2024北京北師大實驗中學高三（上）第二次測試數(shù)學試題及答案

試題試題2024北京北師大實驗中學高三（上）第二次測試數(shù)學（2024.10.15）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.2.在同一個坐標系中，函數(shù)與且的圖象可能是（）A.B.C. D.3.設為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（）A.2 B. C.4 D.5.已知實數(shù)滿足，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.6.設，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)．甲同學將的圖象向上平移個單位長度，得到圖象；乙同學將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（）A. B.C. D.8.“”是“為第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知，點在曲線上，若線段與曲線相交且交點恰為線段的中點，則稱為曲線關于曲線的一個關聯(lián)點．記曲線關于曲線的關聯(lián)點的個數(shù)為a，則（）A. B. C. D.10.我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為的線段，第次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去．若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.若復數(shù)，則__________．12.函數(shù)的定義域是____________.13.設公差為的等差數(shù)列的前項和為，能說明“若，則數(shù)列是遞減數(shù)列”為假命題的一組的值依次為__________．14.已知函數(shù)，，，其中表示a，b中最大的數(shù)．若，則________；若對恒成立，則t的取值范圍是________．15.已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當時，對任意非零實數(shù)，；④當時，存在，，使得對任意，都有.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）直接寫出一個值使在區(qū)間上單調(diào)遞減.17.已知函數(shù)，從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的值；（2）若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.條件①：；條件②：的圖象可由的圖象平移得到；條件③：在區(qū)間內(nèi)無極值點，且.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18.已知數(shù)列的前n項和為，，.（1）求，；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的通項公式；（3）設，求.19.已知橢圓的焦距為，直線與在第一象限的交點的橫坐標為3．（1）求的方程；（2）設直線與橢圓相交于兩點，試探究直線與直線能否關于直線對稱．若能對稱，求此時直線的斜率；若不能對稱，請說明理由．20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說明理由．21.設無窮數(shù)列的前項和為為單調(diào)遞增的無窮正整數(shù)數(shù)列，記，，定義．（1）若，寫出的值；（2）若，求；（3）設求證：對任意的無窮數(shù)列，存在數(shù)列，使得為常數(shù)列．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】由補集定義可直接求得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.2.【答案】A【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象關于對稱可確定結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：與圖象關于對稱，由選項中圖象對稱關系可知A正確.故選：A.3.【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軛復數(shù)的概念化簡復數(shù)，然后利用復數(shù)的幾何意義求解點所在的象限.【詳解】因為，所以，所以，對應的點為，所以在復平面內(nèi)對應的點在第三象限.故選：C4.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，∴，，所以.故選：B.5.【答案】A【分析】由可知A正確；通過反例可知BCD錯誤.【詳解】對于A，（當且僅當時取等號），，A正確；對于B，當，時，，B錯誤；對于C，當，時，，，則，C錯誤；對于D，當，時，，，則，D錯誤.故選：A.6.【答案】D【分析】首先將這三個數(shù)化為同底的對數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因為是增函數(shù)，，所以.故選：D7.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換原則，依次驗證選項中的函數(shù)變換后的解析式是否相同即可.【詳解】對于A，，，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，，，D錯誤.故選：B.8.【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系化簡，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因為時，則，所以為第一或第三象限角，反之，當為第一或第三象限角時，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C9.【答案】B【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為的解的個數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理判斷函數(shù)的零點個數(shù)，從而得解.【詳解】設點的坐標為，則線段的中點為，由題意可知，點在曲線上，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，由于函數(shù)與函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，所以函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，因為，，所以函數(shù)存在唯一零點，即只有一個解，所以曲線關于曲線的關聯(lián)點的個數(shù)為.