2026版大一輪高考數學-第五章　§5.4　平面向量中的綜合問題

§5.4平面向量中的綜合問題重點解讀平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合.其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等.題型一平面向量在幾何中的應用例1(1)設P是△ABC所在平面內一點，若AB·(CB＋CA)＝2AB·CP，且AB2＝AC2－2BC·AP，則點P是A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心答案A解析由AB·(CB＋CA)＝2AB·得AB·(CB＋CA－2CP)＝即AB·[(CB－CP)＋(CA－CP所以AB·(PB＋PA)＝設D為AB的中點，則AB·2PD＝0，故AB·PD＝0.由AB2＝AC2－2得(AB＋AC)·(AB－AC)＝－2即(AB＋AC－2AP)·CB＝設E為BC的中點，則(2AE－2AP)·CB＝0，則2PE·CB＝0，故CB·PE＝0.所以P為AB與BC的垂直平分線的交點，所以P是△ABC的外心.(2)△ABC的外心O滿足OA＋OB＋2OC＝0，|AB|＝2，則△A.2＋22 B.1答案B解析設AB的中點為D，則OA＋OB＋2OC＝0可化為即OC＝－2OD∴O，D，C三點共線且CD⊥AB，∴△ABC為等腰三角形，|OA|2＝|OD|2＋|AD|2，設△ABC外接圓的半徑為R，則R2＝R2解得R＝1，CD＝1＋22∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×2×思維升華用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.跟蹤訓練1(1)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，則點O是△ABCA.內心 B.外心 C.垂心 D.重心答案C解析∵OA·OB＝OB·∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝∴OB⊥CA，即OB為△ABC邊CA上的高所在的直線.同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，∴OA⊥BC，OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.(2)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED的長為.答案21解析以A為坐標原點，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC＝(3，3)，設AE＝λAC，則E的坐標為(3λ，3λ)，故BE＝(3λ，3λ－3).因為BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14所以E34故ED＝94，-34即ED＝212題型二和向量有關的最值問題命題點1與平面向量基本定理有關的最值問題例2已知OA，OB是兩個夾角為120°的單位向量，如圖所示，點C在以O為圓心的AB上運動.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是()A.2 B.2 C.3 D.3答案B解析由題意，以O為原點，OA的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，設C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，可得A(1，0)，B-1由OC＝x(1，0)＋y-12，32＝(cosθ，得x－12y＝cosθ，32y＝sinθ，∴32y＝3sin∴x＋y＝x-12y＋32y＝cosθ＋3sinθ＝∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，∴當θ＝60°時，x＋y的最大值為2，此時C為AB的中點，∴x＋y的最大值是2.命題點2與數量積有關的最值問題例3在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，則PA·PB的取值范圍是()A.[－5，3] B.[－3，5]C.[－6，4] D.[－4，6]答案D解析方法一(坐標法)以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設P(x，y)，則x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x-322＋(y－2)又x-322＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上一點到點32，2距離的平方，圓心(0，0)到點32，即PA·PB的取值范圍是[－4，6].方法二(極化恒等式法)設AB的中點為M，CM與CP的夾角為θ，由題意知AB＝5，CM＝52由極化恒等式得PA·PB＝PM2－14AB2＝(CM－CP)2－254＝CM2＋CP2－2CM因為cosθ∈[－1，1]，所以PA·PB的取值范圍是[－4，6].命題點3與模有關的最值問題例4已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A.[2－1，2＋1] B.[2－1，2]C.[2，2＋1] D.[2－2，2＋2]答案A解析a，b是單位向量，a·b＝0，設a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝(x-1)2＋(y-1)2＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上的點到原點的距離，故12＋12－1≤|c|≤12＋思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數求最值(范圍).(2)利用基本不等式求最值(范圍).(3)建立坐標系，設變量構造函數求最值(范圍).(4)數形結合，應用圖形的幾何性質求最值.跟蹤訓練2(1)(2024·銅川模擬)在△ABC中，D是AB邊上的點，滿足AD＝2DB，E在線段CD上(不含端點)，且AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，則x＋2yxyA.3＋22 B.4＋23C.8＋43 D.8答案B解析∵AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，AD＝2DB，∴AE＝3x2又E在線段CD上(不含端點)，∴3x2＋y＝1，且x>0，y∴x＝4＋3x2y＋2y當且僅當3x2y＝2yx，即x＝3-33，y＝3(2)(2025·韶關模擬)已知平面向量a，b，c均為單位向量，且|a＋b|＝1，則向量a與b的夾角為，(a＋b)·(b－c)的最小值為.

