2022-2023學年陜西省咸陽市武功縣高二下學期期中數學（文）試題【含答案】

如22-2023學年陜西省咸陽市武功縣高二下學期期中數學(文)試題

一、單選題

1.在復平面內，復數z=i(l+2i)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】化簡得到z=-2+i,從而得到對應的點位于第二象限.

【詳解】z=i(l+2i)=-2+i,所以對應的點(-2,1)位于第二象限.

故選：B

2.甲、乙、丙、丁四位同學分別對一組變量進行線性相關試驗，并分別計算出相關系數，?，則線性

相關程度最高的是()

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】根據相關系數的定義判斷即可.

【詳解】因為相關系數H越大，線性相關程度越強，

所以線性相關程度最高的是乙.

故選：B

3.若復數Z滿足(l+2i)z=l,貝”的共軌復數是()

12.12,-12.1

A.-----1--1B.--------1C.—+—1D.一—

5555555

【答案】C

【分析】根據復數除法運算可求得z,根據共輾復數定義可得結果.

1l-2il-2i12.12.

【詳解］JT2i=(l+2i)(l-2i)=3,,',Z=5+5*'

故選：C.

4.下列三句話按“三段論”的表述形式，排列順序正確的是()

①y=ln∣M是偶函數；②N=InlXl的圖像關于y軸對稱；③偶函數的圖像關于N軸對稱.

A.①T②T③B.③T②T①C.②T①T③D.③T①T②

【答案】D

【分析】根據“三段論”的結構即可求解.

【詳解】根據“三段論”："大前提”，"小前提''則"結論”可知：偶函數的圖像關于夕軸對稱是“大前提”,

?=?nH是偶函數是“小前提"，V=InlXl的圖像關于y軸對稱是“結論”，

故選：D

5.拋擲一枚質地均勻的骰子，設事件上出現的點數為質數，事件8：出現的點數不小于3,則事

件/與事件B()

A.相互獨立B.對立C.互斥但不對立D.概率相等

【答案】A

［分析］根據P(AB)=P(A)P(B)即可得到答案。

【詳解】拋擲骰子可能得到的點數為1,2,3,4,5,6,其中質數為2,3,5,

121

所以P(/)=5，P(8)=3，P(/8)=§,故尸(48)=P(N)P(B),

所以4與8相互獨立.

故選：A

6.甲射擊命中目標的概率是之，乙命中目標的概率是,，丙命中目標的概率是:，現在三人同時射

432

擊目標，則目標被擊中的概率為()

32723

A.-B.~∑C.-D.—

43824

【答案】D

【分析】根據獨立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可求出結果.

【詳解】設甲射擊命中目標為事件A,乙射擊命中目標為事件5,丙射擊命中目標為事件C,

321

則尸(4)=［,尸(8)=§,P(C)=-,

因為48,C相互獨立，所以Z瓦。也相互獨立，

則三人都沒擊中目標的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(I-尸(/))(I-P(5))(l-P(C))

所以目標被擊中的概率是1-二1=鄉23,

故選：D.

7.某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃0.4

萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠面積增加數V（萬公頃）關于年數X（年）的函數關系較為接近的是

（）

A.y=0?2xB.y=0.1x2+0.1x

γ

C.γ≈0.2+Iog4%D.y=~

【答案】D

【分析】根據題意，將（1。2）,（2,0.4）,（3,0.76）分別代入選項中的函數，逐項驗證比較，即可求

解.

【詳解】由題意，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，

即（1,0.2）,（2,0.4）,（3,0.76）,

對于A中，函數y=0.2x,當x=3時，y=0?6和0.76相差較大；

對于B中，函數y=O.lχ2+o.iχ,當χ=2時，y=0.6和0.4相差較大；

對于C中，函數y=O.2+log4X,當χ=2時，N=0.7和0.4相差較大；

對于D中，函數y=—，當x=l時，y=0.2,當χ=2時，歹=0.4,

10

當X=3時，片0?8和0.76相差0.04,

綜合可得，選用函數關系y=三較為近似.

故選：D.

8.已知復數Z滿足∣z∣gz-4i∣（i為虛數單位），則Z的虛部是（）

A.—2iB.2iC.—2D.2

【答案】D

【分析】根據題意IZl=IZ-4i∣可列式Ja?+從=J/+（6_4『，即可解出復數虛部.