故選：B.10.【答案】D【分析】根據(jù)變化規(guī)律可知每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求得第次后，去掉的線段長度總和為，由，結(jié)合對數(shù)運算可解不等式求得，由此可得結(jié)果.【詳解】第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為；第次操作，去掉的線段長度為，依次類推，可知第次操作去掉的線段長度為，即每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，第次后，去掉的線段長度總和為，由得：，，的最小值為.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】由共軛復數(shù)概念寫出，再求其模長.【詳解】由題設，則.故答案為：12.【答案】.【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.13.【答案】，（答案不唯一）【分析】由等差數(shù)列前n項和公式有且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)找到一個滿足不是遞減數(shù)列的即可.【詳解】由，其對稱軸為，且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，只需，即，此時不是遞減數(shù)列，如，，則，顯然.故答案為：，（答案不唯一）14.【答案】①.②..【分析】由函數(shù)的定義，求，由時，，當時，可得已知條件等價于在上恒成立，化簡可求的范圍．【詳解】由已知，若，則，所以，當時，，當時，，因為對恒成立；所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，若，則當時，，矛盾，當時，可得恒成立，所以，所以t的取值范圍是為，故答案為：，.15.【答案】②④【分析】取可判斷①，取化簡后可判斷②，先化簡，取可判斷③，取可判斷④.【詳解】對于①，當時，其最大值為1，最小值為0，的最大值與最小值的差為1，故①錯誤；對于②，當時，，，因此對任意，，故②正確；對于③，，，當時，故③錯誤；對于④，當時，取，，使得對任意，都有，故正確.故答案為：②④三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）（答案不唯一，即可）【分析】（1）求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值；（2）由題意可得在恒成立，根據(jù)恒成立問題分析求解.【小問1詳解】當時，，函數(shù)定義域為R，則，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在內(nèi)恒成立，可得在內(nèi)恒成立，即，即的取值范圍為，所以的值可以為.17.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選條件①，由的解不唯一，此條件不符合題意；選條件②，由周期求出；選條件③，由給定等式確定最大最小值條件，求出周期范圍，由給定區(qū)間內(nèi)無極值點求出周期即可.（2）由（1）求出函數(shù)的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小問1詳解】依題意，，選條件①，由，得，即，于是或，顯然的值不唯一，因此函數(shù)不唯一，不符合題意.選條件②，的圖象可由的圖象平移得到，因此的最小正周期為函數(shù)的最小正周期，而，則，所以.選條件③，在區(qū)間內(nèi)無極值點，且，則，即函數(shù)分別在時取得最大值?最小值，于是的最小正周期，由在區(qū)間內(nèi)無極值點，得的最小正周期，因此，而，所以.【小問2詳解】由（1）知，由，得，由不等式在區(qū)間內(nèi)有解，即在區(qū)間內(nèi)有解，則有，解得，所以的取值范圍是.18.【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）直接令求解即可；（2）結(jié)合（1）令得，進而求得的公差為，再根據(jù)通項公式求解即可；（3）根據(jù)得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合（2）得，進而根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求解即可.【小問1詳解】解：令，則，解得，令，則，解得.所以；；【小問2詳解】解：由（1）知；，所以令，則，解得.所以，，設等差數(shù)列的公差為，則，解得所以數(shù)列的通項公式為【小問3詳解】解：由（1）知，時，，當時，，整理得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為所以.由（2）知，所以，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以19.【答案】（1）（2）直線與直線能夠關于直線對稱，此時直線的斜率為1【分析】（1）由題意可得，由在上，可得，進而可求得橢圓方程；（2）將代入，設，進而可得，若直線與直線關于直線對稱，則，求解判斷即可.【小問1詳解】由已知，，所以．而在上，所以．于是，．則，故橢圓的方程為．【小問2詳解】可知，將代入，得．由，有．設，易知．則．因為直線與直線關于直線對稱，則直線與存在斜率，且斜率互為相反數(shù)．所以，即，即，所以，則，即，所以或．當時，的方程為，經(jīng)過點，與題意不符，故舍去．故直線與直線能夠關于直線對稱，此時直線的斜率為，同時應有．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求函數(shù)即可得解；（3）由（2）知，時，在區(qū)間上恒成立，取，可得解.【小問1詳解】當時，，，所以曲線在點處切線的斜率，又，所以曲線在點處切線的方程為即.【小問2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，對，即，對，令，只需，，，當時，有，則，在上單調(diào)遞減，符合題意，當時，令，其對應方程的判別式，若即時，有，即，在上單調(diào)遞減，符合題意，若即時，，對稱軸，又，方程的大于1的根為，，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，在區(qū)間上恒成立，實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知，當時，，在區(qū)間上恒成立，即，對，取代入上式得，化簡得.21.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）通過公式即可求出的值；（2）求出數(shù)列的前項和，對討論其奇偶，即可求出；（3）通過討論為有限集和無限集時的不同情況下的值，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意，，，，∴，，，，，∴【小問2詳解】由題意，在