平面平面，平面平面，故.而平面平面，故平面.（2）解：取的中點，連接，易知兩兩相互垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，由于，所以，由為中點，故為中點，故，.設平面的法向量為，則，即，令，則，故，設直線與平面所成的角為，則.17.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國出生人數y（單位：萬人）與年份代碼x的統計數據：年份代碼x12345出生人數y12001062956902954（1）根據上表數據求得y關于x的經驗回歸方程為，求x與y的相關系數r，并判斷該經驗回歸方程是否有價值：（若，則認為經驗回歸方程有價值）（2）從表中第2行的5個數據中任取3個數據，記取到大于1000的數據個數為X，求X的分布列與期望．參考數據與公式：回歸方程中，相關系數．解：（1）由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，因為經驗回歸方程為，所以，所以，所以．因為，所以該經驗回歸方程有價值．（2）X的取值依次為0，1，2，，所以X的分布列為X012P所以．18.已知數列滿足．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和．（1）證明：因為，所以，且，所以數列是