2024北京中關村中學初三4月月考數學試題及答案

試題試題2024北京中關村中學初三4月月考數學一、選擇題（每小題2分，共16分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.年3月日教育部召開新聞發布會，據介紹，去年我國在學研究生人，比上年增長．其中用科學記數法表示正確的是（）A. B. C. D.2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于O，若∠BOD=40°，則不正確的結論是（）A.∠AOC=40° B.∠COE=130° C.∠BOE=90° D.∠EOD=40°4.下列結論中，正確的是（）A.若，，則 B.若，則，C.若，，則 D.若，則5.若正多邊形的一個內角是150°，則該正多邊形的邊數是（）A.6 B.12 C.16 D.186.在一個不透明的袋中裝有1個黃球和1個紅球，它們除顏色外沒有其他區別，從袋中任意摸出一個球，然后放回攪勻，再從袋中任意摸出一個球，那么兩次都摸到黃球的概率是（）A. B. C. D.7.如果a2?a?6=0，那么代數式的值為（）A. B.3 C.﹣ D.﹣38.如圖1，點O為正六邊形對角線的交點，機器人置于該正六邊形的某頂點處，柱柱同學操控機器人以每秒1個單位長度的速度在圖1中給出線段路徑上運行，柱柱同學將機器人運行時間設為t秒，機器人到點A的距離設為y，得到函數圖象如圖2，通過觀察函數圖象，可以得到下列推斷：①該正六邊形的邊長為1；②當t＝3時，機器人一定位于點O；③機器人一定經過點D；④機器人一定經過點E；其中正確的有（）A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④二、填空題（每小題2分，共16分）9.式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_______．10.分解因式：_______.11.分式方程的解是________12.如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點A，若點A的坐標為，則關于x的不等式的解集是______．13.4月23日是世界讀書日，這天某校為了解學生課外閱讀情況，隨機收集了30名學生每周課外閱讀的時間，統計如下：若該校共有1200名學生，試估計全校每周課外閱讀時間在5小時以上的學生人數為______人．閱讀時間（x小時）人數1286414.如圖，已知的直徑垂直于弦，垂足為點，則半徑的長為__________．15.如圖，AB∥CD∥EF，直線、與這三條平行線分別交于點A、D、F和點B、C、E．若AD：DF＝3：1，BE＝10，則CE的長為________．16.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF．有下列結論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③AE2＝AD?AF；④AF＝AB+CF．其中正確結論為是______．（填寫所有正確結論的序號）三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.計算：．18.解不等式組：，并求整數解．19.已知m是方程的一個根，求代數式的值．20.已知關于x的方程()．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有一個根大于2，求a的取值范圍．21.如圖，點F在的對角線AC上，過點F、B分別作AB、AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF＝∠FBC＋∠FCB．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的長．22.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點．（1）求這個一次函數的表達式；（2）當時，對于x的每一個值，函數的值小于一次函數的值，直接寫出m的取值范圍．23.2022年北京冬奧會的舉辦促進了冰雪旅游，小明為了解寒假期間冰雪旅游的消費情況，從甲、乙兩個滑雪場的游客中各隨機抽取了50人，獲得了這些游客當天消費額（單位：元）的數據，并對數據進行整理、描述和分析．下面給出部分信息：a．甲滑雪場游客消費額的數據的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：，，，，，）：b．甲滑雪場游客消費額的數據在這一組的是：410430430440440440450450520540c．甲、乙兩個滑雪場游客消費額的數據的平均數、中位數如下：平均數中位數甲滑雪場420m乙滑雪場390n根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）一名被調查的游客當天的消費額為380元，在他所在的滑雪場，他的消費額超過了一半以上的被調查的游客，那么他是哪個滑雪場的游客？請說明理由；（3）若乙滑雪場當天的游客人數為500人，估計乙滑雪場這個月（按30天計算）的游客消費總額．24.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點，過點A作⊙O的切線交直線OD于點P，連接PC．（1）求證：∠PCA＝∠ABC；（2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的長．25.如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系．拱門上的點距地面的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數關系．