新定義閱讀理解題-自主學習單-2024《幾何模型教學設計培優專題》

新定義閱讀題知識技能梳理新定義的類型：一般分為三種類型：定義新運算；定義初、高中知識銜接"新知識"；定義新概念本節難點突破主要研究新概念。解決定義新概念的關鍵：正確理解新定義概念的意義.(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”。歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.利用的數學思想：（1）轉化的思想，把未知的問題轉化為學過的知識。（2）遷移的應用，對全新的概念，需要靈活的遷移運用。（3）類比的思想。學習過程模塊一：以函數為載體例題1：在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如……都是“雁點”．（1）求函數圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當時．①求c的取值范圍；②求的度數；（3）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線上一點，連接，以點P為直角頂點，構造等腰，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．例題2、城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy，對兩點Ax1,y1數學理解：（1）①已知點A（﹣2，1），O為原點，則d（O，A）＝．②函數y=-2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，O為原點，d（O，B）＝3，則點B的坐標是．（2）函數y=4x（x>0）的圖象如圖②所，O為原點。求證：該函數的圖象上不存在點C，使d（O，C）＝（3）函數y=x2-5x+7（x≥0）的圖象如圖③所示，D是圖象上一點，求d（O，問題解決：（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當的平面直角坐標系，畫出示意圖并簡要說明理由）練習1：定義：若一次函數y＝ax+b和反比例函數y＝﹣滿足a﹣b＝b﹣c，則稱y＝ax2+bx+c為一次函數和反比例函數的“等差”函數．(1)判斷y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函數？若存在，寫出它們的“等差”函數；(2)若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函數，且“等差”函數的圖象與y＝﹣的圖象的一個交點的橫坐標為1，求反比例函數的表達式；(3)若一次函數y＝ax+b和反比例函數y＝﹣（其中a、b、c為常數，且a＞0，c＞0，a＝b）存在“等差”函數，且y＝ax+b與“等差”函數有兩個交點A（x1，y1）、B（x2，y2），試判斷“等差”函數圖象上是否存在一點P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．練習2：定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．例如，點是函數的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設函數的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C．當的面積為3時，求b的值；（3）若函數的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍。練習3、我們規定：關于x的反比例函數y＝稱為一次函數y＝ax+b的“次生函數”，關于x的二次函數y＝ax2+bx﹣（a+b）稱為一次函數y＝ax+b的“再生函數”．(1)按此規定：一次函數y＝x﹣3的“次生函數”為：，“再生函數”為：；(2)若關于x的一次函數y＝x+b的“再生函數”的頂點在x軸上，求頂點坐標；(3)若一次函數y＝ax+b與其“次生函數”交于點（1，﹣2）、（4，﹣）兩點，其“再生函數”與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．①若點D（1，3），求∠CBD的正切值；②若點E在直線x＝1上，且∠CBE＝45°，求點E的坐標．練習4、如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關聯”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1＝x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關聯”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經過點D（6，﹣1）．(1)直接寫出A，B的坐標和拋物線C2的解析式；(2)拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)如圖2，點F（﹣6，3）在拋物線C1上，點M，N分別是拋物線C1，C2上的動點，且點M，N的橫坐標相同，記△AFM面積為S1（當點M與點A，F重合時S1＝0），△ABN的面積為S2（當點N與點A，B重合時，S2＝0），令S＝S1+S2，觀察圖象，當y1≤y2時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內S的最大值．模塊二以三角形、四邊形為載體例題1：以三角形為載體【定義理解】如圖1，在△ABC中，E是BC的中點，P是AE的中點，就稱CP是△ABC的“雙中線”，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，則CP＝．（2）【類比探究】①如圖2，E是菱形ABCD一邊上的中點，P是BE上的中點，則稱AP是菱形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，∠BAD＝120°，則AP＝．②如圖3，AP是矩形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，BC＝6，求AP的長．（3）【拓展應用】如圖4，AP是平行四邊形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，BC＝6，∠BAD＝120°，求AP的長．例題2以四邊形為載體例題2：我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．（1）定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝度．（2）變式應用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，判斷PM+PN與CE的數量關系？請說明理由．（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．練習1：我們約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“優美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關于邊BC的“優美三角形”．（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關于邊BC的“優美三角形”；（2）如圖3，已知△ABC為關于邊BC的“優美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點，以BD為直徑的⊙O恰好經過點A．①求證：直線CA與⊙O相切；②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；（3）已知三角形ABC為關于邊BC的“優美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．練習2、我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業三角形”的是；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．練習3、定義：對于一個四邊形，我們把依次連結它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形性質探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關于四邊形ABCD的兩條結論：；．問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側作正方形ABDE和正方形ACFG，連結BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，（1）試探索AC與MN的數量關系，并說明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．練習4、我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．(1)已知四邊形ABCD是“等對角四邊形”，，，則=________°，=_________°．(2)如圖1，在中，，為斜邊邊上的中線，過點作垂直于交于點，試說明四邊形是“等對角四邊形”．(3)如圖2，在中，，，，平分，點在線段延長線上，以點為頂點構成的四邊形為“等對角四邊形”，求線段的長．模塊3以圓為載體例題1、婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和負數的運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是（填序號）；①矩形②菱形③正方形（2）如圖，四邊形ABCD內接于圓，P為圓內一點，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求證：四邊形ABCD為“婆氏四邊形”；（3）在（2）的條件下，BD＝4，且AB＝DC．①當DC＝2時，求AC的長度；②當DC的長度最小時，請直接寫出tan∠ADP的值．例題2：定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以OC為半徑的⊙O恰好經過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．練習1、在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b＝1時，直線l關于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．練習2、如圖1，在平面內，過⊙T外一點P畫它的兩條切線，切點分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點P為⊙T的“限角點”．（1）在平面直角坐標系xOy中，當⊙O半徑為1時，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角點”是；（填寫序號）（2）如圖2，⊙A的半徑為，圓心為（0，2），直線l：y＝﹣x+b交坐標軸于點B、C，若直線l上有且只有一個⊙O的“限角點”，求b的值．（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為，圓心D從原點O出發，以個單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運動，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點”，請直接寫出運動的時間t（s）的取值范圍．練習3、如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當∠APB的度數最大時，點P的坐標為