壓軸訓練：全等三角形（多解、動點、新定義型壓軸）（原卷版）

全等三角形壓軸訓練（多解、動點、新定義型壓軸）題型一利用三角形全等求時間或線段長的多解問題例題：（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動點P以的速度從點A出發沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發．連接，當動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．鞏固訓練1．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，在長方形中，，，延長到點E，使，連接，動點P從點B出發，以每秒的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，若與全等，則t的值為．2．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·階段練習）如圖，垂足為C，射線，垂足為B，動點P從C點出發以的速度沿射線運動，點N為射線上一動點，滿足，隨著P點運動而運動，當點P運動時間t為秒時，與點P、N、B為頂點的三角形全等（）．3．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）如圖，，垂足為點A，射線，垂足為點B，，．動點E從A點出發以的速度沿射線運動，動點D在射線上，隨著E點運動而運動，始終保持．若點E的運動時間為，則當t=秒時，與全等．4．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，的兩條高與交于點O，，．F是射線上一點，且，動點P從點O出發，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，同時動點Q從點A出發，沿射線以每秒3個單位長度的速度運動，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當與全等時，則秒．題型二與全等三角形有關的多結論問題例題：（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，在和中，與相交于點，與相交于點，與相交于點，，，．給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（

）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④鞏固訓練1．（23-24七年級下·四川巴中·期末）如圖，在中，點M，N分別是邊上的點，且M，N兩點滿足，交于點P，過點P作交延長線于點Q，交于點F，與交于點E，若，則下列結論：①連接，則平分；②；③；④．成立的是（

）．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）如圖所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，則下列四個結論：①，②，③，④，其中正確的結論有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④3．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，高與角平分線相交于點，的平分線分別交，于點，，連接，下列結論：①；②；③；④，其中所有正確結論的序號是（

）A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④題型三全等三角形中的動點最值問題例題：（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，鈍角的面積為12，最長邊，平分，點M、N分別是上的動點，則的最小值是．鞏固訓練1.（23-24七年級下·廣東河源·期末）如圖，點P是的平分線上一點，于點B，且，，點E是上的一動點，則的最小值為．

2.（23-24八年級上·河北唐山·期末）如圖，中，，用尺規作圖法作出射線，交于點，，為上一動點，則的最小值為．題型四全等三角形中的動點綜合問題例題：（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）在小學，我們知道正方形具有性質“四條邊都相等，四個內角都是直角”，請適當利用上述知識，解答下列問題：已知：如圖，在正方形中，，點G是射線上的一個動點．以為邊向右作正方形，作于點H．(1)填空：；(2)若點G在點B的右邊．①求證：；②試探索：的值是否為定值，若是，請求出定值：若不是，請說明理由．鞏固訓練1．（22-23七年級下·安徽宿州·期末）在中，，點是射線上的一動點（不與點、重合），以為一邊在的右側作，使，，連接．(1)如圖1，當點在線段上，且時，那么度；(2)設，．①如圖2，當點在線段上，時，請你探究與之間的數量關系，并證明你的結論；②如圖3，當點在線段的延長線上，時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時與之間的數量關系（不需證明）．2．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知在中，，，．點D為邊上一點，且，過點B作射線，動點E從點B出發，以1個單位/秒的速度沿射線的方向運動，連接．(1)如圖1，當時，線段與相等嗎?請說明理由．(2)當線段與的其中一邊垂直時，求出點E運動的時間t的值．3．（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）已知：中，為直線上一動點，連接，在直線右側作，且．(1)如圖1，當點在線段上時，過點作于，求證：；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，連接交直線于點．試探究與的數量關系，并說明理由．(3)當點在射線上時，連接交直線于點，若，求的值．題型五全等三角形中的新定義型綜合問題例題：（23-24七年級下·遼寧本溪·期末）新定義：如果兩個三角形不全等但面積相等，那么這兩個三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點，若與是積等三角形，求的長；【理解運用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段的長度為正整數，求的長．【綜合應用】（3）如圖3，在中，過點C作，點是射線上一點，以為邊作，連接．請判斷與是否為積等三角形，并說明理由．鞏固訓練1．（2024八年級下·全國·專題練習）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數量關系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數為時，分別取，的中點，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．2．（23-24七年級下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數量關系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點E，點C關于直線對稱點為點F，連接，，且，求證：．3．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）【閱讀理解】定義：在同一平面內，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】

(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是；(2)若是的“邊垂角”，則與的數量關系是；(3)若是的“邊垂角”，且．①如圖2，已知，交于點E，點C關于直線對稱點為點F，連接，，且，，求證：；對于上述問題，小明有這樣的想法：在上截取，連接，如圖3．你明白小明的做法嗎？接下來請你求證．②如圖4，若，直接寫出四邊形ABDC的面積．4．（22-23七年級下·江蘇淮安·階段練習）我們定義：如圖1，在中，把繞點A順時針旋轉α()得到，把繞點A逆時針旋轉β得到，連接．當時，我們稱是的“旋補三角形”，邊上的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

(1)【探索一】如圖1，是的“旋補三角形”，是的“旋補中線”，探索與的數量關系．在探索這個問題之前，請先閱讀材料：【材料】如圖2在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．是這樣