福建省寧德市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年福建省寧德市高一（下)期末數(shù)學(xué)試卷一、一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請?jiān)诖痤}卡卡的相應(yīng)位置填涂．1．直線x+=0的傾斜角為(）A．60° B．90° C．120° D．不存在2．函數(shù)y=2sin（x﹣）的一條對稱軸是（)A．x= B．x= C．x= D．x=2π3．已知直線l過點(diǎn)P(2,﹣1)，且與直線2x+y﹣l=0互相垂直，則直線l的方程為（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=04．sin110°cos40°﹣cos70°?sin40°=（）A． B． C．﹣ D．﹣5．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中,AM與BN所成角的大小為(）A．0° B．45° C．60° D．90°6．要得到函數(shù)y=sin2x+cos2x﹣的圖象，只需將y=sinx圖象上所有的點(diǎn)(）A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位，再將所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀叮v坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)單位，再將所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)不變7．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,E是邊BC的中點(diǎn),D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),則?的取值范圍是（）A．[0,2］ B．[﹣2，0］ C．［0，2］ D．［﹣2，0］8．已知α，β為兩個(gè)不同平面，m，n為兩條不同直線，以下說法正確的是（）A．若α∥β，m?α,n?β，則m∥nB．若m∥n,n?α,則m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m,n∥α，則n⊥βD．若m丄n，m∥α，則n⊥α9．已知A﹣BCD為正四面體，則其側(cè)面與底面所成角的余弦值為(）A． B． C．2 D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．+6 B．+7 C．π+12 D．2π+611．己知圓C:x2+y2=4，直線l：x+y=b（b∈R），若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為S，則S的可能取值共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種12．f(x）為定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=對稱,且當(dāng)x∈[0，］時(shí)，f（x）=tanx，則方程5πf（x)﹣4x=0解的個(gè)數(shù)是（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置13．已知向量的夾角為，且|｜=3，｜|=,則｜|=．14．已知角α的終邊過點(diǎn)P（3，4）,則=．15．圓C1:x2+y2﹣9=0與圓C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的長為．16．南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家祖暅提出體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異“意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．圖1中陰影部分是由曲線y=、直線x=4以及x軸所圍成的平面圖形Ω,將圖形Ω繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,得幾何體Γ．根據(jù)祖暅原理，從下列陰影部分的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體中選一個(gè)求得Γ的體積為三、解答題:本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或演算步驟．17．已知點(diǎn)O（0,0）,A（2,1）,B（﹣2,4），向量=+λ．（I）若點(diǎn)M在第二象限，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍（II）若λ=1,判斷四邊形OAMB的形狀，并加以證明．18．己知O為坐標(biāo)原點(diǎn),傾斜角為的直線l與x，y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A,B，△AOB的面積為8．（I）求直線l的方程；(II)直線l′過點(diǎn)O且與l平行,點(diǎn)P在l′上，求|PA｜+｜PB|的最小值．19．已知向量=（cos,2sin﹣cos），=（﹣1，1),f（x)=（I)求函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）若f（2α）=，求的值．20．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上異于A，B的點(diǎn)，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．(Ⅰ)若點(diǎn)D在△VCB內(nèi)，且DO∥面VAC，作出點(diǎn)D的軌跡,說明作法及理由；(Ⅱ）求三棱錐V﹣ABC體積的最大值，并求取到最大值時(shí)，直線AB與平面VAC所成角的大小．21．己知圓C過點(diǎn)（,1),且與直線x=﹣2相切于點(diǎn)（﹣2,0），P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，A，B為圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)A在B上方），直線PA，PB分別與直線y=﹣3相交于點(diǎn)M,N．