立體幾何初步復習題-2023-2024學年高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

第=page33頁，共=sectionpages33頁立體幾何初步復習題單選題：1.如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為矩形，已知，是的中點，則AD的長為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面，，則下列說法正確的是(

)A.若，，，則B.若，，則

C.若，，，則D.若，，，則3.如圖，在正三棱柱中，若，，點D是棱的中點，點E在棱上，則三棱錐的體積為A.1B.2C.D.4.若一個圓錐的側面展開圖是圓心角為且面積為的扇形，則該圓錐的高為(

)A.B.C.D.5.圓臺的兩個底面面積之比為，母線與底面的夾角是，軸截面的面積為，則圓臺的側面積為A. B. C. D.6.在正三棱臺中，已知，，側棱的長為2，則此正三棱臺的體積為(

)A. B. C. D.7.在直三棱柱中，，，，則異面直線與BC所成角的余弦值為(

)A. B. C. D.8.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑à如圖，在鱉臑中，面BCD，，，，則下列選項中，不正確的是(

)A.平面平面ACDB.二面角的余弦值為

C.AD與平面BCD所成角為D.三棱錐外接球的表面積為二、多選題：9.等腰直角三角形直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為(

)A. B. C. D.10.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是(

)A. B. C. D.11.正方體的棱長為1，E、F、G分別為BC、、的中點，則(

)A.直線與直線AF垂直 B.直線與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為 D.點到平面AEF的距離為三、填空題：12.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①；②AB與CM所成的角為；③EF與MN是異面直線；④以上結論中正確結論的序號為

13.如圖，正方體的棱長為a，E是棱的動點，則下列說法正確的有__________.①E為的中點時，直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點時，④E為的中點時，直線與平面所成的角正切值為14.已知對棱相等的四面體被稱為“等腰四面體”，它的四個面是全等的銳角三角形.在等腰四面體中，，，則該四面體的內切球表面積為__________.四、解答題：15．如圖，邊長為4的正方形中，點是的中點，點是中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）求三棱錐的體積．16．如圖，在四面體中，平面，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．（1）證明：；（2）證明：平面．17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面，是的中點．（1）求證：平面；（2）求側面與底面所成二面角的余弦值．18．在三棱錐中，，底面．（1）求證：平面平面；（2）若，是的中點．①求與平面所成角的正切值；②求二面角的大小．19.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，E是邊BC上的點，且．連結AE，并以AE為折痕將△ABE折起，使點B到達點P的位置，得到四棱錐，如圖2．（1）設平面PEC與平面PAD的交線為l，證明：AD∥l；（2）在圖2中，已知．①證明：平面PAE⊥平面AECD；②求以P，A，D，E為頂點的四面體外接球的表面積．立體幾何初步復習題【答案】1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.AB

10.BCD

11.BC

12.①③

13.④

14.4π515．【解答】解：（Ⅰ）證明：取中點，連接，，顯然，，故；顯然，，則，又，且都在平面內，平面，平面，；（Ⅱ）易知，，，，，，，．16.【解答】證明：（1）平面，平面，，又，且、平面，，平面，平面；（2）取的中點，在線段上取點，使得，連接，，，、分別是、的中點，為的中位線，，且，即，且，在中，，，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．17．【解答】（1）證明：在正方形中，，又側面底面，側面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因為是正三角形，是的中點，則，又，，平面，所以平面；（2）解：取，的中點分別為，，連接，，，則，，所以，在正中，，因為，，平面，則平面，在正方形中，，故平面，所以是側面與底面所成二面角的平面角，由平面，，則平面，又平面，所以，設正方形的邊長，則，所以，則，故側面與底面所成二面角的余弦值為．18．【解答】證明：（1）由題意，因為面，面，，又，即，，平面，平面，平面平面；解：（2）①取的中點，連接，，，，由（1）知，平面，又平面，，而．平面，所以是斜線在平面上的射影，所以是與平面所成角，且，設，則由是中點得，，所以，即與平面所成角的正切值為；（2）取中點，過作于，連接，由可得，又面，，，，，平面，是在平面上的射影，，是二面角的平面角，在中，由可得，又，所以在直角中，故．19.（1）由題設，，而面，面，所以面，又面，面，平面PEC與平面PAD的交線為l，面所以且，綜上，.（2）①若為中點，連接，由題設，，，則，，所以，故，又，平行四邊形ABCD中，可得，在△中，，，故，在△中，，，即，所以，又為中點，故，在△中，，，則，所以，由，面，故面，又面，則面面.②由①知：△為直角三角形，則外接圓圓心為，故外接圓半徑為，又面，則以P，A，D，E為頂點的四面體外接球球心在直線上，若外接球半徑為，則，可得，所以外接球的表面積為.

