2017-2018學年套餐之物理粵教版選修3-4講義第1章機械振動第2節

2單擺[學習目標]1.理解單擺模型及其振動的特點.2.理解單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源.3.了解影響單擺周期的因素，會用周期公式計算周期和擺長．一、單擺的簡諧運動[導學探究](1)如圖1所示，小球和細線構成一個振動系統，在什么情況下能把該振動系統看成單擺？(2)小球受到幾個力的作用？是什么力充當了小球振動的回復力？(3)在什么情況下小球的運動可看成是簡諧運動？圖1答案(1)如果細線的質量與小球的質量相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略時，該振動系統可看成單擺．(2)小球受兩個力的作用：重力和細線的拉力，重力沿圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供了使小球振動的回復力，如圖2所示．(3)小球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，單擺的運動可看成是簡諧運動．[知識梳理]1．單擺(1)模型：如果懸掛小球的細線的伸縮和質量可以忽略，線長又比球的直徑大得多，這樣的裝置叫做單擺．單擺是實際擺的理想化物理模型．(2)單擺的平衡位置：擺球靜止時所在的位置．2．單擺的回復力(1)回復力的提供：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力．(2)回復力的大小：在偏角很小時，F＝－eq\f(mg,l)x.3．單擺的運動特點小球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，單擺的運動可看成是簡諧運動．[即學即用]判斷下列說法的正誤．(1)單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力．(×)(2)單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力．(√)(3)單擺經過平衡位置時受到的回復力為零．(√)(4)單擺是一個理想化的模型．(√)二、單擺做簡諧運動的周期[導學探究]如圖2所示，擺長不同的兩個單擺同時釋放，我們可以觀察到振動的周期不同．影響周期的因素可能有單擺的振幅、質量、擺長，如何研究周期與這些量的關系？請設計實驗方案．圖2答案由于變量比較多，所以需按下面的方案進行探究：(1)擺長、質量相同，兩擺的振幅不同(都在小偏角情況下)．(2)擺長、振幅相同，兩擺擺球的質量不同．(3)質量、振幅相同，兩擺的擺長不同．比較以上三種情況下兩擺的周期，可以得到周期與振幅、質量、擺長之間的定性關系．[知識梳理]1．單擺的等時性(1)原理：伽利略發現單擺振動的周期與擺球質量無關(填“有關”或“無關”)，與振幅無關(填“有關”或“無關”)．(2)應用：惠更斯利用擺的等時性原理制成第一座擺鐘．2．單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立．(2)l為單擺的擺長．對于實際的單擺，擺長是指從懸點到擺球重心的長度，l＝l′＋eq\f(d,2)，l′為擺線長，d為擺球直徑．圖3(a)中的等效擺長為lsinα，周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).(3)g為單擺所在處的重力加速度．①在地球上，g隨緯度的升高而增大，隨高度的升高而減小．②不同星球上的g值也不同．圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙等效．圖3[即學即用]判斷下列說法的正誤．(1)單擺的振幅變為原來的一半，則周期也將變為原來的一半．(×)(2)如果重力加速度減為原來的四分之一，則單擺的周期變為原來的2倍．(√)(3)單擺的周期與擺長成正比．(×)(4)一個單擺在月球上擺動的周期大于其在地球上擺動的周期．(√)一、單擺的回復力1．單擺振動中的回復力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一個分力．單擺振動過程中，與彈簧振子不同之處是有向心力．2．在最大位移處時，因速度為零，所以向心力為零，故此時合外力也就是回復力．3．在平衡位置處時，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時回復力為零，但合外力不為零．例1振動的單擺小球通過平衡位置時，關于小球受到的回復力及合力的說法中正確的是()A．回復力為零，合力不為零，方向指向懸點B．回復力不為零，方向沿軌跡的切線C．回復力就是合力D．回復力為零，合力也為零答案A解析單擺的回復力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當擺球運動到平衡位置時，回復力為零，但合力不為零，因為小球還有向心力，方向指向懸點(即指向圓心)．二、單擺的周期例2某單擺原來的周期為T，下列情況會使單擺周期變為eq\f(T,2)的是()A．擺長減為原來的eq\f(1,4) B．擺球的質量減為原來的eq\f(1,4)C．振幅減為原來的eq\f(1,4) D．重力加速度減為原來的eq\f(1,4)答案A解析由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可知周期與擺球的質量和振幅無關，B、C錯誤；當擺長減為原來的eq\f(1,4)時，周期變為原來的eq\f(1,2)，A正確；當重力加速度減為原來的eq\f(1,4)時，周期變為原來的2倍，D錯誤．針對訓練一個單擺的擺長為l，在其懸點O的正下方0.19l處有一釘子P，如圖4所示，現將擺球向左拉開到A.擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動，求出單擺的振動周期．圖4答案1.9πeq\r(\f(l,g))解析釋放后擺球到達右邊最高點B處，由機械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和．T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(0.81l,g))＝1.9πeq\r(\f(l,g)).例3如圖5所示，光滑軌道的半徑為2m，C點為圓心正下方的點，A、B兩點與C點相距分別為6cm與2cm，a、b兩小球分別從A、B兩點由靜止同時放開，則兩小球相碰的位置是()圖5A．C點 B．C點右側C．C點左側 D．不能確定答案A解析由于半徑遠遠地大于運動的弧長，小球都做簡諧運動，類似于單擺．因此周期只與半徑有關，與運動的弧長無關，故選項A正確．1.(多選)圖6中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中()圖6A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力最大C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大答案BD解析擺球在擺動過程中，在最高點A、C處速度為零，回復力最大，合力不為零，故A錯誤，B正確；在最低點B處，速度最大，回復力為零，擺球做圓周運動，細線的拉力最大，故C錯誤，D正確．2．兩個單擺都做簡諧運動，在同一地點甲擺振動20次時，乙擺振動了40次，則()A．甲、乙擺的振動周期之比為1∶2B．甲、乙擺的振動周期之比為eq\r(2)∶1C．甲、乙擺的擺長之比為1∶4D．甲、乙擺的擺長之比為4∶1答案D解析由題意知20T甲＝40T乙，故T甲∶T乙＝2∶1，A、B錯；而T＝2πeq\r(\f(l,g))，所以l甲∶l乙＝Teq\o\al(2,甲)∶Teq\o\al(2,乙)＝4∶1，C錯，D對．3．一單擺的擺長為40cm，擺球在t＝0時刻正從平衡位置向右運動，若g取10m/s2，則在1s時擺球的運動情況是()A．正向左做減速運動，加速度正在增大B．正向左做加速運動，加速度正在減小C．正向右做減速運動，加速度正在增大D．正向右做加速運動，加速度正在減小答案D解析由T＝2πeq\r(\f(l,g))，代入數據得T＝1.256s，則1s時，正處于第四個eq\f(1,4)T內，由左側最大位移向平衡位置運動，即向右非勻加速運動，a減小，D正確．4.如圖7所示，MN為半徑較大的光滑圓弧軌道的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一小球B放在MN上離最低點C很近的一處，今使兩球同時自由釋放，則在不計空氣阻力時有()圖7A．A球先到達C點B．B球先到達C點C．兩球同時到達C點D．無法確定哪一個球先到達C點答案A解析A球做自由落體運動，到達C點所需時間tA＝eq\r(\f(2R,g))，R為圓弧軌道的半徑．因為圓弧軌道的半徑R很大，B球離最低點C又很近，所以B球可看作沿圓弧做簡諧運動，等同于擺長為R的單擺，則運動到最低點C所用的時間是單擺振動周期的eq\f(1,4)，即tB＝eq\f(T,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))>tA，所以A球先到達C點．一、選擇題1．關于單擺，下列說法中正確的是()A．擺球所受的合外力指向平衡位置B．擺球經過平衡位置時加速度為零C．擺球運動到平衡位置時，回復力等于零D．擺角很小時，擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比答案C2．(多選)關于單擺運動，下列說法正確的是()A．單擺的回復力是擺線的拉力與重力的合力B．單擺的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力C．單擺的周期與擺球質量無關，與振幅無關，與擺長和當地的重力加速度有關D．單擺做簡諧運動的條件是擺角很小，如小于5°答案BCD解析單擺的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力，千萬不要誤認為是擺球所受的合外力，所以A錯誤，B正確；根據單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺的周期與擺球質量無關，與振幅無關，與擺長和當地的重力加速度有關，C正確；當擺角很小時，擺球的運動軌跡可以近似地看作直線，回復力即重力沿擺球運動軌跡切向的分力可以近似地看作沿這條直線，這時可以證明：F回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，可見，在擺角很小時，單擺近似做簡諧運動，D正確．3．當單擺的擺球擺到最大位移處時，擺球所受的()A．合外力為零 B．回復力為零C．向心力為零 D．擺線中張力為零答案C解析當擺球擺到最大位移處時，回復力最大，不為零，所以選項A、B均錯；擺球在最大位移處，速度為零，由向心力公式F＝eq\f(mv2,r)可知，向心力也為零，此時擺線中的張力等于重力沿擺線方向上的分力，所以選項C對，D錯．4．(多選)某單擺由1m長的擺線連接一個直徑為2cm的鐵球組成，關于單擺周期的下列說法正確的是()A．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變B．用大球替代小球，單擺的周期不變C．