（1）求圓C的方程：(II）求證:在x軸上必存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使的值為常數(shù),并求出這個(gè)常數(shù)．22．某工廠有甲、乙兩生產(chǎn)車間，其污水瞬時(shí)排放量y(單位:m3/h）關(guān)于時(shí)間t（單位：h)的關(guān)系均近似地滿足函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其圖象如下:（Ⅰ）根據(jù)圖象求函數(shù)解析式；(II）由于受工廠污水處理能力的影響，環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時(shí)刻的污水排放量之和不超過5m3/h，若甲車間先投產(chǎn)，為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲多少小時(shí)投產(chǎn)？

2016—2017學(xué)年福建省寧德市高一(下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請?jiān)诖痤}卡卡的相應(yīng)位置填涂．1．直線x+=0的傾斜角為(）A．60° B．90° C．120° D．不存在【考點(diǎn)】I2：直線的傾斜角．【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵直線x+=0的斜率不存在，∴傾斜角為,即為90°．故選:B．2．函數(shù)y=2sin（x﹣）的一條對稱軸是（）A．x= B．x= C．x= D．x=2π【考點(diǎn)】H6:正弦函數(shù)的對稱性．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性,求出函數(shù)y=2sin（x﹣）的一條對稱軸．【解答】解：對于函數(shù)y=2sin（x﹣)，令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z,可得它的圖象的對稱軸為x=kπ+，k∈Z，令k=0，可得它的一條對稱軸是x=，故選:C．3．已知直線l過點(diǎn)P（2，﹣1）,且與直線2x+y﹣l=0互相垂直，則直線l的方程為（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考點(diǎn)】IJ:直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程，把點(diǎn)P（2，﹣1）代入方程求出直線l的方程．【解答】解：根據(jù)直線l與直線2x+y﹣l=0互相垂直，設(shè)直線l為x﹣2y+m=0，又l過點(diǎn)P（2，﹣1），∴2﹣2×（﹣1）+m=0，解得m=﹣4,∴直線l的方程為x﹣2y﹣4=0．故選：B．4．sin110°cos40°﹣cos70°?sin40°=（）A． B． C．﹣ D．﹣【考點(diǎn)】GQ:兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡求解即可．【解答】解：sin110°cos40°﹣cos70°?sin40°=sin70°cos40°﹣cos70°?sin40°=sin（70°﹣40°）=sin30°=．故選：A．5．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為()A．0° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角．【分析】把正方體的平面展開圖還原成正方體ADNE﹣CMFB，由此能求出AM與BN所成角的大小．【解答】解：如圖，把正方體的平面展開圖還原成正方體ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN,CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為90°．故選：D．6．要得到函數(shù)y=sin2x+cos2x﹣的圖象，只需將y=sinx圖象上所有的點(diǎn)（)A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀叮v坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位，再將所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?縱坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)單位，再將所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)不變【考點(diǎn)】HJ:函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用三角恒等變換化簡原函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律,求得平移后所得函數(shù)的解析式．【解答】解:∵函數(shù)y=sin2x+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+)，故只需將y=sinx圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得y=sin（x+）的圖象;再將所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?縱坐標(biāo)不變，可得y=sin（2x+）的圖象，故選：D．7．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=2，E是邊BC的中點(diǎn)，D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),則?的取值范圍是（)A．[0，2] B．［﹣2，0］ C．［0，2] D．[﹣2,0］【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量、，再求出數(shù)量積?的取值范圍．【解答】解:根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；則A（0，0），B（2，0)，C（0,2)，E（1，1），設(shè)D(0，y）,則0≤y≤2；∴=（1，1），=（﹣2，y），∴?=1×（﹣2）+y=y﹣2；由y∈［0，2],得y﹣2∈［﹣2，0]，∴的取值范圍是[﹣2，0］．