答案2π3－解析由題意知，|a|＝|b|＝|c|＝1，由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，得a·b＝－12，所以cos〈a，b〉＝a·b又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π3即a與b的夾角為2π3(a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c＝12－|a＋b||c|cos〈a＋b，c＝12－cos〈a＋b，c又cos〈a＋b，c〉∈[－1，1]，所以32≥12－cos〈a＋b，c〉≥－當且僅當a＋b與c同向時，右側等號成立.所以(a＋b)·(b－c)的最小值為－12(3)(2024·會寧模擬)已知單位向量a，b滿足|3a－4b|＝m，則實數m的取值范圍是.答案[1，7]解析設a，b的夾角為θ(θ∈[0，π])，因為|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24|a||b|cosθ＋16|b|2，又a，b為單位向量，則m2＝9＋16－24cosθ＝25－24cosθ，又cosθ∈[－1，1]，則1≤m2≤49，所以1≤m≤7.四心問題一、引理(“奔馳”定理)如圖1，O是△ABC內一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.圖1與奔馳汽車的標志(圖2)類似，故該引理又稱為“奔馳”定理.證明如圖，延長AO與BC相交于點D，BDDC記BDDC＝λ，則BD＝λDC，即OD－OB＝λ(所以－(1＋λ)OD＋OB＋λOC＝又OD＝－|OD||所以SASB從而SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.推論若O是△ABC內的一點，且xOA＋yOB＋zOC＝0，則SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.二、三角形“四心”的定義、幾何性質和向量特征1.重心(1)定義：三角形三條中線的交點.(2)幾何性質：三角形的重心是中線的三等分點，它到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.(3)向量特征：定理1G是△ABC的重心?GA＋GB＋證明由引理得G是△ABC的重心?SA＝SB＝SC?GA＋GB＋推論1P是△ABC所在平面內任意一點，PG＝13(PA＋PB＋證明G是△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0?PA－PG2.外心(1)定義：三角形三條邊的中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心.(2)幾何性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等.(3)向量特征：定理2O是銳角△ABC的外心?OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.證明由O是銳角△ABC的外心，得|OA|＝|OB|＝|OC|，則∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，于是SA∶SB∶SC＝sin2A∶sin2B∶sin2C，根據引理，得到OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.反之亦然(證明略).推論2P是銳角△ABC所在平面內任意一點，PO＝PAsin2A＋PBsin2推論2可仿照推論1進行證明.3.內心(1)定義：三角形三條內角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心.(2)幾何性質：三角形的內心到三邊的距離相等.(3)向量特征：定理3O是△ABC的內心?aOA＋bOB＋cOC＝0.(其中a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊長)證明設△ABC的內切圓半徑為r，O是△ABC的內心，則SA∶SB∶SC＝ar2∶br2∶cr2＝a∶b根據引理得，O是△ABC的內心?aOA＋bOB＋cOC＝0.推論3P是△ABC所在平面內任意一點，O是△ABC的內心?PO＝推論3可仿照推論1進行證明.4.垂心(1)定義：三角形三條高所在直線的交點.(2)幾何性質：三角形的垂心分每條高線所得的兩條線段長的乘積相等.(3)向量特征：定理4O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.證明O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OA·OB＝OB·OC?|OA|·|OB|cos(π－C)＝|OB|·|OC|cos(π－A)＝|OC|·|OA|cos(π－B)?|OA|∶|OB|∶|OC|＝cosA∶cosB∶cosC?SA∶SB∶SC＝tanA∶tanB∶tanC，由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.推論4P是△ABC(非直角三角形)所在平面內任意一點，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?PO＝推論4可仿照推論1進行證明.典例奔馳定理與三角形四心(重心、內心、外心、垂心)有著神秘的關聯.它的具體內容是：已知M是△ABC內一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，則SA·MA＋SB·MB＋SC·MC＝0.以下命題錯誤的是()A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，則M為△ABC的重心B.若M為△ABC的內心，則BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M為△ABC的外心，則SA∶SB∶SC＝3∶2∶1D.