（1）拱門上的點的水平距離與豎直高度的幾組數據如下：水平距離23681012豎直高度45.47.26.440根據上述數據，直接寫出“門高”（拱門的最高點到地面的距離），并求出拱門上的點滿足的函數關系．（2）一段時間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點距地面的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數關系，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部兩個端點間的距離）為，“新拱門”的跨度為，則__________填“”、“”或“”）．26.在平面直角坐標系中，點、，在拋物線上，設拋物線的對稱軸為．（1）若對于，，有，求t的值．（2）若對于，，都有，取t的取值范圍．27.已知：線段，點C是線段的中點，點D在線段上，線段繞點C順時針旋轉得到線段，過B作交的延長線于點F，交直線于點G．（1）如圖，補全圖形，設，求的度數(可以用α表示)；（2）在（1）中補全圖形中，求與的數量關系；（3）在（1）中補全圖形中，用等式表示、、的數量關系，并證明．28.對于平面內的點P和圖形M，給出如下定義：以點P為圓心，r為半徑作圓．若與圖形M有交點，且半徑r存在最大值與最小值，則將半徑r的最大值與最小值的差稱為點P視角下圖形M的“寬度”．（1）如圖1，點，．①在點O視角下，線段的“寬度”為______；②若半徑為2，在點A視角下，的“寬度”為______；（2）如圖2，半徑為2．點P為直線上一點．求點P視角下“寬度”的取值范圍；（3）已知點，，直線與x軸，y軸分別交于點D，E．若隨著點C位置的變化，使得在所有點K的視角下，線段的“寬度”均滿足，請直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共16分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】D【分析】本題考查了絕對值大于1的科學記數法的表示，解題的關鍵在于確定的值．根據絕對值大于1的數，用科學記數法表示為，其中，的值為整數位數少1．【詳解】解：大于1，用科學記數法表示為，其中，，∴用科學記數法表示為，故選：D．2.【答案】B【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．3.【答案】D【分析】首先由垂線的定義可知∠EOB=90°，然后由余角的定義可求得∠EOD，然后由鄰補角的性質可求得∠EOC，由對頂角的性質可求得∠AOC．【詳解】由對頂角相等可知∠AOC=∠BOD=40°，故A正確，所以與要求不符；∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，故C正確，與要求不符；∵∠EOB=90°，∠BOD=40°，∴∠EOD=50°，故D錯誤，與要求相符．∴∠EOC=180°?∠EOD=180°?50°=130°，故B正確，與要求不符．故選D．4.【答案】C【分析】根據不等式的性質，選出正確的即可．【詳解】A．若，，時，，時，，故選項不完全正確，不符合題意；B．若，則，或，，故選項不完全正確，不符合題意；C．若，，則，故選項正確，符合題意；D．若，則或，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解答本題的關鍵．5.【答案】B【詳解】設多邊形的邊數為n，則有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故選B.6.【答案】A【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結果數，再找到兩次都摸到黃球的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】解：列表如下：黃紅黃（黃，黃）（紅，黃）紅（黃，紅）（紅，紅）由表格可知一共有4種等可能性的結果數，其中兩次都摸到黃球的結果數有1種，∴兩次都摸到黃球的概率為，故選：A．7.【答案】A【分析】根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后根據a2?a?6＝0，即可求得所求式子的值．【詳解】解：＝＝＝＝，∵a2?a?6＝0，∴a2?a＝6，∴原式＝，故選：A．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．8.【答案】C【分析】根據圖象起始位置猜想點B或F為起點，則可以判斷①正確，④錯誤．結合圖象判斷3≤t≤4圖象的對稱性可以判斷②正確．結合圖象易得③正確．【詳解】解：由圖象可知，機器人距離點A1個單位長度，可能在F或B點，則正六邊形邊長為1．故①正確；觀察圖象t在3－4之間時，圖象具有對稱性則可知，機器人在OB或OF上，則當t＝3時，機器人距離點A距離為1個單位長度，機器人一定位于點O，故②正確；所有點中，只有點D到A距離為2個單位，故③正確；因為機器人可能在F點或B點出發，當從B出發時，不經過點E，故④錯誤．故選C．【點睛】本題為動點問題的函數圖象探究題，解答時要注意動點到達臨界前后時圖象的變化趨勢．二、填空題（每小題2分，共16分）9.【答案】x≥3【分析】直接利用二次根式有意義的條件得到關于x的不等式，解不等式即可得答案.【詳解】由題意可得：x—3≥0，解得：x≥3，故答案為：x≥3【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.10.【答案】【分析】先提公因式，再用公式法進行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，在進行因式分解時，有公因式一定要先提公因式．11.