故選：B．8．已知α,β為兩個(gè)不同平面，m，n為兩條不同直線，以下說法正確的是(）A．若α∥β,m?α,n?β,則m∥nB．若m∥n，n?α,則m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m,n∥α,則n⊥βD．若m丄n，m∥α，則n⊥α【考點(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；LP:空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】利用面面平行，面面垂直以及線面平行線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對選項(xiàng)分析選擇．【解答】解：對于A,若α∥β，m?α，n?β,則m∥n或者異面；故A錯(cuò)誤；對于B，若m∥n,n?α,則m∥α或者m?α；故B錯(cuò)誤；對于C，若α丄β，α∩β=m，n⊥m,n∥α，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面平行的性質(zhì)定理可判斷n⊥β;故C正確;對于D，若m丄n，m∥α，則n與α位置關(guān)系不確定；故D錯(cuò)誤；故選C．9．已知A﹣BCD為正四面體,則其側(cè)面與底面所成角的余弦值為（)A． B． C．2 D．【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面體的所有面都是等邊三角形，取CD的中點(diǎn)E,連接AE，BE，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角,解三角形ABE即可得到正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．【解答】解:不妨設(shè)正四面體為A﹣BCD，取CD的中點(diǎn)E,連接AE，BE,設(shè)四面體的棱長為2，則AE=BE=且AE⊥CD,BE⊥CD,則∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，故正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是．故選A．10．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）A．+6 B．+7 C．π+12 D．2π+6【考點(diǎn)】L！:由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖，可得該幾何體是由長方體和半圓柱組合而成，根據(jù)數(shù)據(jù)即可計(jì)算．【解答】解：根據(jù)三視圖，可得該幾何體是由長方體和半圓柱組合而成,長方體的棱長分別為1,2，1；圓柱的底面半徑為1，高為1，則該幾何體的表面積為s=(1+1+2）×1+1×2×2+2×2+=π+12故選：C11．己知圓C：x2+y2=4,直線l：x+y=b(b∈R）,若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為S，則S的可能取值共有(）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】設(shè)圓心O到直線的距離為d，結(jié)合圖形可得：圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0,1，2，3，4，則S的可能取值共有5種．【解答】解:設(shè)圓心O到直線的距離為d,結(jié)合圖形可得：當(dāng)d＞3時(shí)，若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0,當(dāng)d=3時(shí)，若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)1＜d＜3時(shí)，若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，當(dāng)d=1時(shí)，若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，當(dāng)d＜1時(shí)，若圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，∴圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為S，則S的可能取值共有5種．故選：D12．f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=對稱，且當(dāng)x∈［0,］時(shí)，f（x）=tanx,則方程5πf（x)﹣4x=0解的個(gè)數(shù)是（）A．7 B．5 C．4 D．3【考點(diǎn)】54:根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】利用已知條件畫出y=f（x）與y=的圖象，即可得到方程解的個(gè)數(shù)．【解答】解:f(x）為定義在R上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=對稱，且當(dāng)x∈[0，］時(shí),f（x）=tanx，方程5πf（x)﹣4x=0解的個(gè)數(shù)，就是f（x）=解的個(gè)數(shù)，在坐標(biāo)系中畫出y=f(x）與y=的圖象,如圖：兩個(gè)函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以方程5πf（x）﹣4x=0解的個(gè)數(shù)是:5．故選:B．二、填空題:本大題共4小題，每小題5分,共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置13．已知向量的夾角為，且｜|=3，｜｜=,則|｜=2．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，設(shè)｜｜=t，(t＞0),由向量數(shù)量積的運(yùn)算公式可得|+｜2=（+）2=9+t2+2?=9+t2+3t=19，化簡可得t2+3t﹣10=0，解可得t的值,即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)｜|=t，(t＞0)若｜|=3，|｜=，向量的夾角為,則有|+｜2=（+）2=9+t2+2?