2.高一下學期期中模擬試卷（解析卷）

第第頁保密★啟用前2024-2025學年高一年級下學期期中模擬試卷數學答案解析考試范圍：人教A版2019必修第二冊（第6章~第8章）；考試時間：120分鐘；總分：150分注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知復數z1=2+i，z2=a?i(a∈R)，若復數zA．1 B．0 C．?12 【答案】C【解析】因為z1?z2=2a+1+故選：C若e1，e2是平面內一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是 （A．e1與e1+e2C．e1?2e2與e1【答案】D【解析】由題意知向量e1，e對于A中，設e1=λ(e1+e2對于B中，設e1?2e2=μ(2e1對于C中，設e1?2e2=m(e1對于D中，由e1?e2=?故選：D.如圖所示的正方形O′A′C′B′的邊長為A．42cm2 B．8cm2 【答案】C【解析】由正方形O′A′C′根據斜二測畫法的規則，平面圖形OACB中，可得OC=42如圖所示，所以原圖形OACB的面積為S=OA×OC=2×42故答案為：C.若ΔABC的內角A，B，C的對邊a，b，c為滿足a2=b2+c2?bc，A．π6 B．π3 C．2π【答案】B【解析】由余弦定理得cosA=b2+c2?a如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，下列命題正確的是 （

）A．AB與HG相交 B．AB與EF平行C．AB與CD相交 D．EF與CD異面【答案】D【解析】由圖可知AB與HG異面，AB與EF異面，AB與CD異面，EF與CD異面.故選：D為了培養學生的數學建模能力，某校成立“不忘初心”學習興趣小組.今欲測量學校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如圖所示，可以選取與該塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現測得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在點C測得“使命塔”塔頂A的仰角為60°，則“使命塔”高AB= （

A．30m B．206m C．20【答案】B【解析】

在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=135°，可得∠CBD=30°，由正弦定理得：CDsin∠CBD=可得：BC=40×2再在直角△ABC中，AB=tan故選：B.設向量α,β的夾角為θ，定義：α?β=αβsinθ．若平面內不共線的兩個非零向量a,b滿足：a=b=1A．32 B．3 C．12 【答案】A【解析】設向量a,b的夾角為θ，因為所以a?由a?b2=a?b又a?b與b的夾角為5π6，所以a?所以cosθ?121?cosθ=?因為向量a,b不共線，所以又θ∈0,π所以a?b=故選：A已知點O為△ABC的外心，且向量AO=λAB+1?λAC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向量為15BC，則A．32 B．55 C．25【答案】B【解析】因為AO=λ所以CA+即CO=λCB，所以O在BC上，故△ABC的外接圓以O為圓心，所以△ABC為直角三角形，且AC⊥AB，O為BC中點，因為向量BA在向量BC上的投影向量為15故BAcos由于B為銳角，所以cosB=故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．已知復數z=3?4i（i為虛數單位），則下列說法正確的是 （

A．zB．復數1z的虛部為C．若z對應的向量為OA,1+i對應的向量為OB，則向量ABD．若復數z是關于x的方程x2+px+q=0【答案】ACD【解析】A選項，z=B選項，1z=13?4iC選項，由題意OA=3,?4，又OB=故向量AB對應的復數為?2+5iD選項，若復數z=3?4i是關于x的方程x則z=3+4i，故z=3?4i和z故z+z=?p所以z+z=3?4故p=?6，q=25，p+q=?6+25=19，D正確.故選：ACD在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且c=2，則下列選項正確的是 （

