第二章傳遞函數

開環控制系統閉環控制系統優點結構簡單價格便宜調試簡單準確、精度高反應靈敏、快速抗干擾元件變化影響小缺點準確性差反應慢不抗干擾元件變化影響大結構復雜成本高調試復雜控制系統中的變量（信號）：

1輸出變量被控制量輸出信號

2輸入變量輸入信號參考輸入

3干擾量干擾信號

4偏差信號

5其它信號對控制系統的基本要求

穩定----控制系統可以工作的必要條件響應快----動態過程快速、平穩準確----穩態誤差小穩快準

控制系統的微分方程-建立和求解控制系統的傳遞函數控制系統的結構圖-等效變換控制系統的信號流圖-梅遜公式脈沖響應函數各種數學模型的相互轉換第二章自動控制系統的數學模型物理模型——任何元件或系統實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統稱為該元件或系統的物理模型。簡化是有條件的，要根據問題的性質和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。數學模型——物理模型的數學描述。是指描述系統輸入、輸出以及內部各變量之間動態關系的數學表達式。數學建模——從實際系統中抽象出系統數學模型的過程。控制系統的數學模型:

描述系統內部各物理量之間關系的數學表達式。數學表達式：代數方程、微分方程靜態數學模型：系統變量之間與時間無關的靜態關系動態數學模型：系統變量對時間的變化率，反映系統的動態特性控制系統數學模型的類型時域（t）模型微分方程頻域（ω）模型頻率特性結構圖=原理圖＋傳遞函數復域（S）模型傳遞函數常見數學模型：時域：微分方程；差分方程；狀態方程復數域：傳遞函數頻域：頻率特性表達形式時域：微分方程、差分方程、狀態方程復域：傳遞函數、動態結構圖頻域：頻率特性線性系統傳遞函數微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換

建立控制系統數學模型的方法:

分析法(又稱機理建模法)是根據組成系統各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。對于系統結構以知的常用此法。

實驗法(又稱系統辨識)是根據元件或系統對某些典型輸入信號的響應或其他實驗數據建立數學模型，當元件或系統比較復雜，其運動特性很難用幾個簡單的數學方程表示時，實驗法就顯得非常重要了。2-1控制系統的時域數學模型一、線性元件的微分方程建立系統或元件的微分方程的步驟：1）確定系統或元件的輸入量和輸出量2）依據各個變量之間遵循的物理或化學定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫出系統輸入和輸出變量的微分方程4）對微分方程進行整理，寫成標準形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列建立系統或元件的微分方程的步驟：1）確定系統或元件的輸入量和輸出量2）依據各個變量之間遵循的物理或化學定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫出系統輸入和輸出變量的微分方程4）對微分方程進行整理，寫成標準形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列例2-1：如圖所示，由一RC組成的四端無源網絡。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網絡微分方程。

解：設回路電流i1、i2，根據克希霍夫定律，列寫方程如下：①②③④⑤I1I2由④、⑤得由②導出將i1、i2代入①、③，則得這就是RC組成的四端網絡的數學模型，是一個二階線性微分方程。例2-2圖示是彈簧-質量-阻尼器機械位移系統。試列寫質量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的運動方程。解：f--阻尼系數k--彈性系數根據牛頓第二定律式中整理后

mF(t)x(t)fF1F2例2-3列寫電樞控制的它勵直流電動機的微分方程。ua取為輸入量，ωm為輸出量。SM負載解：由電機學可知電磁轉矩方程感應電勢電樞回路電壓平衡方程式直流電機的轉矩平衡方程式由由以上分析，可得電樞控制的他勵直流電機的微分方程組消去中間變量可得在工程應用中，較小，可忽略不計

令得如很小可忽略不計時，則微分方程化簡為如以電機轉角

為輸出，因則微分方程為[需要討論的幾個問題]：1、相似系統和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結果變為：可見，同一物理系統有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。[定義]具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統，在此系統中分別與為相似量。[作用]利用相似系統的概念可以用一個易于實現的系統來模擬相對復雜的系統，實現仿真研究。2、線性系統的特點線性系統的主要特點：可疊加性和齊次性（疊加原理）疊加原理：設線性微分方程如時方程的解為，時方程的解為。就有當時，解（可疊加性）當（為常數）時，解（齊次性）

疊加原理說明，對于線性系統（1）兩個外作用同時加于系統所產生的總響應等于各個外作用單獨作用時分別產生的響應之和；（2）外作用的數值增大若干倍時，響應也增加同樣的倍數。可疊加性和齊次性使線性系統的分析和設計大為簡化。3、非線性元件（環節）微分方程的線性化在經典控制領域，主要研究的是線性定常控制系統。如果描述系統的數學模型是線性常系數的微分方程，則稱該系統為線性定常系統，其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理，即系統的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。[非線性系統]如果不能應用疊加原理--非線性例如：在工作點附近用泰勒級數展開，取前面的線性項可以得到等效的線性環節AByx0設具有連續變化的非線性函數y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態為工作點，如下圖中的A(x0,y0)。A點附近有點為A(x0+Dx,y0+Dy)，當Dx很小時，AB段可近似看做線性的。[注意]：（1）實際的工作情況在工作點（穩定的工作狀態，即平衡態）附近。（2）變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。三、線性定常微分方程的求解（一）復習拉氏變換①拉氏變換的物理意義拉氏變換是將時間函數f(t)變換為復變函數F(s)，或作相反變換。時域(t)變量t是實數，復頻域F(s)變量s是復數。變量s又稱“復頻率”。拉氏變換建立了時域與復頻域(s域）之間的聯系。②定義：設函數f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)連續，則f(t)的拉氏變換存在，表示為：拉氏變換函數（象函數）原函數衰減因子，其中：τ-時間常數s=-σ+jω為拉氏變換算子，其中：σ-衰減系數ω-振蕩頻率（rad/s）由拉氏變換的定義得1(t)的象函數為求指數函數e-αt的象函數。解:③常用函數的拉氏變換：單位階躍函數：單位脈沖函數：單位斜坡函數：單位拋物線函數：正弦函數：其他函數可以查閱相關表格獲得。常用函數的拉氏變換對照表1)疊加定理：兩個函數代數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的代數和。即④性質：證