【答案】【分析】先去分母，將分式方程轉化成整式方程求解，再檢驗即可求解；【詳解】解：方程兩邊同時乘以2x(x+1)，得3(x+1)=4x3x+3=4xx=3，檢驗：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，∴原分式方程的解為：x=3．故答案為：x=3．【點睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思想是將分式方程轉化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要驗根．12.【答案】或【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，根據對稱性求出點坐標，進而利用圖象法求不等式的解集即可．【詳解】解：∵正比例函數與反比例函數的圖象都關于原點對稱，∴點關于原點對稱，∵點A的坐標為，∴點的坐標為，由圖象可知：的解集是或；故答案為：或13.【答案】400【分析】本題考查了用樣本估計總體，用1200乘以樣本中每周課外閱讀時間在5小時以上的學生人數的比例即可．【詳解】解：（人）．故答案為：400．14.【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的關鍵．連接，根據圓周角定理可得，再利用垂徑定理可得，，從而可得，，進行計算即可解答．【詳解】解：連接，，，直徑，，，，，，，故答案為：．15.【答案】【分析】根據平行線分線段成比例定理得到，則BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可計算出CE的長．【詳解】解：∵AB//CD//EF，∴，∴BC=3CE，∵BC+CE=BE，∴3CE+CE=10，∴CE=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．16.【答案】②③④【分析】①根據題目中的條件和正方形的性質，利用銳角三角函數可以得到∠BAE是否等于30°；②根據題目中的條件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，從而可以得到射線FE是否為∠AFC的角平分線；③由題中條件可得△CEF∽△BAE，進而得出對應線段成比例，進而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出題中結論；④根據題目中的條件和全等三角形的判定與性質，可以得到AF＝AB＋CF是否成立．【詳解】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan∠BAE＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①錯誤；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∠BEA＋∠CEF＝90°，∠CFE＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∠BEA＝∠CFE，∴△ABE∽△ECF，∴∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，設CF＝a，則EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴在Rt△ABE中，AE＝a，在Rt△CEF中，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；∵∠AFE＝∠CFE，∠AEF＝∠C，∴∠EAF＝∠CEF，∵∠BAE＝∠CEF，∴∠BAE＝∠EAF，∴△ABE∽△AEF，∴，∴AE2＝AB?AF，∵AD＝AB，∴AE2＝AD?AF，故③正確；作EG⊥AF于點G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG＋GF，∴AF＝AB＋CF，故④正確，由上可得，②③④正確，故答案為：②③④．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及負指數冪的性質和絕對值的性質化簡得出答案．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題主要考查了實數的運算，正確化簡各數是解題的關鍵．18.【答案】，整數解是0、1、2【分析】本題考查得是求一元一次不等式組的解集及整數解，正確解不等式組是解題關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再寫出整數解即可．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集是，整數解是0、1、2．19.【答案】【分析】由題意可得：，即，根據完全平方公式和平方差公式對代數式進行化簡，然后整體代入求解即可．【詳解】解：由m是方程的一個根可得，即，將代入，可得原式【點睛】此題考查了一元二次方程根的含義，完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵是理解一元二次方程根的含義，正確對代數式進行運算．20.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先計算根的判別式得到△=（a＋3）2，然后根據a>0得到△＞0，則可根據判別式的意義得到結論；（2）利用公式法求得方程的兩個解為x1＝－1，x2＝，再由方程有一個根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值．【詳解】（1）證明：，∵，∴，即．∴方程總有兩個不相等的實數根；（2）∵，由求根公式得x＝，∴，∵方程有一個根大于2，∴.∴．【點睛】本題考查了一元二次方程（）的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．