概率論與數理統計10大案例

案例1：概率——上帝的指引我是一個有選擇恐懼癥的人，遇到難以決斷的事，就會拋硬幣來決定，認為這樣做更接近“上帝的指引”。比如我會在心里默念，我的概率論與數理統計會不會掛科？然后，告訴自己，如果數字的那面朝上就會掛科。接著，我把一枚硬幣拋向天空，忐忑地等待它落下。結果令人沮喪：數字朝上！如果我繼續不厭其煩地拋那枚硬幣，拋了1000次，我會驚訝地發現數字和菊花出現的次數都大約為500次。這就意味著，上天給我的指引其實是十分中立的：你掛科或者不掛科的可能性各占一半。原來這就是隨機性中暗含的規律性。而這種規律性就量化為概率。案例2：三門問題三門問題（MontyHallproblem），是一個源自博弈論的數學游戲問題，大致出自美國的電視游戲節目Let'sMakeaDeal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（MontyHall）。這個游戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門參賽者贏得汽車的機會率？分析：首先我們要把這個問題轉化為一個數學問題。參賽者換門的話，他贏得汽車取決于一開始選定的是后面有汽車的門還是后面是山羊的門。不妨設A表示參賽者贏得汽車，B表示他選定的是后面有汽車的門，那么表示他選定的是后面有山羊的門，由于參賽者隨機選定一扇門，所以如果他換另一扇門，則畫出概率樹幫助分析題目，顯然要求出A參賽者贏得汽車的概率，需要考慮B和兩種情況，故用全概率公式解。解：故換另一扇門參賽者贏得汽車的機會率，也就說換另一扇門參賽者贏得汽車的概率比不換門參賽者贏得汽車的概率要大。案例3：“狼來了”故事中小孩的可信度模型貝葉斯分析作為一個統計學的基本流派，對機器學習及各種用概率決策的領域具有重大影響，甚至作為理解人類智能的一種基本框架。總的來講，貝葉斯定律通過先驗和條件概率的結合，可以綜合已有過往人類對一個領域的知識和更新的數據，來不停改進人類的認知。簡單說就是，某人的行為會不斷修正其他人對他的看法，貝葉斯不僅是一種方法論，更是一種世界觀.下面利用貝葉斯公式解釋“狼來了”的故事中小孩的可信度的變化。《伊索寓言》中有一則“孩子與狼”的故事，講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒.第一天，他在山上喊“狼來了！狼來了！”，山下的村民聞聲便去打狼，可到了山上，發現狼沒有來；第二天也如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩天他說了慌，人們不再相信他了.試用貝葉斯公式來分析此寓言中村民對這個小孩的可信度是如何下降的.分析：這題分兩個方面，一是小孩，二是村民.小孩有兩種行為：一是說謊，二是不說謊.村民有兩種行為：一是認為小孩可信，二是認為小孩不可信.把本問題轉化為數學問題：先設事件:A表示小孩說謊，B表示小孩可信不妨設過去村民對這個小孩的印象是用貝葉斯公式計算當小孩說謊后村民對這個小孩的可信度的改變時要用到即“可信的孩子說謊”的概率與“不可信的孩子說謊”的概率，在此不妨設.第一次村民上山打狼，發現狼沒有來，即小孩說了謊，村民根據這個信息，將這個小孩的可信程度改變為：這表明村民上了一次當后，對這個小孩可信程度由原來的0.8調整為0.444，也就是將村民對這個小孩的最初印象調整為.在這個基礎上，我們再用貝葉斯公式計算，即這個小孩第二次說謊之后，村民認為他的可信程度改變為：這表明村民經過兩次上當后，對這個小孩的信任程度已經由最初的0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時，怎么再會上山去打狼呢？這個例子對人來說有很大的啟發，“某人的行為會不斷修正其他人對他的看法”，所以貝葉斯公式的本質是利用樣本信息不斷修正先驗概率的過程。案例4：伯恩斯坦反例如果三個事件A，B，C滿足兩兩獨立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么一定有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立嗎？事實上，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。