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試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁瀘州市二○二五年初中學業水平考試數學試題全卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．全卷滿分120分．考試時間共120分鐘．注意事項：1．答題前，請考生務必在答題卡上正確填寫自己的姓名、準考證號和座位號．考試結束，將試卷和答題卡一并交回．2．選擇題每小題選出的答案須用2B鉛筆在答題卡上把對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦凈后，再選涂其它答案．非選擇題須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上對應題號位置作答，在試卷上作答無效．第Ⅰ卷（選擇題共36分）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列各組數中，互為相反數的是（

）A．和 B．和 C．2和 D．和2．據我國文化和旅游部數據中心測算，2025年“五一”期間，國內游客出游人次，將數據用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，直線，若，則（

）A． B． C． D．4．下列人工智能助手圖標中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．6．某校七年級甲、乙、丙、丁四名同學參加1分鐘跳繩測試，每人10次跳繩成績的平均數（單位：個）及方差（單位：個2）如下表所示：甲乙丙丁平均數205217208217方差4.64.66.99.6根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的同學參加比賽，應選擇（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．矩形具有而菱形不具有的性質是（

）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角相等8．如圖，四邊形內接于，為的直徑．若，則（

）A． B． C． D．9．《九章算術》是中國古代一部重要的數學著作，在“方程”章中記載了求不定方程（組）解的問題．例如方程恰有一個正整數解．類似地，方程的正整數解的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知拋物線的對稱軸為直線，與軸的交點位于軸下方，且時，，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．11．如圖，在邊長為2的正方形中，為的中點，為上的點，且，則的長為（

）A． B． C． D．12．對于任意實數，定義新運算：，給出下列結論：①；②若，則；③；④若，則的取值范圍為．其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非選擇題共84分）注意事項：用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上對應題號位置作答，在試卷上作答無效．二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．若點在第一象限，則的取值范圍是．14．一組數據3，2，6，7，4，6的中位數是．15．若一元二次方程的兩根為，則的值為．16．如圖，梯形中，，與梯形的各邊都相切，且的面積為，則點到的距離為．三、本大題共3個小題，每小題6分，共18分．17．計算：．18．如圖，在菱形中，分別是邊上的點，且．求證：．19．化簡：．四、本大題共2個小題，每小題7分，共14分．20．某市教育綜合實踐基地開設有：巧手木藝；：創意縫紉；：快樂種植；：美味烹飪；：愛心醫護等五門課程．某校組織八年級學生到該基地開展活動，一段時間后，基地采用隨機抽樣的方式，在該校八年級抽取部分學生開展了“我最喜歡的綜合實踐課程”的問卷調查，并根據調查所收集的數據進行整理，繪制了如下兩幅不完整的統計圖表．課程名稱巧手木藝創意縫紉快樂種植美味烹飪愛心醫護人數61218根據圖表信息，回答下列問題：(1)______，扇形統計圖中表示“巧手木藝”部分對應扇形的圓心角度數是________；(2)若該校八年級共有480名學生，請你估計該校八年級最喜歡兩門課程的學生人數；(3)小明同學從四門課程中隨機選擇兩門，求恰好選中兩門課程的概率．21．某超市購進甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進價均為125元，隨著生產成本的降低，甲種商品每件的進價年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進價為80元．(1)求乙種商品每件進價的年平均下降率；(2)2024年該超市用不超過7800元的資金一次購進甲、乙兩種商品共100件，求最少購進多少件甲種商品．五、本大題共2個小題，每小題8分，共16分．22．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象的一個交點為．(1)求一次函數與反比例函數的解析式；(2)將一次函數的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數的圖象相交于點，求的值．23．如圖，在水平地面上有兩座建筑物，其中．從之間的點（在同一水平線上）測得點，點的仰角分別為和，從點測得點的仰角為．(1)求的度數；(2)求建筑物的高度（計算過程和結果中的數據不取近似值）．六、本大題共2個小題，每小題12分，共24分．24．如圖，是的直徑，過點的直線與過點的切線交于點，與的延長線交于點，且，連接交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．25．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點和點．(1)求該拋物線的解析式；(2)點在直線上，點在軸上，是拋物線上位于第一象限的點，若四邊形是正方形，求點的坐標；(3)設點在拋物線上，點在拋物線上，當時，的最小值為3，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行解答即可得．【詳解】解：A.和互為相反數，故該選項正確，符合題意；