若M為△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，則cos∠AMB＝－6答案C解析對于A，取BC的中點D，連接MD，如圖，由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，則MA＋MB＋所以2MD＝MB＋所以A，M，D三點共線，且AM＝設E，F分別為AB，AC的中點，同理可得CM＝23CE，BM＝23BF對于B，由M為△ABC的內心，則可設其內切圓半徑為r，則有SA＝12BC·r，SB＝12AC·r，SC＝1所以12r·BC·MA＋12r·AC·MB＋即BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0，故B正確；對于C，由M為△ABC的外心，則可設△ABC的外接圓半徑為R，又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，則有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，所以SA＝12R2·sin∠BMC＝12R2·sin90°＝12SB＝12R2·sin∠AMC＝12R2·sin120°＝34SC＝12R2·sin∠AMB＝12R2·sin150°＝14所以SA∶SB∶SC＝2∶3∶1，故C錯誤；對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，由M為△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，則SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，又S△ABC＝SA＋SB＋SC，則S△ABCSA＝4，設MD＝x，MF＝y，x，y>0，則AM＝3x，BM＝2y，所以cos∠BMD＝x2y＝cos∠AMF＝即3x2＝2y2，xy所以cos∠BMD＝66，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－66，故D課時精練[分值：52分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·昆明模擬)設x>0，向量AB＝(x2，－2x)在向量AC＝(1，2)上的投影向量為λAC(λ∈R)，則實數λ的最小值為()A.－45 B.－455 C.－15答案A解析向量AB在向量AC上的投影向量為AB·AC|則λ＝x2-4x5當且僅當x＝2時，等號成立，所以λ的最小值為－452.已知點P是邊長為2的正方形ABCD所在平面內一點，若|AP－AB－AD|＝1，則|AP|A.22－1 B.22C.22＋1 D.22＋2答案C解析由AP－AB－AD＝AP－(AB＋AD)＝得|CP|＝1，即點P在以點C為圓心，1為半徑的圓周上運動，所以|AP|的最大值為22＋22＋1＝23.已知非零向量AB與AC滿足AB|AB|＋AC|AC|·BC＝0且AB|A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案C解析由AB|AB|＋AC|AC|·所以AB＝AC，設AB，CA的夾角為θ，而AB|AB|·CA|AC|＝又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，∠A＝π－π3＝2π34.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，點D滿足CD＝2DB，AD＝37，則BC的長為()A.37 B.36 C.33 D.6答案A解析因為CD＝2DB，所以AD＝AB＋13(設AB＝x，x>0，則|AD|2＝23得37＝49x2＋49×x×9cos60°＋19×即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍負)，即AB＝6，所以|BC|＝|AC－＝|＝62＋925.在平行四邊形ABCD中，點P在對角線AC上(包含端點)，且AC＝2，則(PB＋PD)·PA有(A.最大值為12B.最小值為－12C.最小值為－12，最大值為D.最小值為－4，最大值為1答案C解析設AC與BD的交點為O，則PB＋PD＝2PO，所以(PB＋PD)·PA＝2如圖(1)，當點P在AO上，設|PO|＝a∈[0，1]，(PB＋PD)·PA＝2PO·PA＝－2a(1－a)，當a＝12時，有最小值為如圖(2)，當點P在CO上，設|PO|＝a∈[0，1]，(PB＋PD)·PA＝2PO·PA＝2a(1＋a)，當a＝1時，有最大值為綜上，(PB＋PD)·PA有最小值為－126.(2024·呼和浩特模擬)在△ABC中，D為線段AC的一個三等分點，AD＝2DC.連接BD，在線段BD上任取一點E，連接AE，若AE＝aAC＋bAB(a，b∈R)，則a2＋b2的最小值為()A.134 B.52 C.413答案C解析設BE＝λBD，λ∈[0，1]，因為AD＝2DC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA＋AD)所以a＝2λ3，b＝1－所以a2＋b2＝49λ2＋(1－λ)2＝139λ2－2λ＋當λ＝－-22×139＝913時，a二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.設點D是△ABC所在平面內一點，則下列說法正確的有()A.若AD＝12(AB＋B.若AD＝13AB|ABC.若AD＝2AB－AC，則點D在邊D.若AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△BCD是△ABC答案ABD解析對于A，∵AD＝1即12AD－即點D是邊BC的中點，故A正確；對于B，AD·BC＝13(－|BC|＋|BC|)＝0，即AD⊥BC故直線AD過△ABC的垂心，故B正確；對于C，∵AD＝2AB－即AD－AB＝即點D在邊CB的延長線上，故C錯誤；對于D，∵AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝12設AM＝2AD，則AM＝2AD＝2xAB＋2yAC，且2x＋2y＝1，故M，B，C三點共線，且|AM|＝2|AD|，即△BCD是△ABC面積的一半，故D正確.8.已知△ABC的面積為3，在△ABC所在的平面內有兩點P，Q，滿足PA＋2PC＝0，QA＝2QB，記△APQ的面積為S，則下列說法正確的是()A.PB∥CQB.BPC.PA·PC<0D.S＝4答案BCD解析由PA＋2PC＝0，Q