2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修五學(xué)案：2.3.3等比數(shù)列的前n項和(一)

1、2. 3.3 等比數(shù)列的前 n 項和( (一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握等比數(shù)列的前 n 項和公式及公式證明思路 2 會用等比數(shù)列的前 n 項和公式 解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題.西問題導(dǎo)學(xué)-知識點一等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)思考 對于 S64= 1 + 2+ 4 + 8+-+ 262+ 263，用 2 乘以等式的兩邊，可得2S64= 2+ 4 + 8 + 262+ 263+ 264,對這兩個式子作怎樣的運算能解出S64?梳理 設(shè)等比數(shù)列an的首項是 ai,公比是 q,前 n 項和 Sn可用下面的“錯位相減法”求得.2n 1Sn= ai+ aiq + aiq + aiq-.2n in則 qSn

2、= aiq + aiq + aiq+ aiq .由一得，(I q)Sn= ai aiq .n, 一ai(i q )當(dāng) qzi 時，Sn=.i q當(dāng) q= i 時，由于 ai= a2=an,所以 Sn= nai.結(jié)合通項公式可得：等比數(shù)列前 n 項和公式naiq = i .知識點二等比數(shù)列的前 n 項和公式的應(yīng)用思考 要求等比數(shù)列前 8 項的和：(I)若已知其前三項，用哪個公式比較合適？若已知 ai, a9, q 的值用哪個公式比較合適?Sn= ai qn) aia*q梳理 一般地，使用等比數(shù)列求和公式時需注意:(1) 一定不要忽略 q = 1 的情況;n一 ai(1 q 一(2)知道首項 ai

3、、公比 q 和項數(shù) n,可以用 ；知道首尾兩項1 q(3)在通項公式和前n 項和公式中共出現(xiàn)了五個量：ai, n, q, an,求其余兩個.題型探究類型一等比數(shù)列前 n 項和公式的應(yīng)用命題角度 1 前 n 項和公式的直接應(yīng)用例 1 求下列等比數(shù)列前 8 項的和：1 1 1(1) 2，4, 8,；1c(2) a1=27,a9= 243, q0.反思與感悟求等比數(shù)列前 n 項和，要確定首項、公比或首項、末項、=1 是否成立.跟蹤訓(xùn)練 1 若等比數(shù)列an滿足 a2+ a4= 20, as+40,則公比Sn=_ .命題角度 2 通項公式、前 n 項和公式的綜合應(yīng)用例 2 在等比數(shù)列an中，S2= 30

4、, Ss= 155，求 Sn.a1anq1, an和q,可以用 -1 q公比，應(yīng)特別注意qq=_;前 n 項禾口反思與感悟應(yīng)用等比數(shù)列的前 n 項和公式時，首先要對公比兩種情況都有可能，則要分類討論.當(dāng) q= 1 時，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn= nai;當(dāng) 1 時, nai(1 q )個公式.當(dāng)已知 ai,q 與 n 時，用 Sn=比較方便；當(dāng)已知i q比較方便.跟蹤訓(xùn)練 2 在等比數(shù)列an中，ai= 2, &= 6,求 a?和 q.q= I 或 qzI 進(jìn)行判斷，若等比數(shù)列的前 n 項和 Sn有兩ai anqai, q 與 an時，用 S =i q類型二等比數(shù)列前 n 項和的實際應(yīng)

5、用例 3 某商場今年銷售計算機5 000 臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30 000 臺？(結(jié)果保留到個位)I0%,反思與感悟 解應(yīng)用題先要認(rèn)真閱讀題目，尤其是一些關(guān)鍵詞：“平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加 10%”.理解題意后，將文字語言向數(shù)字語言轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù) 學(xué)知識解決問題.跟蹤訓(xùn)練 3 一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m 的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%這個熱氣球上升的高度能超過 125 m 嗎？曰當(dāng)堂訓(xùn)練-1 .等比數(shù)列 1, X, x2, X3,的前 n 項和 Sn=_ 2

6、 .設(shè)等比數(shù)列an的公比 q= 2,前 n 項和為 Sn,則魯=_ 3.等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，若 a1= 81,16,則它的前 5 項的和是_ .4.某廠去年產(chǎn)值為 a,計劃在 5 年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起 5 年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為_ .廠規(guī)律與有法-11.在等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式中，共涉及五個量：ai, an, n, q, Sn,其中首項 ai和公比 q 為基本量，且“知三求二”.2.前 n 項和公式的應(yīng)用中， 注意前 n 項和公式要分類討論， 即當(dāng) qz1 和 q = 1 時是不同的公 式形式，不可忽略 q= 1 的情況.3.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列

7、，bn是等比數(shù)列且公比為 q,求數(shù)列anbn的前 n 項 和時，可采用錯位相減的方法求和.問題導(dǎo)學(xué)知識點一知識點二n思考用看甘.題型探究1i例 1 解(1)因為 ai= 2, q = 2,1 18由 a1= 27, a9=亦，可得 亦=27 q 又由 q0,跟蹤訓(xùn)練 12 2n+1 2a1 1 + q = 30,例 2 解由題意知a1(1 + q+ q2= 155,1可得 q= 3.答案精析思考比較兩式易知，兩式相減能消去同類項，解出S64,即 S64=641 22641.(2)用 Sn=aianq1-q所以SB=1 1811(1)255256271 加1 64081所以1a1= 5,解得q

8、=5I a= 180,或5q=6.5f1 5 )5從而 sn= 4(5n 1)1 545)1801- - 61或 S)=5n1 0801- 6)1*,n N N .跟蹤訓(xùn)練 2 解 由題意，得若 q= 1,則 S3= 3ai= 6,符合題意.此時，q = 1, a3= a1= 2.若 1，則由等比數(shù)列的前 n 項和公式，33得 S3=亠_ = 6,1 - q 1 - q解得 q= 2.22此時，a3= a1q = 2x( 2) = 8.綜上所述，q= 1, a3= 2 或 q= 2, a3= 8.例 3 解 根據(jù)題意，每年銷售量比上一年增加的百分率相同.所以從今年起，每年的銷售 量組成一個等比數(shù)列an，其中 a1= 5 000, q = 1 +10% = 1.1, S)= 30 000.n5 000(1 1.1 于是得到=30 000.1 1.1整理，得 1.1n= 1.6.兩邊取對數(shù)，得 nig 1.1 = lg 1.6.用計算器算得 n=器-牆 5(年).所以大約 5 年可以使總銷售量達(dá)到 30 000 臺.跟蹤訓(xùn)練 3 解用 an表示熱氣球在第 n 分鐘上升的高度,4由題意，得 an+1= 5an,4因此，數(shù)列an是首項