【詳解】設z=α+6i,IZl=IZ-4i∣nJ"+/=42+伍一4）2,解得6=2

故選：D

9.在一次數學競賽中，某班甲、乙、丙三名同學中的一人獲獎.甲說：“我沒有獲獎”；乙說：“我獲

獎了“；丙說："乙沒有獲獎”.如果三人中恰有二人的說法是錯誤的，則最終獲獎的是（）

A.甲B.乙C.丙D.不確定

【答案】A

【分析】先假設說法正確，通過推理分析即可得出結論.

【詳解】假設甲的說法是正確的，則乙、丙二人的說法是錯誤的，則乙沒獲獎，所以丙的說法是正

確的，兩者矛盾，所以甲的說法是錯誤的；

假設乙的說法是正確的，即獲獎的是乙，則甲、丙二人的說法是錯誤的，所以甲獲獎了，

與三名同學中的一人獲獎矛盾，所以乙的說法是錯誤的；

因為三人中恰有二人的說法是錯誤的，所以丙的說法是正確的，所以最終獲獎的是甲.

故選：A.

10.我們知道：在平面內，點&,.)到直線∕x+取+C=0的距離公式為d=也F知。=9,通過

y∣A+B^

類比的方法，貝I」：在空間中，點(2,5,1)到平面》+2＞；+22+1=0的距離為()

A.7B.5C.3D.2√5

【答案】B

【分析】利用平面內點到直線的距離公式類比得到空間中點到平面的距離公式進而可以求解.

【詳解】平面內點(?,Λ))到直線Ax+By+C=0的距離公式d=叫,

y∣A2+B2

類比平面內點到直線的距離公式，可得空間中點(2,5,1)到直線X+2y+2z+1=0的距離為:

_|lx2+2x5+2xl+l|_15_

=-√i2+22+22-=T=5-

故選：B.

11.圖1是第七屆國際數學教育大會的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角

形演化而成的，其中04=44=44=…=44=1，如果把圖2中的直角三角形繼續作下去，記

OAl,OA2,…，的長度構成的數列為｛4｝，則%5=()

A.25B.24C.5D.4

【答案】C

【分析】根據題意可推出4=1，且d=Yτ+l("≥2),從而說明數列｛4｝是以1為首項，1為公差的

等差數列，求得數列｛為｝的通項公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知，04=44=44=…=44=1，

AOA1A2,AOA2A3,…，AoA7…都是直角三角形，

???%=1,且端“3+l("≥2),故Y-dτ=1(〃≥2),

數列｛3｝是以1為首項，1為公差的等差數列，

,a；=1+(〃-I)XI=勿.

又。〃〉0，.?.atl=4n,

?數列｛%｝的通項公式為4=〃，

=，25=5,

故選：C.

12.1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式e"=cosx+isinx

QeR,i為虛數單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.根據

此公式，下面四個結果中不成立的是()

022

f1?V

t

A.e"+l=0B.-+—i=1

\227

C.∣eit+e^∣<2D.-2≤elt-e^ix≤2

【答案】D

【分析】根據題設中的公式和復數運算法則，逐項計算后可得正確的選項.

【詳解】對于A,當X=兀時，因為e`=Cos兀+isinπ=-l,所以”+1=0,故選項A正確；

20222022

(1/7λ/?2022/πA

對于B,—+——i=cos—÷isin-=e?=e674πι=cos674τβ-isi∏674τF1,

122)(33；)

故選項B正確；

對于C,由e"=cosx+isinx,eu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e"+e?=2cosX,得出卜"+e"∣=∣2CoSXI≤2,故選項C正確；

對于D,由C的分析得e"-e-"=2isinx,推不出-2≤e"-小≤2,故選項D錯誤.

故選：D.

二、填空題

13.若(l-i)z=l+i,則IZI=.

【答案】1

【分析】根據復數代數形式的除法運算法則化簡復數z,再求出其模.

【詳解】因為(l-i)z=l+i,所以Z=N=77[M=里±==i,

1-1(I-I)(I+1)2

所以∣z∣=l.

故答案為：1

14.執行下面的程序框圖，如果輸入的N=3,那么輸出的S=

【答案】∣5/Iy2

【分析】根據程序框圖把N=3代入，逐步求解可得結果.

