大問題驅動：揭示度量本質的有效教學

【摘要】問題是學習的靈魂。以大問題驅動，可以提高學生的學習能力，促進學生的思維發展，從而力求實現教育的高質量發展。文章以江蘇省省優課“角的度量”為例，分析如何通過三大問題驅動，解決核心任務——定標準、定工具、定方法，幫助學生形成抽象能力和應用意識的經驗基礎，最終達成揭開度量本質的有效教學。【關鍵詞】大問題度量本質抽象能力應用意識《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。“角的度量”是小學“圖形與幾何”中非常重要的內容，學習角的度量可以幫助學生建立量感，養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。下文以2023年江蘇省小學數學優質課“角的度量”（江蘇省鹽城市大豐區實驗小學張善剛教師執教）為例，闡述如何以大問題驅動，促進揭示本質的有效教學。一、定標準：由粗到細，迭代升級張老師通過定標準，由粗到細，解決第一個大問題——角可以被度量嗎？在傳統教學中，教師常常會先定義1度角，再認識幾度角，并教給學生用量角器量角的方法。有專家認為，如果先定義1度角，再從定義出發，通過1度角的累加是很難得到1周角等于360°的。那么，怎樣讓學生更好地感悟角的計量單位？張老師為我們提供了新的教學思路。（一）“格角”迭代“格子”鐘面上分針的運動軌跡形成∠1和∠2（圖1）。“除了觀察，還有哪些方法可以比較它們的大小？”有的學生用三角尺的直角比對，有的學生用直尺量兩邊張開的寬度，還有的學生通過鐘面數大格比較。張老師順勢引出鐘面數小格比較的方法，并追問“∠2比∠1大多少？”學生脫口而出“大8小格！”。看來，學生通過自然選擇，能初步感悟到角是可以被度量的。通過張老師的介紹，進而明晰角的大小一般是用“格角”來度量的。學生口頭表達的大格、小格，其實就是大格角、小格角。格角和格子不同，格角也是一種角。（二）“小格角”迭代“大格角”使用大格角透明圓片或小格角透明圓片來測量∠3和∠4（圖2）。學生通過動手操作得出：∠3里有4個大格角，∠4里有12個小格角。接下來，張老師的追問尤為重要：用1號工具（大格角透明圓片）測量∠4時，遇到了什么問題？學生馬上就打開了話匣：用大格角去量，不是正好整格的；用小格角去量，正好12格。至此，學生感悟用“小格角”作為參照來進行度量，普適性優于“大格角”。另外，這樣的透明圓片從鐘面過度而來，相當于“初代量角工具”，雖然粗陋，但很巧妙。學生在“具身”量角體驗中，能琢磨出初步的量角方法，無需教師直給“點對點，邊對邊……”之類的口訣技巧。（三）“1度角”迭代“小格角”“1度角”迭代“小格角”的過程也是在張老師大問題的引領下自然生成的。“用大格角透明圓片量一個極小的角（圖略），行嗎？”“用小格角透明圓片量一個極小的角，行嗎？”“圓周角平均分成12份，得到的大格角不合適，平均分成60份，得到的小格角還不合適，怎么辦？”學生馬上就體會到“需要找到更精細的圓盤量”。進而引出把周角平均分成更多的份數，濃墨重彩地請出了角的計量單位——1度角。我們需要以更為精細的角作為測量的參照，但為什么這個標準就是1度角呢？張老師通過精心編輯的史料視頻，介紹了1度角的由來，凸顯了計量單位的數學規定屬性。二、定工具：由繁入簡，匠心獨具學生知道量角器是度量角的工具，但是為什么要用它來完成度量呢？張老師通過定工具，由繁入簡，解決第二個大問題——用什么來度量？（一）動態累加，形成“初代量角工具”【教學片段】師：這是1°，再來一個是？（圖略）生：2°。師：2°里有幾個1°？生：2個。師：現在多少度？生：3°、4°、5°……10°……90°。師：90個1°就是90°。直角90°，平角180°，周角360°。你能照樣子說一個度數嗎？生：100個1°是100°……師：多少個1°就是多少度。