B.和，不互為相反數，故該選項不正確，不符合題意；C.和，不互為相反數，故該選項不正確，不符合題意；

D.和，不互為相反數，故該選項不正確，不符合題意；故選：A．2．C【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：，故選：C．3．B【分析】本題考查了平行線的性質，鄰補角的定義，根據鄰補角的定義可得，進而根據平行線的性質，即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴故選：B．4．C【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．根據軸對稱圖形的定義即可求解．【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．5．C【分析】本題考查了負整數指數冪，合并同類項，積的乘方運算，以及完全平方公式，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．分別根據負整數指數冪，合并同類項，積的乘方運算法則，以及完全平方公式判斷即可．【詳解】解：A、，原寫法錯誤，故本選項不符合題意；B、，原寫法錯誤，故本選項不符合題意；C、，寫法正確，故本選項符合題意；D、，原寫法錯誤，故本選項不符合題意；故選：C．6．B【分析】本題考查的是方差和算術平均數，掌握方差反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，方差越小，數據越穩定是解題的關鍵．根據平均環數比較成績的優劣，根據方差比較數據的穩定程度．結合表中數據，先找出平均數最大的同學；再根據方差的意義，找出方差最小的同學即可．【詳解】解：從平均數的角度分析，乙和丁同學平均成績最高，從方差角度分析，乙和甲方差最小，最穩定，∴選擇乙同學參加比賽，故選：B．7．A【分析】本題考查了矩形和菱形的性質，特殊四邊形的性質要從邊、角、對角線三方面入手，并加以考慮它們之間的聯系和區別．根據矩形和菱形的性質判斷即可．【詳解】解：A、矩形的對角線相等，而菱形的對角線不一定相等，故本選項符合題意；B、矩形和菱形對角線都互相平分，故本選項不符合題意；C、菱形的對角線垂直，矩形的對角線不一定垂直，故本選項不符合題意；D、矩形和菱形都是對角相等，故本選項不符合題意；故選：A．8．B【分析】本題考查了等邊對等角，直徑所對的圓周角是直角，根據等邊對等角以及三角形內角和定理可得，根據同弧所對的圓周角相等可得，進而根據為的直徑，得出，進而得出即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴故選：B．9．C【分析】本題考查了二元一次方程的解，根據題意寫出的正整數解，即可求解．【詳解】解：∵∴正整數解為：，；，；，共3個，故選：C．10．D【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程之間的關系，根據對稱軸計算公式可得，即，據此可判斷A；根據題意可得當時，，再由當時，，可得拋物線與軸的一個交點一定在直線和軸之間，則拋物線與軸的另一個交點一定在直線和直線之間，據此可判斷B；當時，，再由，即可判斷D；當時，，當當時，則原函數解析式為，則當時，，據此可判斷C．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，故A選項中原結論錯誤，不符合題意；∵拋物線與軸的交點位于軸下方，∴當時，，∵當時，，∴拋物線與軸的一個交點一定在直線和軸之間，∴拋物線與軸的另一個交點一定在直線和直線之間，∴拋物線與軸有兩個不同的交點，∴關于的一元二次方程有兩個不相同的實數根，∴，故B選項中原結論錯誤，不符合題意；∵當時，，且當時，，∴拋物線開口向上，∵拋物線與軸的另一個交點一定在直線和直線之間，∴當時，，∴，即，故D選項中原結論正確，符合題意；當時，，當時，則原函數解析式為，當時，，故C選項中原結論不正確，不符合題意；故選：D．11．B【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，解直角三角形，三線合一，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．過點D作于G，過點F作于H，由正方形的性質得到；由線段中點的定義得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可證明，解得到，由三線合一定理得到，則；解得到，，則，在中，由勾股定理得，即可解題．【詳解】解：如圖所示，過點D作于G，過點F作于H，∵四邊形是邊長為2的正方形，∴；∵為的中點，∴；在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴；在中，，∵，，∴，∴；在中，，，∴，在中，由勾股定理得．故選：B．12．B【分析】本題考查了實數的新定義運算，解一元一次不等式組，根據新定義運算分類討論是解題的關鍵．根據新定義運算法則，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：①∵，∴，故①正確，②∵，當時，，當時，，即，故②不正確；③不成立，例如，則，故③不正確；④當即時，則：，解得：，∴；當，即時，則：，解得：，∴，綜上所述，，故④正確，故正確的有①和④，共2個，故選：B．13．【分析】本題考查象限內點的符號特征，解一元一次不等式．解題的關鍵是掌握坐標系中每個象限內點的符號特點如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根據第一象限內點的坐標符號為，得到，再解一元一次不等式即可．【詳解】解：∵點在第一象限，∴，解得：，故答案為：．14．5【分析】本題主要考查了求一組數據的中位數，把一組數據按照從小到大的順序排列，處在最中間的那個數據或最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此求解即可．【詳解】解；把這組數據按照從小到大的順序排列為：2，3，4，6，6，7，處在最中間的兩個數分別為4，6，∴中位數為，故答案為：5．15．10【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握如果一元二次方程的兩根為，，則．先根據題意得到，，則將變形為，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，，∴，∴，故答案為：10．