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變小答案AD解析用等大的銅球替代鐵球，擺長不變，由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺的周期不變，故A正確；用大球替代小球，單擺擺長變長，由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺的周期變大，故B錯誤；由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，在小擺角情況下，單擺做簡諧運動的周期與擺角無關，擺角從5°改為3°時，單擺周期不變，故C錯誤；將單擺從赤道移到北極，重力加速度g變大，由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺周期變小，故D正確．5．單擺在振動過程中，當擺球的重力勢能增大時，擺球的()A．位移一定減小 B．回復力一定減小C．速度一定減小 D．加速度一定減小答案C解析當擺球的重力勢能增大時，擺球的位移增大，回復力、加速度增大，速度減小，故C正確．6．(多選)惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘．擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重力勢能提供，運動的速率由鐘擺控制．旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動，如圖1所示，下列說法正確的是()圖1A．當擺鐘不準時需要調整圓盤位置B．擺鐘快了應使圓盤沿擺桿上移C．由冬季變為夏季時應使圓盤沿擺桿上移D．把擺鐘從廣州移到北京應使圓盤沿擺桿上移答案AC解析調整圓盤位置可改變擺長，從而達到調整周期的作用．若擺鐘變快，是因為周期變小，應增大擺長，即下移圓盤．由冬季變為夏季，擺桿變長，應上移圓盤．從廣州到北京，g值變大，周期變小，應增加擺長．綜上所述，選項A、C正確．7.(多選)圖2中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現將擺球A在兩擺球所在平面內向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開，各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質量，則()圖2A．如果mA＞mB，下一次碰撞將發生在平衡位置右側B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發生在平衡位置左側C．無論兩擺球的質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側D．無論兩擺球的質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側答案CD解析A、B兩球碰撞后，B球一定向右擺，A球可能向右擺，也可能向左擺，還可能停下來．由于兩單擺擺長相同，因此擺動的周期相同，它們在第一次碰后半個周期回到平衡位置而發生第二次碰撞，C、D正確．8.如圖3，豎直平面內有一半徑為1.6m、長為10cm的光滑圓弧軌道，小球置于圓弧左端，t＝0時刻起由靜止釋放，取g＝10m/s2，t＝2s時小球正在()圖3A．向右加速運動 B．向右減速運動C．向左加速運動 D．向左減速運動答案D解析將小球的運動等效成單擺運動，則小球的周期：T＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(1.6,10))s＝0.8πs≈2.5s.所以在t＝2s＝eq\f(4,5)T時刻，小球在最低點向左側的運動過程中，所以是向左做減速運動．故D正確．9．若單擺的擺長不變，擺球的質量增加為原來的4倍，擺球經過平衡位置的速度減小為原來的一半，則單擺振動的()A．頻率不變，振幅改變 B．頻率改變，振幅不變C．頻率不變，振幅不變 D．頻率改變，振幅改變答案A解析由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，因l不變，故T不變，f＝eq\f(1,T)不變；當l一定時，單擺的振幅A取決于偏角θ，根據機械能守恒定律，擺球從最大位移處到平衡位置mgl(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mv2得v2＝2gl(1－cosθ)，與m無關；由擺球通過最低點的速度減小知，單擺的偏角θ減小，所以振幅減小，故選項A正確．10．(多選)如圖4所示，乙圖中圖像記錄了單擺中擺球的動能、勢能隨擺球位置變化的關系，不計空氣阻力，下列關于圖像的說法正確的是()圖4A．a圖線表示勢能隨位置的變化關系B．b圖線表示動能隨位置的變化關系C．c圖線表示機械能隨位置的變化關系D．圖像表明擺動過程中機械能不變答案CD解析單擺擺動過程中，只有重力做功，機械能守恒，在A、C兩點動能最小，勢能最大，在B點動能最大，勢能最小，故a圖線表示動能隨位置的變化關系，b圖線表示重力勢能隨位置的變化關系，c圖線表示擺球的機械能不變，故C、D對．二、非選擇題11．有一單擺，其擺長l＝1.02m，擺球的質量m＝0.10kg，已知單擺做簡諧運動，單擺30次全振動用的時間t＝60.8s，試求：(1)當地的重力加速度是多大？(2)如果將這個單擺改為秒擺(周期為2s)，擺長應怎樣改變？改變多少？答案(1)9.79m/s2(2)縮短0.027m解析(1)當單擺做簡諧運動時，其周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2)，只要求出T值代入即可．因為T＝eq\f(t,n)＝eq\f(60.8,30)s≈2.027s，所以g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(4×3.142×1.02,2.0272)m/s2≈9.79m/s2.(2