波利亞曾提出，學習任何新知的最佳途徑是由學生自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握內在的規律和聯系。張老師基于學生的基本知識經驗，通過標準角（1°角）的累加，產生2°角、3°角、4°角……直角、平角，直到周角。由此勾連起“初代量角工具”——格角透明圓片。（二）由長變短，形成“二代量角工具”【教學片段】師：看上去怎么樣？（圖略）生：（齊）密密麻麻。師：用智慧的眼光看，1度的角有減少嗎？生：（齊）沒有。師：你能在上面找到30°的角嗎？（學生上臺指一指）在學生面前的1度角透明圓片，不免引起“密集恐懼”——180條線段把圓平均分成360份，越往中心越密集。張老師巧手一變，線變少了。線段只剩18條，其余的線段都變成了短短的刻度線，就像直尺上的刻度線一般。學生用智慧的眼光觀察，覺得1度角并沒有減少，但是看上去清晰多了。“二代量角工具”形成。學生一起討論、辨析、思考，找到30°角。（三）一分為二，形成“半圓量角工具”【教學片段】師：剛才我們找到了一些角，還在不經意間創造了測量角的工具。這是數學上的量角器，仔細觀察它們有什么不同？（學生觀察后交流）生：半圓形的量角器上有兩圈度數。師：量角器上還有哪些秘密？我們來認識這位新朋友。（小視頻播放量角器的自我介紹）秉承著數學簡約美的初衷，張老師繼續帶領學生走近沿用至今的半圓形量角工具——量角器。它看上去更簡潔了。標識兩圈刻度就能滿足量角的需求，標準角（1°角）并沒有改變。學生經歷了測量工具由繁入簡的創造過程，真正參與到“用什么來測量”的理性思考中。三、定方法：以動促靜，觸及本質度量的本質是測量數量的多與少，即可以理解為小量大，如以線量線、以面量面、以角量角等等，所有的度量其實都是在作比較。而量感則是學生關于量的比較、運算、估計等方面的感悟。張老師通過定方法，以動促靜，解決第三個大問題——怎么來度量？在傳統教學中，學生量角技能的習得一直困擾著教師。因為常常耗時耗力，收效甚微。很顯然，張老師淡化了量角操作技能的訓練，整節課只有在認識量角器時，學生才人人拿出了量角器，進行觀察。取而代之的是緊扣度量本質，分層實施度量方法的教學。（一）找一找——明晰內圈刻度和外圈刻度張老師設計“找一找”的活動，先在量角器上，從右邊起，依次找出0°、20°、90°、135°和180°的刻度線，再從左邊起，依次找出0°、20°、90°、135°和180°的刻度線。通過找指定的刻度線，學生明晰了在量角器上不管內圈還是外圈都有相應度數的刻度線。（二）讀一讀——分清整十度和幾十五度張老師設計“讀一讀”的活動，給出兩個量角器上開口都是朝右的角（130°和75°）。學生嘗試讀數。有的讀對了，有的讀錯了。通過學生之間自己的討論和辨析，明確了這兩個角都是從右開始讀的。學生一邊說，張老師一邊拿出教具撥動“活動邊”。在動態的呈現中，辨別整十的度數和幾十五的度數。（三）做一做——創造普通角和變式角張老師設計“做一做”的活動，利用大量角器學具上的活動邊，撥出規定度數的角。張老師追問：“這些角開口的方向不同，為什么都是50°？”有學生說：“兩邊張開的大小一樣。”有學生答：“像看鐘面上的一樣，數大格，5個10°就是50°”。看來，不管是普通角還是變式角，度量角的度數終究是看它包含度量單位的多少。三個層次，條分縷析，依次遞進，直擊本質。張老師避免了“0在內讀內，0在外讀外”這種機械性的方法，而是在三個層次的推進中，引導學生以動態的視角思考：從右邊（左邊）起找，從右邊（左邊）起讀，從右邊（左邊）起撥。創造性地結合了角的動態定義，觸及了度量本質。課末，張老師引領學生回顧學習過程：先借助鐘面確定角的計量單位，再創造量角的工具，然后學會了讀出度量的數據。對比“角的度量”與“線段的度量”，建立知識之間的聯結。兩者單位不同，但是過程是一致的，結果的描述也是一致的，都是在用包含多少個單位來對被度量對象的屬性進行描述。學生發現角的度量和線段的度