【詳解】第一次運算：T=LS=LK=2；

13

第二次運算：Γ=-,S=-Λ=3;

第三次運算:r??S=f-Λ=4;

此時K=4>3,退出循環體，輸出S為:

故答案為：y.

15.經市場調查,某款熱銷品的銷售量共萬件）與廣告費用x（萬元）之間滿足回歸直線方程j=以+3.5.

若樣本點中心為（45,35）,則當銷售量為52.5萬件時，可估計投入的廣告費用為萬元.

【答案】70

【分析】根據回歸直線必過樣本點中心得3=0.7,進而得i=0.7x+3.5,再計算j=0.7x+3.5=52.5

即可.

【詳解】解：依題意，回歸直線必過樣本點中心，

故將（45,35）代入回歸直線方程j=以+3.5得35=菽45+3.5，解得3=0.7，

所以回歸直線方程為j=0.7x+3?5.

令i=0.7x+3.5=52.5,得x=70.

所以當銷售量為52.5萬件時，可估計投入的廣告費用為7（）萬元.

故答案為：70

16.一個口袋中裝有5只口罩，其中一次性醫用口罩4只，普通一次性口罩1只，從中取2只，每

次任取1只（不放回）.設事件/="第一次取到的是一次性醫用口罩“，事件8="第二次取到的是一

次性醫用口罩”，則條件概率尸（8|/）=.

3

【答案】:/0.75

4

【分析】根據條件概率的計算公式即可求解.

【詳解】事件/3="第一次取到的是一次性醫用口罩，第二次取到的是一次性醫用口罩”，

z?C；C；_12

所以P(8∣∕)=然12_3

16-4

3

故答案為：-

三、解答題

17.某地擬于2024年將游泳列為中考體育內容.為了了解當地2023屆初三學生的性別和喜歡游泳是

否有關，對100名初三學生進行了問卷調查，得到如下列聯表：

喜歡游泳不喜歡游泳總計

男生10

女生20

總計

3

已知這IOO人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為；

⑴請補充完整上述2x2列聯表；

(2)判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關.

n(ad-bc)^

附：K2n=a+b+c+d.

(?+6)(C+d)(a+c)(b+d)

2

P(κ≥k0)0.050.0250.010.0050.001

k。3.4815.0246.6357.87910.828

【答案】(1)見解析

(2)有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關

【分析】(1)根據題意計算即可完善列聯表；

(2)計算卡方值，和10.828比較即可得出結論.

3

【詳解】(1)因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為:，所以喜歡游泳的學生

3

人數為IooXl=60.

其中女生有20人，男生有40人，列聯表補充如下：

喜歡游泳不喜歡游泳總計

男生401050

女生203050

總計6040100

⑵因為孵=100x(40x30-20x10)2

≈16.667>10.828,

60×40×50×50

所以有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關.

18.設復數Z]=2+αi(其中。∈R),z?=4-3i,i為虛數單位.

⑴若z∣+Z2是實數，求H⑦的值;

(2)若五是純虛數，求。的值.

Z2

【答案】⑴17+6i

【分析】(1)4+為是實數，說明虛部為0,可求出。的值，再去計算ZE即可

(2)先將五進行化簡，因為是純虛數，說明實部為0,且虛部不為0,從而求出α.

?2

，

［詳解］⑴.?Z］=2+αi(其中4wR),z1=4-3i,

,

..z1+z2=6+(α-3)i,

由4+入是實數，所以〃—3=0,解得α=3.

,

..z1=2+3i,z2=4-3i,

則z∣∕2=(2+3i)(4-3i)=17+6i；

z2+αi(2+oi)(4+3i)8-3。6+4a.1一一

(2)由ι三1二4—3i=(4—3i)(4+3i)=25∣251是純虛數'

8-3a=0

，解得

6+4ɑ≠0

19.(1)已知X為正數，α=-x+-,b=5x-',用反證法證明：a,6中至少有一個不小于6；

XX

(2)用分析法證明：當x24時，√T≡3+√Γ^>√T≡4+√7^1.

【答案】(1)(2)證明見解析

【分析】(1)假設均小于6,則“+b<12,再由基本不等式證明α+6≥12得矛盾，即可得證;

(2)利用分析法從結論往前推即可.