【解析】1.【分析】根據題意，作出原圖矩形ABCD，分析原圖中BC的值即可．

本題考查斜二測畫法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎題．【解答】解：由題意知O′B′=1

，

B′C′=1,∴O′C′=2如圖，將直觀圖復原為四邊形

ABCD

，則四邊形

ABCD

為平行四邊形，

因為

A′B′=2

，

O′

是

A′B′

的中點，故

OB=1

，且

OC=22故

BC=OB2+OC故選：C．2.【分析】

本題考查空間中的線、面位置關系，屬于基礎題．

利用空間中線、面平行、垂直關系逐個判斷即可．

【解答】

解：對于A、若α/?/β，m?α，n?β，則m/?/n或m與n異面，故A錯誤；

對于B、若m⊥α，n⊥m，則n//α或n?α，故B錯誤；

對于C、若α⊥β，α∩β=n，n⊥m，只有當m?α，才能得到m⊥β，故C錯誤；

對于D、若α∩β=n，m?α，m/?/β，由線面平行的性質可知m/?/n，故D正確3.【分析】本題考查三棱錐的體積，屬于中檔題．

利用等體積法結合體積公式解出即可．【解答】

解：過點A作BC的垂線，垂足為M，

因為在正三棱柱ABC?A1B1C1中，

AA1?//平面B1BD，

故點E到平面B1BD的距離等于點A到平面B1BD的距離，

因為AM⊥BC，AM在平面ABC內，

且平面ABC⊥平面B1BD，且平面ABC∩平面B1BD=BC，

所以AM⊥平面B1BD，

故A4.【分析】本題考查圓錐的結構特征，是基礎題，解題時要認真審題，注意圓錐的性質的合理運用．

設圓錐的母線為l，底面半徑為r，由已知條件求出l=3，r=1，從而求出圓錐的高．【解答】

解：設圓錐的母線為l，底面半徑為r，

∵3π=13πl2，∴l=3，

∴120°=r5.【分析】本題考查圓臺的軸截面，屬于基礎題．

設圓臺的上、下底面半徑為2r，3r，高為?，結合已知可得答案．【解答】解：因為圓臺的兩個底面面積之比為4:9，

所以圓臺的兩個底面半徑之比為2：3，

設圓臺的上、下底面半徑為2r，3r，高為?，

又母線與底面的夾角是60°，則?=由4r+6r得r=6，則l=2r=12．

則圓臺的側面積為π(2r+3r)l=360π，故選D.

6.【分析】

本題考查棱臺的體積，屬于基礎題．

求出棱臺的高，由棱臺的體積公式即可求解．

【解答】

解：由題意，得棱臺的高為22?37.【分析】本題考查異面直線所成的角，利用余弦定理解三角形，棱柱的結構特征，屬于中檔題．

根據異面直線所成的角的定義，取AC中點M，CC1中點N，AB中點T，

則有BC//MT，AC1//MN，連接NT，所以∠TMN(或其補角)即為異面直線

【解答】

解：取AC中點M，CC1中點N，AB中點T，

則有BC//MT，AC1//MN，連接NT，

所以∠TMN(或其補角)即為異面直線

AC1與

BC所成角，

因為AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，

所以MT=12BC=22，MN=12AC1=8.【分析】本題考查球的表面積、線面垂直的判定及性質、面面垂直的判定、直線與平面所成角、二面角，屬于中檔題．

對于A，證明CD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定定理可得面ABC⊥平面ACD；

對于B，由AB⊥平面BCD得AB⊥BD，AB⊥BC，可得∠CBD就是二面角D?AB?C的平面角，解三角形BCD即可；

對于C，AB⊥平面BCD易得AD與平面BCD所成角為∠ADB；

對于D，取AD的中點為M，則MA=MB=MC=MD=1，可得外接球的半徑為1，即得表面積．【解答】

解：對于A，AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，BD?平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，

