近世代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

1、近世代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史根據(jù)課程教學(xué)安排，通過查閱近世代數(shù)發(fā)展歷史的相關(guān)資料，了解了相關(guān)的知識(shí)，并對(duì) 近世代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和發(fā)展脈絡(luò)有了更清楚的認(rèn)識(shí)和理解，以下是我將對(duì)近世代數(shù)及其發(fā)展 歷史的認(rèn)識(shí)。一、近世代數(shù)的定義代數(shù)學(xué)是以數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣、變換和它們的運(yùn)算，以及群、環(huán)、域、模等為研究對(duì)象 的學(xué)科，而近世代數(shù)（又稱抽象代數(shù)）是代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要分支，主要研究群、環(huán)、域、 模這四種抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并深入研究了具有一定特性的群、環(huán)、域、模及其子結(jié)構(gòu)、商結(jié) 構(gòu)、同態(tài)和同構(gòu)、以及作為它們支柱的具體例子，它不僅在代數(shù)學(xué)中，而且在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理 論與應(yīng)用中都具有基本的重要性。二、近世代數(shù)的發(fā)展代數(shù)學(xué)的起源較早，在

2、挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel，.）證明五次以上方程不能用根式求 解的進(jìn)程中就孕育著群的概念；1830年，年僅19歲的伽羅瓦（Galois，E.）徹底解決了代 數(shù)方程的根式求解問題，從而引進(jìn)數(shù)域的擴(kuò)張、置換群、可解群等概念；后來，凱萊（Cayley，）在1854年的文章中給出有限抽象群；戴德金（Dedekind，）于1858年在代數(shù)數(shù)域中又 引入有限交換群和有限群；克萊因（Klein，.）于1872年建立了埃爾朗根綱領(lǐng)，這些都是 抽象群產(chǎn)生的主要源泉。然而抽象群的公理系統(tǒng)直到1882年凱萊與韋伯（Weber，H.）在 的同一期分別給出有限群的公理定義，1893年韋伯又給出無限抽象群的定義。由于李（

3、Lie，.）對(duì)連續(xù)群和弗羅貝尼烏斯（Frobenius，.）對(duì)群表示的系統(tǒng)研究，對(duì)群論發(fā)展產(chǎn) 生了深刻的影響。同時(shí)，李在研究偏微分方程組解的分類時(shí)引入李代數(shù)的概念，然而，它的 發(fā)展卻是19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，由基靈（Killing，）、外爾（Weyl，（.）H.）和嘉當(dāng)（Cartan） 等人的卓越工作才建立了系統(tǒng)理論。域這個(gè)名詞雖是戴德金較早引入的，但域的公理系統(tǒng)卻是迪克森（Dickson，.）與亨廷 頓（Huntington，.）于19世紀(jì)初才獨(dú)立給出。而域的系統(tǒng)發(fā)展是從1910年，施泰尼茨 （Steinitz， E.）的著名論文“域的代數(shù)理論”開始的。同期，布爾（Boole，G.）研究人

4、的思維規(guī)律，于1854年出版思維規(guī)律的研究，建立了邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。但格論是 在19331938年，經(jīng)伯克霍夫（Birkhoff，.）、坎托羅維奇（KaHTopoBuu.n.）、奧爾（Ore，O.）等人的工作才確立了在代數(shù)學(xué)中的地位。另一方面，1843年，哈密頓（Hamilton,.）引進(jìn)四元數(shù)并奠定了矢量代數(shù)和矢量分析的基礎(chǔ)，而四元數(shù)系又構(gòu)成實(shí) 數(shù)域上有限維可除代數(shù)。凱萊與西爾維斯特（Sylvester，.）一起建立了代數(shù)型的理論， 奠定了代數(shù)不變量的矩陣?yán)碚摗P萊又是矩陣代數(shù)的創(chuàng)始人，他建立了八元數(shù)與非結(jié)合代數(shù)， 同時(shí)，克利福德（Clifford，.）將八元數(shù)（復(fù)四元數(shù)）及外代數(shù)推廣到