=9+t2+3t=19，即t2+3t﹣10=0，解可得t=2或t=﹣5（舍），則｜｜=2；故答案為:2．14．已知角α的終邊過點(diǎn)P（3，4），則=﹣．【考點(diǎn)】GO：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由題意可得x，y，r,由任意角的三角函數(shù)的定義可得sinα，利用誘導(dǎo)公式化簡所求求得結(jié)果．【解答】解：∵由題意可得x=3，y=4，r=5，由任意角的三角函數(shù)的定義可得sinα==,∴=﹣sinα=﹣．故答案為：﹣．15．圓C1：x2+y2﹣9=0與圓C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的長為．【考點(diǎn)】JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個(gè)圓心到求出直線的距離，再由第一個(gè)圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長．【解答】解:圓C1：x2+y2﹣9=0與圓C2:x2+y2﹣6x+8y+9=0得：6x﹣8y﹣18=0，即3x﹣4y﹣9=0∵圓心（0，0）到直線3x﹣4y﹣9=0的距離d==，r=3，則公共弦長為2=2=．故答案為：．16．南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家祖暅提出體積計(jì)算原理:“冪勢既同，則積不容異“意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．圖1中陰影部分是由曲線y=、直線x=4以及x軸所圍成的平面圖形Ω,將圖形Ω繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得幾何體Γ．根據(jù)祖暅原理，從下列陰影部分的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體中選一個(gè)求得Γ的體積為32π【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等．【解答】解:如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間,用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，所得截面面積S=π(42﹣4｜y｜），S1=π（42﹣y2）﹣π[4﹣(2﹣|y｜）2］=π（42﹣4｜y｜）∴S1=S，由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等，∵Γ1=××(43﹣23﹣23）=×48=32π,∴Γ=32π．故答案為：32π．三、解答題：本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或演算步驟．17．已知點(diǎn)O(0，0），A(2，1),B（﹣2,4），向量=+λ．(I）若點(diǎn)M在第二象限,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍（II）若λ=1，判斷四邊形OAMB的形狀，并加以證明．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由=+λ得(x，y）=（2,1）+λ（﹣2,4）,即M（2﹣2λ,1+4λ）又,?λ＞1（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，O(0,0）,A(2，1），M（0，5)，B（﹣2,4）可得OB∥AM且OB=AM，又，OB⊥OA,OA∴≠OB,四邊形OAMB是矩形．【解答】解:（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知得,由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4）?x=2﹣2λ，y=1+4λ即M（2﹣2λ，1+4λ)又∵點(diǎn)M在第二象限，∴，?λ＞1；（Ⅱ)當(dāng)λ=1時(shí)，O(0，0),A(2，1），M（0,5）,B（﹣2，4）∴，OB∥AM且OB=AM∴四邊形OAMB是平行四邊形．又，∴OB⊥OA∵,OB=2，四邊形OAMB是矩形．18．己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線l與x，y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A，B，△AOB的面積為8．（I）求直線l的方程；（II）直線l′過點(diǎn)O且與l平行，點(diǎn)P在l′上，求｜PA｜+|PB|的最小值．【考點(diǎn)】IG:直線的一般式方程．【分析】（I）由題意可得：直線l的斜率k=tan=﹣，設(shè)直線l的方程為：y=﹣x+b．可得直線l與坐標(biāo)軸的正半軸交點(diǎn)為A,B（0，b），其中b＞0．可得S△OAB=b×b=8，解得b即可得出．（II）由(I)可得：A（4，0)，B（0，4）．直線l′的方程為：y=﹣x．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l′的對稱點(diǎn)A′(m,n)，則，解得A′(﹣2，﹣2）．|PA｜+｜PB|=|PA′｜+｜PB′｜,當(dāng)A′，B，P三點(diǎn)共線時(shí),|PA｜+|PB|取得最小值．即可得出．【解答】解:(I）由題意可得：直線l的斜率k=tan=﹣，設(shè)直線l的方程為：y=﹣x+b．可得直線l與坐標(biāo)軸的正半軸交點(diǎn)為A，B（0，b），其中b＞0．∴S△OAB=b×b=8,解得b=4．∴直線l的方程為：y=﹣x+4．（II）由（I）可得：A（4，0），B(0,4）．直線l′的方程為：y=﹣x．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l′的對稱點(diǎn)A′（m，n)，則，解得，∴A′（﹣2，﹣2）．∵|PA｜+｜PB｜=｜PA′|+｜PB′|，∴當(dāng)A′，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，｜PA｜+|PB|取得最小值．∴（｜PA｜+｜PB｜）min=|A′B｜=4．19．已知向量=(cos，2sin﹣cos）,=（﹣1，1）,f（x）=（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（II)若f（2α）=,求的值．