可得AC=AB2+CB2=3，AD=AB2+BD2=2，

則有AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD．

∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，

又AB∩AC=A，AB,AC?平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，又CD?平面ACD，

∴平面ABC⊥平面ACD，故A正確；

對于B，∵AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，BD?平面BCD，

∴AB⊥BD，AB⊥CB，

∴∠CBD就是二面角D?AB?C的平面角，

又∵AB=CD=1，BC=2，BD=3，

∴BC2+CD2=BD2，∴BC⊥CD，

在直角三角形BCD中，

cos?∠CBD=BCDB=23=63，故B正確；

對于C，∵AB⊥9.【分析】本題考查旋轉體的表面積，屬于基礎題．

如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，分兩類即可得解．【解答】

解：如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，

母線就是直角三角形的斜邊2，

所以所形成的幾何體的表面積是S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=(2+1)π．

如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，

圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高22，

兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是10.【分析】本題考查了簡單多面體(棱柱、棱錐、棱臺)及其結構特征，平行公理與等角定理，空間中直線與平面的位置關系和線面平行的判定，屬于基礎題．

連接BC，取D為BC的中點，利用平面幾何知識得QD?//?AB，再利用空間中直線與平面的位置關系，結合QD與平面MNQ相交，對A進行判斷，連接CD，利用正方體的結構特征得AB?//?CD，再利用平面幾何知識得CD?//?MQ，再利用平行公理AB?//?MQ，再利用線面平行的判定，對B進行判斷，同理對C、D進行判斷，從而得結論．【解答】

解：A選項：如圖：

連接BC，取D為BC的中點，而Q是AC的中點，

因此QD?//?AB．

∵QD∩平面MNQ=Q，∴QD與平面MNQ相交，

因此直線AB與平面MNQ相交．所以A項錯誤；

B選項：如圖：

連接CD，在正方體中，AB?//?CD．

因為M、Q分別為所在棱的中點，所以CD?//?MQ，因此AB?//?MQ．

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，

所以AB?//平面MNQ，因此B項正確．

C選項：如圖：

連接CD，在正方體中，AB?//?CD．

因為M、Q分別為所在棱的中點，所以CD?//?MQ，因此AB?//?MQ．

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，

所以AB?//平面MNQ，因此C項正確；

D選項：如圖：

連接CD，在正方體中，AB?//?CD．

因為N、Q分別為所在棱的中點，所以CD?//?NQ，因此AB?//?NQ．

又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，

所以AB?//平面MNQ，因此D項正確．

故選BCD．11.【分析】本題考查空間線線關系，線面關系，考查空間距離的計算，屬于困難題．對選項A，取DD1中點M，連接AM，MF，運用反證法即可判斷，對選項B，取B1C1的中點N，連接A1N，GN，得出平面平面AEF.由性質定理即可判斷，對選項C，連接AD1，FD1，得到平面AD【解答】

解：對選項A，如圖所示：

取DD1中點M，連接AM，MF，即D假設DD1⊥AF，

因為AF∩FM=F，AF，FM?平面AFM，

所以DD1⊥平面AFM，

又AM?平面AFM，

所以AM⊥DD1，

由于AM與DD1不垂直，所以AF與DD1不垂直，故A錯誤．

對選項因為A1N//AE，GN//EF，

A1N,GN?平面A1GN，A1N∩GN=N，

AE,EF?平面AEF，因為A1G?平面A1GN，

所以平面AEF，故B正確．

對選項C，連接AD1因為，

所以平面AD1FE為平面又AD1D1F=AE=12高為52故C正確．

對選項D，連接A1F,A1E，如圖所示：

則VE?A1AF=VA1?AEF，

可求得S故選BC．12.【分析】本題考查異面直線及其所成的角，直線與直線的位置關系，屬于基礎題．

先把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，再根據所給結論進行