5、一般克利福德代數(shù)， 并將其成功地應(yīng)用于非歐幾里得空間中運(yùn)動(dòng)的研究。19世紀(jì)和20世紀(jì)之交，庫(kù)默爾（Kummer，.）引入對(duì)代數(shù)數(shù)論有重要影響的理想數(shù)概 念，他于1844年指出整環(huán)未必有惟一分解性質(zhì)。戴德金將庫(kù)默爾理想數(shù)推廣并引出現(xiàn)代理 想的概念，建立了代數(shù)數(shù)域的理論和代數(shù)整數(shù)環(huán)上理想的惟一分解定理。特別是1894年， 嘉當(dāng)（Cartan，.）關(guān)于復(fù)單李代數(shù)的完全分類以及1907年，韋德伯恩（Wedderburn，）發(fā) 展了嘉當(dāng)關(guān)于實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上線性結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理，從而創(chuàng)立了一般域上結(jié)合代數(shù)的 結(jié)構(gòu)定理，極大地發(fā)展了近世代數(shù)的理論。在此期間，群以及與其緊密相關(guān)的不變量概念在 分析、幾何、力

6、學(xué)和理論物理中都發(fā)揮了重大影響，而這些學(xué)科的發(fā)展反過來又促進(jìn)了代數(shù) 的發(fā)展。如諾特（Noether，M.）研究代數(shù)簇在雙有理變換下的不變性質(zhì)和關(guān)于曲面的著名 定理，便導(dǎo)致多項(xiàng)式環(huán)理想理論的建立。因此，深入研究代數(shù)的相關(guān)概念，以及從各種具體 對(duì)象抽象出共同特性來進(jìn)行公理化的研究，就導(dǎo)致近世代數(shù)的進(jìn)一步演變，促進(jìn)了相對(duì)獨(dú) 立的學(xué)科，如群、域、線性代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、環(huán)論等向縱深和綜合兩方面發(fā)展德國(guó)代數(shù)學(xué) 派在這方面起了領(lǐng)導(dǎo)作用，戴德金、希爾伯特（Hilbert，D.）和韋伯以及施泰尼茨等對(duì)代 數(shù)學(xué)抽象公理化的研究有很大貢獻(xiàn)，其中突出的成就是布饒爾（Brauer，R.（D.）、哈塞 （Hasse，H.）

7、、諾特（Noether，.）、阿爾貝特（Albert，.）關(guān)于有限維結(jié)合代數(shù)的理論， 它闡明了有理數(shù)域上單代數(shù)都是其中心F上的循環(huán)代數(shù)。特別是諾特于1920年引入左（右） 模的概念，并研究了模在有限群表示論中的作用，以及模與代數(shù)結(jié)構(gòu)理論之間的聯(lián)系，使模 成為數(shù)學(xué)的重要工具，從而又推動(dòng)了環(huán)論的發(fā)展。1921年，她寫的“整環(huán)的理想理論建 立了交換諾特環(huán)理論，證明了準(zhǔn)素分解定理，成為交換代數(shù)的里程碑。1926年，她又給出 戴德金環(huán)的公理刻畫，因此，諾特是近世代數(shù)的奠基人之一。她和阿廷（Artin，E.）以及 他們的學(xué)生（包括中國(guó)數(shù)學(xué)家曾炯之）為中心、，在20世紀(jì)2030年代，對(duì)域論、類域論、 代數(shù)的