【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H5:正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）根據(jù)向量的乘積運(yùn)算求出f（x）的解析式,化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可求函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間（II)根據(jù)f(x）的解析式把x=2a帶入，即f（2α）=，切化弦即可得答案．【解答】解：（I)向量=（cos，2sin﹣cos)，=（﹣1，1），f（x）==2sin﹣cos﹣cos=2(sin﹣cos）=2sin（）由2kπ≤≤，k∈Z．解得：4kπ≤x≤4kπ，k∈Z．∴函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［4kπ，4kπ］，k∈Z．（II）由（I）可得f(x)=2sin（）∵f（2α)=,即2sin（）=∴sin（）=,那么===(cosα﹣sinα）2=2sin2（)=2×=．20．如圖，已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上異于A，B的點(diǎn)，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．(Ⅰ）若點(diǎn)D在△VCB內(nèi),且DO∥面VAC，作出點(diǎn)D的軌跡,說明作法及理由；（Ⅱ）求三棱錐V﹣ABC體積的最大值，并求取到最大值時(shí)，直線AB與平面VAC所成角的大小．【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角;J3：軌跡方程．【分析】(Ⅰ)取VB，CB的中點(diǎn)，分別記為E，F(xiàn)，連結(jié)E,F，由E，F(xiàn)分別為VB、CB的中點(diǎn)，得EF∥VC，從而DO∥面VAC,由此得到D點(diǎn)軌跡是EF．（Ⅱ）設(shè)d為點(diǎn)C到直線AB的距離，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中點(diǎn)時(shí),（VV﹣ABC）max=4，此時(shí)VC⊥BC,AC⊥BC，從而BC⊥面VAC,進(jìn)而∠CAB是直線AB與面VAC所成的角，由此能求出三棱錐V﹣ABC體積取到最大值時(shí)，直線AB與平面VAC所成角為45°．【解答】解:(Ⅰ）取VB，CB的中點(diǎn)，分別記為E，F(xiàn),連結(jié)E，F(xiàn),則線段EF即為點(diǎn)D的軌跡，如圖所示．理由如下：∵E，F(xiàn)分別為VB、CB的中點(diǎn)，∴EF∥VC，又EF?面VAC，VC?面VAC，又D∈EF，OD?面EOF,∴DO∥面VAC，∴D點(diǎn)軌跡是EF．（Ⅱ)設(shè)d為點(diǎn)C到直線AB的距離，∵VC⊥面ABC，∴==，∵d∈（0，2]，∴當(dāng)d=2，即C是的中點(diǎn)時(shí)，(VV﹣ABC)max=4，∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC，∵AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上，∴AC⊥BC，∵AC∩VC=C,∴BC⊥面VAC，∴AC是AB在面VAC上的射影，∴∠CAB是直線AB與面VAC所成的角,∵C是的中點(diǎn)，∴CA=CB，∴∠CAB=45°，∴三棱錐V﹣ABC體積取到最大值時(shí)，直線AB與平面VAC所成角為45°．21．己知圓C過點(diǎn)(，1）,且與直線x=﹣2相切于點(diǎn)（﹣2，0）,P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，A,B為圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)A在B上方），直線PA，PB分別與直線y=﹣3相交于點(diǎn)M，N．（1）求圓C的方程:（II）求證：在x軸上必存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使的值為常數(shù)，并求出這個(gè)常數(shù)．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;J1:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意得出圓C的圓心在x軸上，設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑即可；(II）【解法一】由題意設(shè)出直線AP的方程，根據(jù)AP⊥BP寫出直線BP的方程，求出M、N的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示、和數(shù)量積?，計(jì)算?為常數(shù)時(shí)，在x軸上存在一定點(diǎn)Q．【解法二】由題意設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在圓C上，結(jié)合直線AP的方程求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用坐標(biāo)表示出、，計(jì)算數(shù)量積?為常數(shù)時(shí)，在x軸上存在一定點(diǎn)Q．【解答】解：（Ⅰ)∵圓C與直線x=﹣2相切于點(diǎn)(﹣2，0)，∴圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），則,解得a=0,r=2;∴圓C的方程為x2+y2=4；（II)【解法一】證明：由（Ⅰ）得A(0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直線AP的斜率存在且不為0,設(shè)直線AP的方程為y=kx+2（k≠0）,∵AB是圓C的直徑,∴AP⊥BP，∴直線BP的方程為y=﹣x﹣2，聯(lián)立,解得；∴M（﹣，﹣3）;同理可求N（k，﹣3）;如圖所示,設(shè)Q(t,0），則=（﹣﹣t,﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴?=(﹣﹣t)（k﹣t）+(﹣3）×（﹣3）=t2+4+(﹣k）t，當(dāng)t=0時(shí),?=4為常數(shù)，與k無關(guān)，即在