【詳解】(1)假設a,b均小于6,即4<6,b<6,則α+bvl2,

K10,1

而a=一1+—,b=5rx——,x>0,

XX

o/9

則a+6=4x+—≥2.4x?—=12>

xyx

93

當且僅當4x==,即X==時，取等號，

X2

與假設矛盾，

所以“，b中至少有一個不小于6；

(2)當χ24時，^iiE√7≡3+√x≡2>√x≡4+√x≡l,

需證(JX-3+Jx-2)>(Jx-4+JX-1)>

只需證X-3+2J(x-3)(x-2)+x~2>x-4+2J(x-4)(x-1)+x—1,

即證λ^(x-3)(x-2)>Λ∫(X-4)(X-1),

也就是證f-5x+6>X?-5x+4，

即證6>4,此式顯然成立，

所以Jx-3+JX-2>JX-4+-Jx-l.

20.某電視臺舉行沖關直播活動，該活動共有三關，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選

手從第一關開始依次通關，只有通過本關才能沖下一關.已知第一關的通過率為0.7,第二關通過率

為0.5,第三關的通過率為0.3,三關全部通過可以獲得一等獎(獎金為300元)，通過前兩關就可以

獲得二等獎(獎金為200元)，如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元.假設選手

是否通過每一關相互獨立，現有甲、乙兩位選手參加本次活動.

(1)求甲最后沒有得獎的概率；

(2)已知甲和乙都通過了第一關，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率.

【答案】(1)0.65

(2)0.105

【分析】(1)甲沒中獎分為第一關沒有通過，和第一關通過且第二關沒有通過兩種情況，分別求得

兩個事件的概率再求和即可；

(2)根據最后獎金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，根據概率乘法和加法公

式即可求解.

【詳解】(1)甲第一關沒通過的概率為l-0?7=0.3,

第一關通過且第二關沒通過的概率為0?7×0-0-5)=0.35,

故甲沒有得獎的概率P=0.3+0.35=0.65.

(2)記甲和乙通過了第二關且最后獲得二等獎為事件E,

通過了第二關且最后獲得一等獎為事件尸，

貝IJP(E)=O.5X(1-0.3)=0.35,P(F)=0.5x0.3=0.15,

??,甲和乙最后所得獎金總和為700元，

二甲和乙一人得一等獎，一人得二等獎，

若甲得了一等獎，乙得了二等獎的概率為6=0.35x0.15=0.0525,

若乙得了一等獎，甲得了二等獎的概率為6=0.35x0.15=0.0525,

二甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率P=P,+P2=0.0525+0.0525=0.105.

21.已知復數2=》+4。€&卜€1<)滿足|2-1|=1.

(1)求∣z-3∣的最小值與最大值；

2

(2)若Z所對應的點在第一象限，且Z+」為實數，求證：z-z=].

Z

【答案】(1)最小值為1,最大值為3

(2)見解析

【分析】(1)利用復數的幾何意義，結合圖形關系即可求解，

I13

(2)利用模長關系以及z+L為實數，可得x==代入化簡即可求解.

Z24

【詳解】(1)復數z=x+yi(xwRjeR)在復平面內對應的點為Z(x∕),由IZ-II=I可知，表示點

Z(XJ)到(1,0)的距離為1,故點Z(Xj)的軌跡為以(1,0)為圓心，半徑為1的圓上，所以∣z-3∣表示

圓上的點到點(3,0)的距離，由圖可知：當點Z(0,0)時，此時∣z-3∣最大，且最大值為3,當點Z(2,0)

時，此時∣z-3∣最大,且最小值為1,

Iy

由于Z十?實數，所以。，解得2或―,

Z所對應的點在第一象限，所以x>0,y>0,故P=O舍去，取χ2+∕=ι,

又IZ-II=I得(χ-iy+∕=ι,所以解得χ=g,r=:

z-z2=x+yi-(x+yi)2=x+yi-x2-2xyi+y2=?-→→(-2X,i=?-UI

22.據統計，某市一家新能源企業2022年近5個月的產值如下表：

月份7月8月9月10月11月

月份代碼X12345

產值y（億元）1620273037

（1）根據上表數據，計算y與X間的線性相關系數「，并說明y與X的線性相關性的強弱；（結果保留

兩位小數，若0.75≤H≤l,則認為V與X線性相關性很強；若H<0.75,則認為V與X線性相關性不

強.)

(2)求出y關于X的線性回歸方程，并預測該企業什么時候的產值為67.6億元.

“n