8、理想理論到阿廷環(huán)的推廣取得輝煌成就。其中，阿廷在1927年將代數(shù)結(jié)構(gòu)定理推廣 到極小條件環(huán)上，就是著名的韋德伯恩-阿廷定理，成為環(huán)論發(fā)展的一個(gè)新里程碑；同時(shí)， 克魯爾（Krull， W.）創(chuàng)立了局部環(huán)的理想理論，范德瓦爾登（Van der Waerden，.） 等人發(fā)展并簡(jiǎn)化了單純代數(shù)的結(jié)構(gòu)和環(huán)的理想理論20世紀(jì)30年代初，范-德-瓦爾登的 近世代數(shù)學(xué)綜合總結(jié)了從伽羅瓦起100年來近世代數(shù)各方面的工作，是近世代數(shù)的一 個(gè)里程碑。由于近世代數(shù)的理論和方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科和其他領(lǐng)域（如理論物理、 晶體學(xué)），這就反過來推動(dòng)近世代數(shù)在深度和廣度上更加迅速發(fā)展，思 德-瓦爾登的書只 能是現(xiàn)代數(shù)學(xué)工

9、作者的基礎(chǔ)了。近世代數(shù)的各分支學(xué)科之間，以及與其他學(xué)科之間的相互滲 透，不僅促進(jìn)這些學(xué)科的進(jìn)一步發(fā)展，也促進(jìn)了新學(xué)科的形成。比如，同期，范德-瓦爾 登與扎里斯基（Zariski，O.）首先將交換代數(shù)的方法引進(jìn)代數(shù)幾何；在20世紀(jì)40年代， 韋伊（Weil，A.）又用近世代數(shù)的方法建立了一般域上代數(shù)幾何的理論.又如，域上多重線 性代數(shù)的概念和理論推廣到交換環(huán)上形成環(huán)上多重線性代數(shù)。從20世紀(jì)40年代初開始，近世代數(shù)進(jìn)入一個(gè)新的階段。1945年，雅各布森（Jacobson， N.）引入根及本原環(huán)的理論，成為環(huán)論發(fā)展的新階段。另一方面，作為線性代數(shù)推廣的模論 得到進(jìn)一步發(fā)展并產(chǎn)生深刻影響。在20世紀(jì)

10、20-30年代出現(xiàn)了以生成元及其定義關(guān)系所定 義的無限群，經(jīng)霍爾（Hall，P.）、馬爾采夫（MaBHeB，A. H.）等人的精彩工作， 到20世紀(jì)40年代已形成獨(dú)立體系。1962年，費(fèi)特（Feit，W.）與湯 普森（Thompson，.） 關(guān)于奇數(shù)階群必為可解群的定理，是對(duì)有限單群分類的重大突破。從伽羅瓦引入置換群，其 后證明An（nN5）是單群到1981年有限單群分類的完全解決，經(jīng)歷了約150年之久。同期， 李代數(shù)也得到深入發(fā)展，不僅推廣到一般域，而且無限維李代數(shù)從20世紀(jì)60年代崛起，作 為復(fù)單李代數(shù)推廣的卡茨-穆迪代數(shù)就是卡茨（Kac，V.）與穆迪（Moody，R.）于1968年彼 此

11、獨(dú)立建立的。它與理論物理有密切關(guān)系。而李群的深入發(fā)展派生出代數(shù)群，即群是代數(shù)閉 域上仿射簇。代數(shù)群及其表示理論與多重線性代數(shù)、交換環(huán)論、代數(shù)幾何、李代數(shù)等都有十 分密切的聯(lián)系，近年來已成為近世代數(shù)的活躍分支。在近世代數(shù)中同態(tài)和同構(gòu)起主要作用， 它不考慮代數(shù)系的特殊結(jié)構(gòu)，而是用統(tǒng)一方法去研究，這種作為各代數(shù)結(jié)構(gòu)的比較性研究， 首先是把群論、環(huán)論和格論中一些共同的概念和平行的結(jié)果推廣到代數(shù)系上去，這就產(chǎn)生了 泛代數(shù)，20世紀(jì)30年代末提出的伯克霍夫定理，是它獨(dú)立發(fā)展的起點(diǎn)。泛代數(shù)（不限于二 元運(yùn)算）是以各種不同的代數(shù)系之間的共性為主要研究對(duì)象的學(xué)科，它對(duì)模型論、自動(dòng)機(jī)理 論和程序語言的語義學(xué)都有應(yīng)