16．【分析】本題考查了圓的切線的性質，切線長定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，矩形的判定與性質，難度較大，正確添加輔助線是解題的關鍵．設分別與的切點記為點，連接，過點作于點，過點作于點，過點作于點，由圓的切線的性質證明四邊形為矩形，則，可求圓的半徑為，設，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解．【詳解】解：設分別與的切點記為點，連接，過點作于點，過點作于點，過點作于點，∴，，∴，∵梯形，，∴點共線，∴四邊形為矩形，∴，∵的面積為，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴∵在中，，∴，解得：或（舍），∴，同理可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點到的距離為，故答案為：．17．【分析】本題主要考查了實數的運算，求特殊角三角函數值，零指數冪，先計算45度角的正切值，再計算零指數和算術平方根，接著計算乘方，最后計算加減法即可得到答案．【詳解】解：．18．證明見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定，先根據菱形的性質得到，再由線段的和差關系證明，則可利用證明，據此由全等三角形對應邊相等可證明．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．19．【分析】本題主要考查了分式的混合計算，先把小括號內的式子通分，再把分子合并同類項后分解因式，再把第一個分式的分子分解因式，接著把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．【詳解】解：．20．(1)15；(2)120名(3)【分析】本題主要考查了頻數分布表，扇形統計圖，用樣本估計總體，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統計圖和統計表以及熟知概率計算公式是解題的關鍵．（1）用最喜愛“快樂種植”的人數除以其人數占比得到參與調查的學生人數，進而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木藝”的人數占比即可求出對應的圓心角度數；（2）用480乘以樣本中八年級最喜歡兩門課程的學生人數占比即可得到答案；（3）先列表得到所有等可能性的結果數，再找到恰好選中兩門課程的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解；（名），∴本次一共調查了60名學生，∴；∴，∴扇形統計圖中表示“巧手木藝”部分對應扇形的圓心角度數是；故答案為：15；；（2）解：（名），答：估計該校八年級最喜歡兩門課程的學生人數為120名；（3）解：根據題意列表如下；由表格可知，一共有12中等可能性的結果數，其中恰好選中兩門課程的結果數有兩種，∴恰好選中兩門課程的概率為．21．(1)乙種商品每件進價的年平均下降率為(2)最少購進甲種商品40件【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程和不等式是解題的關鍵．（1）設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，根據乙商品2022年的進價為125元，經過兩次降價后，2024年的進價為80元列出方程求解即可；（2）設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，根據購買資金不超過7800元列出不等式求出m的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：設乙種商品每件進價的年平均下降率為x，由題意得，，解得或（舍去），答：乙種商品每件進價的年平均下降率為；（2）解：設購進甲種商品m件，則購進乙種商品件，由題意得，，∴，解得，∴m的最小值為40，即最少購進甲種商品40件，答：最少購進甲種商品40件．22．(1)；(2)【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，一次函數圖象的問題，熟知待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．（1）把點A坐標分別代入兩個函數解析式中計算求解即可得到答案；（2）根據“上加下減，左減右加”的平移規律可得直線解析式為，則可求出，過點A作軸交直線于T，則，再根據列式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象經過，∴，∴，∴一次函數解析式為；∵反比例函數的圖象經過，∴，∴，∴反比例函數解析式為；（2）解：∵將一次函數的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數的圖象相交于點，∴直線解析式為，聯立，解得或，∴；如圖所示，過點A作軸交直線于T，∵，∴點T的橫坐標為2，在中，當時，，∴，∴，∴．23．(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，三角形內角和定理，矩形的性質與判定等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵。（1）過點C作于H，則，利用三角形內角和定理分別求出的度數即可得到答案；（2）過點E作于T，則，求出，則可求出；解得到，解得到，，則解可得，則，解可得；再證明四邊形是矩形，得到，則.【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作于H，則，由題意得，，∴，，∴；（2）解：如圖所示，過點E作于T，則，∴，∴；在中，，在中，，，在中，，∴，在中，；∵，∴四邊形是矩形，∴，∴；答：建筑物的高度為24．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的性質與判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）連接，由切線的性質可得，證明，可得，據此由切線的判定定理可證明結論；（2）過點C作于H，過點D作于M，設，則，解得到，則，解方程可得，則，，，由勾股定理得，則；解得到，則，，由勾股定理得；由等面積法可得，證明