:2)比例定理

K倍原函數的拉氏變換等于原函數拉氏變換的K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)證:

3)微分定理：則：

L［f’(t)］=sF(s)-f(0)證

L［f’(t)］=sF(s)–f(0)同理：L［f″(t)］=s2F(s)-sf

(0)-f′(0)…L［f

(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f

(n-1)(0)

若具有零初始條件，即f(0)=f’(0)=…=f(n-1)(0)=0則:L［f’(t)］=sF(s)

L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)

4)積分定理5)位移定理：L［e-αtf(t)］=F(s+α)

證:6)初值定理7)終值定理

證:由微分定理有對上式兩邊取極限由于當s→0時，e-st→1，則：時滯定理：卷積定理：（二）拉氏反變換

按定義求拉氏反變換很困難，一般常用部分分式法計算：的一般形式為部分分式原函數分解查表◆F(s)含有共扼復數極點時，可展開為◆F(s)中具有不同的極點時，可展開為待定系數◆F(s)含有多重極點時，可展開為

例解：例

例解：3、含有共軛極點。微分方程以s為參量的象函數的代數方程象函數原函數(微分方程解)拉氏變換求解代數方程拉氏反變換（三）、用拉氏變換法求解微分方程舉例小結拉氏變換性質拉氏反變換（三種情況）用拉式變換求解微分方程2.2傳遞函數用微分方程來描述系統比較直觀，但是一旦系統中某個參數發生變化或者結構發生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統的分析與設計。為此提出傳遞函數的概念。一、傳遞函數的定義和概念以上一節例（1）RLC電路的微分方程為例：設初始狀態為零，對上式進行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s))定義：零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統的傳遞函數，用G(s)表示。一般形式：設線性定常系統（元件）的微分方程是：

y(t)為系統的輸出，r(t)為系統輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統傳遞函數為：分母中s的最高階次n即為系統的階次。因為組成系統的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若m>n,我們就說這是物理不可實現的系統。二、傳遞函數的性質

(1)傳遞函數是一種數學模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數與微分方程一一對應；

(3)傳遞函數描述了系統的外部特性。不反映系統的內部物理結構的有關信息；

(4)傳遞函數只取決于系統本身的結構參數，而與輸入和初始條件等外部因素無關；

(5)傳遞函數與系統的輸入輸出的位置有關；

(6)傳遞函數一旦確定，系統在一定的輸入信號下的動態特性就確定了。二、傳遞函數的性質

(1)傳遞函數描述了系統的外部特性。不反映系統的內部物理結構的有關信息；傳遞函數只取決于系統本身的結構參數，而與輸入和初始條件等外部因素無關；

(2)傳遞函數與微分方程一一對應；

(3)傳遞函數與系統的輸入輸出的位置有關；

(5)傳遞函數一旦確定，系統在一定的輸入信號下的動態特性就確定了。

傳遞函數微分方程用方框圖來表示一個具有傳遞函數G(s)的線性系統系統輸入量與輸出量的因果關系可以用傳遞函數連系起來

(6)[例]求如圖所示電路的傳遞函數[解]：解法一：列出回路電壓方程和輸出節點方程拉氏變換用復數阻抗法求電網絡的傳遞函數時域方程拉氏變換傳遞函數復數阻抗電容電感電阻解法二：將原用復阻抗表示：3、傳遞函數的幾種表達形式①有理分式形式：式中：—為實常數，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數，相應的系統為n階系統。②零點、極點形式（首一多項式）：傳遞函數的零點，傳遞函數的極點—傳遞系數（根軌跡增益）③時間常數形式（尾一多項式）：其中稱為時間常數K稱為傳遞系數或增益。顯然：3、傳遞函數的極點和零點對輸出的影響傳遞函數的零點,用“”表示傳遞函數的極點,用“”表示極點是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統自由運動的模態。運動的模態線性微分方程的解=特解+齊次微分方程的通解通解由微分方程的特征方程決定，代表自由運動。零點距極點的距離越遠，該極點所產生的模態所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所產生的模態所占比重越小如果零極點重合－該極點所產生的模態為零，因為分子分母相互抵消。

例

已知某系統在0初條件下的階躍響應為：試求：（1）系統的傳遞函數；（2）系統的特征根及相應的模態；（3）畫出對應的零極點圖；（4）求系統的單位脈沖響應g(t)；（5）求系統微分方程；（6）當c(0)=-1,c′

(0)=0;r(t)=1(t)時，求系統的響應。解.（1）(3)

如圖所示(2)

(4)

(5)

（6）其中初條件引起的自由響應部分4、典型元部件的傳遞函數典型環節環節：具有相同形式傳遞函數的元部件的分類。不同的元部件可以有相同的傳遞函數；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數；任一傳遞函數都可看作典型環節的組合。

控制系統從動態性能或數學模型來看可分成為以下幾種基本環節，也就是典型環節。

（一）比例環節比例環節的傳遞函數為：G(s)=K輸出量與輸入量成正比，比例環節又稱為無慣性環節或放大環節。如圖所示為一電位器輸入量和輸出量關系如圖中所示。

（二）慣性環節傳遞函數為如下形式的環節為慣性環節：當環節的輸入量為單位階躍函數時，環節的輸出量將按指數曲線上升，具有慣性，如圖所示。式中

K——環節的比例系數；