21.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由外角的性質可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因為∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得結論；（2）過D作DH⊥AC于點H，先求出∠CBE=30°，再由平行線的性質可得∠2=∠CBE=30°，然后由銳角三角函數定義可得AH，DH的長，由菱形的性質和勾股定理得CH的長，即可得出AC的長．【詳解】（1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴?ABEF是菱形；（2）解：作DH⊥AC于點H，∵sin∠CBE=，∴∠CBE=30°，∵BE∥AC，∴∠1=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE=30°，Rt△ADH中，AH=AD?cos∠2=8=，DH=AD?sin∠2=，∵四邊形ABEF是菱形，∴CD=AB=BE=5，Rt△CDH中，CH=，∴AC=AH+CH=．【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定、銳角三角函數定義以及勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．22.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，得出，把代入，即可求出b的值，得出一次函數關系式；（2）根據函數圖象結合題意先推理得出，然后將代入y=-x+2得出函數值，根據題意即可列出，得出，根據此時得出，解得，結合圖象得出m的取值范圍即可．【小問1詳解】解：∵一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，∴．∵一次函數的圖象經過點，∴，∴，∴這個一次函數的表達式為．【小問2詳解】根據函數y=-x+2的函數圖象可知，要使當x>?1時，對于x的每一個值，函數y=mx?1(m≠0)的值小于一次函數y=kx+b的值，則一定要小于0，把代入y=-x+2得：，∴，，，，∴，即，∴，故m的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了求一次函數解析式，一次函數的性質，熟練掌握平移后一次函數關系式中的k值不變，是解題的關鍵．23.【答案】（1）430（2）乙滑雪場的游客，理由見解析（3）5850000【分析】（1）根據題意得到位于第25位和第26位的分別為430和430，即可求解；（2）根據甲滑雪場游客消費額的中位數為430，且被調查的游客當天的消費額為380元，可得他不是甲滑雪場的游客，即可求解；（3）用乙滑雪消費的平均數乘以每天的人數，再乘以時間，即可求解．【小問1詳解】解：根據題意得：位于第25位和第26位的分別為430和430，∴m=430；【小問2詳解】解：∵甲滑雪場游客消費額的中位數為430，且被調查的游客當天的消費額為380元，∴他不是甲滑雪場的游客，而是乙滑雪場的游客；【小問3詳解】根據題意得：乙滑雪場這個月（按30天計算）的游客消費總額為：元．【點睛】本題主要考查了條形統計圖和統計表，求中位數，中位數和平均數的應用，明確題意，準確從統計圖和統計表中獲取信息是解題的關鍵．24.【答案】（1）見解析；（2）PA=．【分析】（1）根據垂徑定理的推論可得OP⊥AC，根據垂直平分線的性質可得PA=PC，根據等腰三角形的性質可得∠PCA∠PAC，根據切線的性質可得OA⊥PA，可得∠PAC＋∠BAC90°，根據直徑所對圓周角等于90°可得∠ACB90°，即可得出∠ABC＋∠BAC90°，可得結論；（2）根據角的和差關系可得∠APO∠BAC，根據tan∠APO＝可得tan∠BAC==，即可求出AC的長，利用勾股定理可求出AB的長，進而求出OA的長，根據tan∠APO＝=即可得PA的長．【詳解】（1）∵D是AC中點，OP過⊙O的圓心，∴OP⊥AC，ADCD，∴PCPA，∴∠PCA∠PAC，∵PA是⊙O的切線，OA為半徑，∴OA⊥PA，∴∠PAC＋∠BAC90°，∵AB是直徑，∴∠ACB90°，∴∠ABC＋∠BAC90°，∴∠PCA∠ABC．（2）∵OP⊥AC，∴∠PAC＋∠APO90°，∵∠PAB90°，∴∠PAC＋∠BAC90°，∴∠APO∠BAC，∴tan∠APOtan∠BAC==，∵BC4，∴AC8，∴AB=，∴AO，∵tan∠APO＝=，∴PA=．【點睛】本題主要考查切線的性質、垂徑定理、圓周角定理及三角函數的定義，平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧；切線垂直于經過切點的半徑；直徑所對圓周角等于90°；熟練掌握相關性質及定理并理解三角函數的定義是解題關鍵．25.【答案】（1）（2）【分析】（1）由表格得當時，，當時，，從而可求頂點坐標，即可求解；（2）由表格可以直接求出，由可求出，進行比較即可．【小問1詳解】解：由表格得：，頂點坐標為，，，解得：，．【小問2詳解】解：由表格得當時，，原拱門中：（）；新拱門中：當時，解得：，，（），，．故答案：．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，理解函數中自變量和應變量的實際意義是解題的關鍵．26.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，不等式的性質，因式分解的應用等知識，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）將和代入拋物線解析式，得出，再結合拋物線對稱軸公式，即可求出t的值；（2）由拋物線對稱軸，得到，將，代入，可得，再根據，，得出，，然后根