數學家伯恩斯坦提出一個反例，如下：一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現以A,B,C分別記投一次四面體出現紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否兩兩獨立?并驗證P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解：由于在四面體中紅、白、黑分別出現有兩個面,因此又由題意“這個四面體同時出現紅、白顏色朝下只有第四面朝下”，同理“這個四面體同時出現白、黑顏色朝下也只有第四面朝下”，“這個四面體同時出現黑、紅顏色朝下也只有第四面朝下”，有，故則三事件A,B,C兩兩獨立.但是，所以。因此如果三個事件A，B，C滿足兩兩獨立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。案例5：設A，B為隨機事件，且令求：（1）二維隨機變量(X,Y)的概率分布律；（2）X與Y的相關系數解：由題意，二維隨機變量(X,Y)所有可能取到的數偶為：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),它們分別對應于，由已知則即所以(X,Y)的概率分布律XY0102/31/1211/61/12(2)X的概率分布律X01P{X=k}3/41/4Y的概率分布律Y01P{Y=j}5/61/6則案例6：設二維隨機變量（X,Y）的聯合概率密度：求：（1）常數A；（2）關于X和關于Y的邊緣概率密度函數，驗證X與Y是否獨立？（3）Z=X+Y的概率密度函數；（4）驗證X與Y是否相關？解：（1）利用概率密度函數的性質，即，（2）由，知。故同理由知，X與Y不獨立。（3）由于X與Y不獨立，故不能用卷積公式求解Z=X+Y的概率密度，用一般公式。當上式被積函數時有意義，故，即，如圖使用公式時，x為積分變量，z為常數，把z的值固定去確定x的積分限，如下圖得（4）故X與Y相關。案例7：已知隨機變量(X,Y)服從二維正態分布，且，設。求：（1）Z的數學期望E(Z)和方差D(Z)，以及Z服從什么分布;(2)X與Z的相關系數；（3）問X與Z是否相互獨立？為什么？解：（1）由正態分布的線性組合性知：（2）X，Y都服從正態分布，且Z也服從正態分布，由（2）題知，所以X與Z相互獨立。案例8：水房擁擠問題假設西安郵電學院新校區有學生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經常出現同學排長隊的現象，為此校學生會特向后勤集團提議增設水龍頭。假設后勤集團經過調查，發現每個學生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現有水龍頭45個，現在總務處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？解：（1）設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數為X，則X～B（5000，0.01）由于n=5000（充分大），p=0.01，由棣莫弗-拉普拉斯定理知：擁擠的概率是（2）設至少要裝m個水龍頭，使得，，，需裝62個水龍頭。案例9：抽樣——“捉放法”估計魚苗成活率肖博士從農業學院畢業后放棄了研究所的安逸工作，毅然決然回老家創業，承包了村里的魚塘，雇傭了很多鄉親挖魚塘養魚。春天的時候，肖博士撒下2萬條鯽魚苗。魚苗并非都能成活，取決于養殖環境和方法。過了一段時間，肖博士決定看看魚苗有多少存活了下來。于是，他采取了“捉放法”來估算現在魚塘里有多少魚。肖博士的解決方法是:從魚塘中捉400條魚并做好特殊標記。把做好標記的魚再放回魚塘。過一周后，從魚塘中捕捉800條魚，發現其中有30條是做了標記的。查看第二次捕捉的全部魚中多少是做過標記的，根據這個比例估算出魚塘中鯽魚的數量，從而算出魚苗的成活率。解：設肖博士魚塘中有x條魚存活下來，第一步中，第一次被捕捉的400條魚全部被做上標記，并放回魚塘，此時，魚塘中有標記的魚的比例是。第三步中，第二次被捕捉的800條魚可看做一個簡單隨機樣本，其中有標記的魚的比例是，這個比例（隨機樣本中）和在總體中