對數與對數運算

1、對數與對數運算對數與對數運算問題問題1：假設假設1995年我國國民生產總值為年我國國民生產總值為a億億元，如果每年平均增長元，如果每年平均增長8%，那么，經過多，那么，經過多少年國民生產總值是少年國民生產總值是1995年時的年時的2倍？倍？a(1+8%)x1.081.08x x=2=2 怎樣求出這個x x?析：析：-a-a(1+8%)-a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2-a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)31995年生產總值1996年生產總值1997年生產總值1998年生產總值 ？ - =2aX年ab=N解出b解出N指數底數冪對數底數真數a0且a1N0bRbRa0且a1b=

2、 logaNN0?底數?對數?真數?冪?指數?底數?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1, 0aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數 b叫做以a為底 N的對數，記作 bNaloga叫做對數的底數，N叫做真數。定義：復習上節內容 練習：練習： 1.將下列指數式寫成對數式將下列指數式寫成對數式 (1)54=625 (2)2-6= (3)3a =27 (4)( )m =5.73641314=log5625-6=log2(1/64)a =log327m=log(1/3) 5.732.將下列對數式寫成指數式(1)log 16=4(2)log2128=7(3)log100.01= -2(4

3、)loge10=2.3032116= 4)21(128=270.01=10-210=e 2.30310_3log. 13_1log. 25練習練習1：計算下列各式的值：計算下列各式的值思考思考:?1loga?logaa?logNaa有關性質： 負數與零沒有對數（在指數式中 N 0 ） , 01loga1logaa對數恒等式NaNalog復習上節內容16log, 1log, 0log),1(log)2(132有意義嗎？下面介紹兩種特殊對數：下面介紹兩種特殊對數：常用對數常用對數：我們將以：我們將以10為底的對數叫為底的對數叫做常用對數，并記做做常用對數，并記做N10logNlg自然對數自然對數：

4、無理數：無理數e=2.71828,以以e為底的對為底的對數稱為自然對數，并記做數稱為自然對數，并記做Nelog.ln N常用對數： 我們通常將以10為底的對數叫做常用對數。 為了簡便,N的常用對數 N10log簡記作lgN。 自然對數： 在科學技術中常常使用以無理數e=2.71828為底的對數，以e為底的對數叫自然對數。 為了簡便，N的自然對數 Nelog簡記作lnN。 （6）底數a的取值范圍： ), 1 () 1 , 0(真數N的取值范圍 :), 0( 復習上節內容 例例2 求下列各式中求下列各式中x的值：的值：xxx2x64lne-(4) 100lg)3(68(2)log 32log) 1

5、 (2)223(log)5(x0)(loglog)6(25x例例3 計算下列各式計算下列各式:(1)25log5(2)161log2(3)15log15(1) 解:225log25552(2) 解:4161log161224(3) 解:115log15 對于冪的運算我們有三條運算法則對于冪的運算我們有三條運算法則.現在我們學習現在我們學習了對數了對數,那么對于對數之間的運算那么對于對數之間的運算,又會有什么樣的運又會有什么樣的運算性質呢算性質呢?冪的運算的三條法則冪的運算的三條法則:), 0, 0()() 3(), 0()()2(), 0() 1 (RrbabaabRsraaaRsraaaar

6、rrrssrsrsr如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (證明：設 ,logpMa,logqNa由對數的定義可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即證得 ?底數?對數?真數?冪?指數?底數?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa證明：設 ,logpMa,logqNa由對數的定義可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即證得 ?底數?對數?真數?冪?指數?底數?log?a?Nb?a?b?=NNM

7、)(2NlogMlogNMlogaaa證明：設 ,logpMa由對數的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得 ?底數?對數?真數?冪?指數?底數?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMloganaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaa對數運算的三條運算法則：對數運算的三條運算法則：對于上面的每一條運算法則，都要注意只有當式子對于上面的每一條運算法則，都要注意只有當式子中所有的對數符號都有意義時，等式才成立中所有的對數符號都有意義時，等式才

8、成立對嗎？請問：)5(log)3(log)5()3(log222其他重要公式1:NmnNanamloglog證明：設 ,logpNnam由對數的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 其他重要公式2:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca證明：設 由對數的定義可以得： ,paN 即證得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog這個公式叫做換底公式其他重要公式3:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba證

9、明:由換底公式 取以b為底的對數得： 還可以變形,得 , 1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba4log2) 2(4log) 1.(32log4log) 2(24log) 1.(29log3log) 2() 93 (log) 1.(1222222333例用表示下列各式：zyxaaalog,log,log32log)2(log) 1 (zyxzxyaa例例計算下列各式：5572100lg)2();24(log) 1 (練習、求下列各式的值：練習、求下列各式的值：探究探究換底公式換底公式：) 0; 1, 0; 1, 0(

10、logloglogbccaababacc且且如何推導？18lg7lg37lg214lg(1)(2)2lg20lg5lg8lg325lg22(3)7 . 0lg20lg)21lg(7lg(4)7 . 0lg20lg)21(7)0; 1, 0; 1, 0(logloglogbccaababacc且且證明：.logloglog,loglog,loglog,loglog,logabbabpbapbacbabpccacccccpcpa即所以則有為底的對數兩邊取以，則令例7 利用換底公式可得:2log12log3log3log3332請利用同樣的方法證明:abbalog1log例8 證明 .NNamaml

11、oglog 例9 計算8log7log3log732bye!(請記住請記住)(請記住請記住)計算計算:16log2例10 27log9例1132log9log278x01. 113x01. 11318例例1 1999底我國人口為底我國人口為13億億,人口增長的年平均增長率為人口增長的年平均增長率為1%,則則x年后，我國的人口數為；若問多少年后年后，我國的人口數為；若問多少年后我國的人口達到我國的人口達到18億，即解方程，則億，即解方程，則1318log01. 1x而如果計算器只能求而如果計算器只能求10,e為底的對數，那該怎么辦？為底的對數，那該怎么辦？方法：進行換底，把底換成以進行換底，把底換成以10，或者換成以，或者換成以e為底為底01. 1lg13118lg01. 1lg1318lg1318log01. 1gx01. 1ln13ln18ln01. 1ln1318ln1318log01. 1x或者或者2lg5lg)7(15log5log) 6(000001. 0lg) 5(3log6log) 4(31log3log) 3(100lg) 2()927(log) 1 (332255223小