12、用。將同一種代數(shù)以及它們之間的同態(tài)映射合起來考慮，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這與數(shù)學(xué)其他分支研究的 對(duì)象以及對(duì)象間的聯(lián)系（如拓?fù)淇臻g及連續(xù)映射，集合及映射，環(huán)及同態(tài)等）有許多本質(zhì) 上的共性.1945年，由艾侖伯格（Eilenberg，S.）、麥克萊恩（Maclane，S.）通過研究對(duì) 偶空間的自然變換建立的范疇論，正好討論了這些共性。范疇是比集合更高層次的公共語言， 這種語言和它的理論已滲透到代數(shù)幾何（由格羅騰迪克（Grothendieck， A.）和迪厄多內(nèi) （Dieudonn e，J.）于1960年引入）和代數(shù)的以及數(shù)學(xué)的許多分支（如戈德門特（Godement，R.）,埃雷斯曼（Ehresmann, C.）

13、于1958年分別引入拓?fù)鋵W(xué)和微分幾何），并在其中起著重 要作用。由美國(guó)和歐洲數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)40年代，幾乎同時(shí)彼此獨(dú)立發(fā)展起來同調(diào)代數(shù)，它是以 代數(shù)拓?fù)錇楸尘埃阅橹饕芯繉?duì)象的學(xué)科，通過兩類重要的函子與Hom及由它們導(dǎo)出 的函子Tor， Ext得出刻畫環(huán)的許多深刻結(jié)果.由于代數(shù)拓?fù)渲泻站S茨（Hurewicz，W.）問 題的解決，導(dǎo)致1945年艾倫伯格和麥克萊恩定義了群的（系數(shù)在任意域上）上同調(diào)群.同 時(shí)，赫希施爾德（Hochschild，G.）引進(jìn)了結(jié)合代數(shù)的上同調(diào)群，謝瓦萊（Chevalley，C.） 等人又發(fā)展了李代數(shù)的上同調(diào)群。同調(diào)代數(shù)在數(shù)論、群論、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何中都有重要 作用

14、。當(dāng)考慮李群或者作為它的推廣的H空間的同調(diào)以及上同調(diào)時(shí)，就得到霍普夫代數(shù).它 的研究是由霍普夫（Hopf，H.）于1941年開始的，博雷爾（Borel，A.）于1953年推廣其 基本結(jié)構(gòu)定理。霍普夫代數(shù)的理論是代數(shù)拓?fù)涞某Ｓ霉ぞ撸谖锢韺W(xué)中的模型是量子群。20世紀(jì)60年代起蓬勃發(fā)展的代數(shù)K理論，它同拓?fù)銴理論一樣是源于格羅騰迪克于1957 年的廣義黎曼-羅赫定理的工作。人們企圖推廣線性代數(shù)中某些部分如維數(shù)理論到環(huán)的模上 而發(fā)展成為由環(huán)范疇到阿貝爾范疇的一系列函子，代數(shù)K理論就是研究這些函子（如K0， K1，K2,等）的理論，它不僅對(duì)刻畫環(huán)的性質(zhì)起重要作用，而且在代數(shù)幾何等其他學(xué)科中 也有著值得重視的作用。用模、范疇、同調(diào)代數(shù)的語言和理論來刻畫和研究環(huán)，從而使環(huán)論 的發(fā)展推向更新的階段。20世紀(jì)50年代，塞爾（Serre，.）把代數(shù)簇理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層 的上同調(diào)，這為格羅騰迪克建立概型理論奠定了基礎(chǔ)，從而使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入一個(gè)新階 段。概型理論也為代數(shù)數(shù)論提供了新的理論和方法。代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)許多分支密切相關(guān)，互 相促進(jìn)。如代數(shù)幾何中的超