A．若B=π4,1<b<B．若sin2A=sin2BC．若△ABC為銳角三角形，且B=2C，則sinD．若A+B=2C，則a+b的最大值為2【答案】ACD【解析】對于選項A，因為B=π4,1<b<2，所以csin對于選項B，由sin2A=sin2B可得，2A=2B+2kπ或2A+2B=π+2kπk∈Z對于選項C，由0<π?3C<π20<2C<因為asinA=對于選項D，因為A+B=2C，所以C=π3所以a=2a+b==2由0<A<2π3所以當A+π6=π2，即A=故選：ACD.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且DD1=32AA1A．A1，B1，C1B．該幾何體的體積為8C．過四點A1，C1，B，DD．截面四邊形BED【答案】BCD【解析】對于A，取AA1中點M，取DD1靠近易知四邊形NMB1C所以MN//A1D1，所以A1，B1，C1，D對于B，由對稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以V=2×2×4×1對于C，過四點A1，C1，B，D構造正方體所以，外接球直徑為正方體ABCD?A所以2R=23，則R=3，所以此四點的外接球表面積為對于D，由題意，平面ADD1A1//平面BCB1C1所以D1F//BE，同理可得所以四邊形BED1F沿CC1將相鄰兩四邊形推平，當B，E，D1所以周長的最小值為10，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，且BF=12BC+BD，BF與AC【答案】3【解析】因為BF=12BC+則△ABE∽△FCE，則BEFE則BE=則BA?故答案為：3.給出下列命題：①若直線l與平面α有兩個公共點，則直線l在平面α內；②若直線l上有無數個點不在平面內，則l//α；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線都是異面直線；④若兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線必與該平面相交；⑤若直線l/平面α，則l與平面α⑥若平面α/平面β，直線a?α，直線b?β．則a//b其中正確的有（只填序號）．【答案】①【解析】①根據公理1可知，①正確；②若直線l上有無數個點不在平面內，直線l與平面α可能相交，也可能平行，所以②不正確；③直線l與平面α相交，則在平面α內過交點的直線與直線l相交，所以③不正確；④若兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線與該平面可能相交，也可能平行，還有可能直線在面內，所以④不正確；⑤根據線面平行的性質定理可知，直線l與平面α內的任意直線不可能都平行，所以⑤不正確；⑥若平面α/平面β，直線a?α，直線b?β，直線a,b所以⑥不正確．已知四棱錐P?ABCD的5個頂點都在球O的球面上，且PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,AD=7，則球O的表面積為．【答案】196【解析】根據題意可知四邊形ABCD的頂點在同一個圓上，連接BD，如下圖所示：易知∠BAD+∠BCD=180°，又在△ABD中，由余弦定理可得BD在△CBD中，由余弦定理可得BD又易知cos∠BCD=?cos∠BAD解得cos∠BAD=12，又∠BAD∈可得BD2=65?56設四邊形ABCD的外接圓半徑為r，由正弦定理可得BDsin解得r=37又PA⊥平面ABCD，且PA=4，設四棱錐P?ABCD的外接球半徑為R，可得2R2=2r因此外接球的表面積為S=4π故答案為：196四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（13分）已知向量a=(3,2)，b(1)當2a?b(2)當c=(?8,?1)，a//(b+c)，求向量【答案】(1)x=1或x=5(2)α=【解析】（1）向量a=(3,2)，b=(x,?1)，則由2a?b即6?xx?5×1=0，即x2?6x+5=0，解得x=1（2）由c=(?8,?1),b=(x,?1)，a由a//(b+c)所以|a|=13,|b又α∈0,π，所以（15分）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO上的一點O′（1）若O′是PO（2）當OO【答案】（1）表面積為5+24πa2，體積為5【解析】（1）設圓柱的底面半徑為r，由三角形中位線定理可知，r=a4，圓柱母線長而圓錐的母線長為l=a圓錐的表面積加上圓柱的側面積，即S=π×a圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積等于圓錐的體積減去圓柱的體積，即V=1（2）設OO′=x，由平面幾何知識可知，a?x故被挖去的圓柱的側面積為S=2πr×x=πxa?x≤πx?a?x22=π（15分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2為菱形，∠DAB=60°,△PAD是以PA為斜邊的等腰直角三角形，F,G(1)求證：GF//平面PAD；(2)設E為AB的中點，過E,F,G三點的截面與棱PC交于點Q，指出點Q的位置并證明.【答案】(1)證明見解析(2)Q為PC的中點，證明見解析【解析】（1）如圖，取PA中點H，連接FH,HD，因為F為PB中點，所以HF//AB，且HF=1又因為四邊形ABCD為菱形，且G為CD中點，所以DG//AB，且DG=1所以HF//DG，且HF=DG，所以四邊形HDGF為平行四邊形，所以GF//HD，因為GF?平面PAD,HD?平面PAD，所以GF//平面PAD；（2）Q為PC的中點，因為CG//BE且CG=BE，故BCGE為平行四邊形，故EG//BC，EG?平面PBC，BC?平面PBC，故EG//平面PBC，又EG?平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC=FQ，所以EG//FQ，又EG//BC，所以FQ//BC，因為F為PB的中點，所以點Q為PC的中點.（17分）在斜△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asin2C+ccos(1)求sinA(2)若點M為AC中點，且BM=1，求△ABC的面積．【答案】(1)sinA=1314(2)【解析】（1）因為asin所以sinA所以sinA所以2sin因為cosC≠0，sin所以sinC=12，所以C=當C=5π6所以B>π6，此時所以C=π6，因為所以sinB=43（2）先證明以下定理：三角形一條中線兩側所對邊平方的和等于底邊一半的平方加上這條中線的平方的和的2倍，如圖，AI是△ABC中線，AH是△ABC高線，因為AB2=AH2+BH所以A=2AI回到題目中，設asin所以a=1314k，b=所以a:b:c=13:83設a=13m，b=83m，因為a2+c所以b=818361所以S△ABC（17分）如圖，半圓O的直徑為4cm，A為直徑延長線上的點，OA=4cm，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．設(1)當α=π3時，求四邊形(2)克羅狄斯?托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據以上材料，則當線段OC的長取最大值時，求∠AOC．(3)當α為多少時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．【答案】(1)6+43cm(2)∠AOC=π3(3)【解析】（1）△ABO中，OA=4，OB=2，∠AOB=α=π由余弦定理得AB即A