抽象代數期末考試題及答案

抽象代數期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設群G的階為15，則G的子群的階不可能是（）A.1B.3C.5D.7答案：D2.在整數加群\(Z\)中，元素\(3\)的階是（）A.1B.3C.無窮D.0答案：C3.設\(R\)是環，\(a,b\inR\)，則\((a+b)^2=\)（）A.\(a^2+2ab+b^2\)B.\(a^2+b^2\)C.\(a^2+ab+ba+b^2\)D.\(a^2-b^2\)答案：C4.設\(G=\langlea\rangle\)是\(n\)階循環群，則\(G\)的生成元個數為（）A.\(\varphi(n)\)B.\(n\)C.\(n-1\)D.\(1\)答案：A5.設\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aH=\)（）A.\(\{ah|h\inH\}\)B.\(\{ha|h\inH\}\)C.\(\{h^{-1}a|h\inH\}\)D.\(\{a^{-1}h|h\inH\}\)答案：A6.設\(F\)是域，\(x\inF[x]\)，\(x\)的次數為（）A.0B.1C.不確定D.-1答案：B7.設\(Z_6=\{0,1,2,3,4,5\}\)是模\(6\)剩余類環，\((2)\)是由\(2\)生成的理想，則\(Z_6/(2)\)有（）個元素。A.2B.3C.4D.6答案：B8.設\(G\)是群，\(a\inG\)，\(a^2=e\)（\(e\)為單位元），則\(a\)的階是（）A.1B.2C.4D.不確定答案：B9.設\(R\)是交換環，\(I\)是\(R\)的理想，\(R/I\)是（）A.環B.群C.域D.向量空間答案：A10.設\(G=S_3\)（\(3\)次對稱群），\(G\)的階是（）A.3B.6C.9D.12答案：B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于群同態的說法正確的是（）A.群同態保持單位元B.群同態保持逆元C.群同態保持元素的階D.群同態是單射則保持元素的階答案：ABD2.設\(R\)是環，則\(R\)的理想必須滿足（）A.對加法封閉B.對乘法封閉C.包含零元D.對任意\(r\inR\)和\(a\inI\)，\(ra\inI\)和\(ar\inI\)答案：ACD3.設\(G\)是有限群，\(p\)是素數，\(|G|=p^n\)（\(n\geqslant1\)），則\(G\)有（）A.\(p\)階子群B.\(p^2\)階子群C.非平凡中心D.正規子群答案：ACD4.下列環中是整環的有（）A.\(Z\)B.\(Z_6\)C.\(Q[x]\)D.\(M_2(R)\)（\(2\times2\)實矩陣環）答案：AC5.設\(G\)是群，\(H\)和\(K\)是\(G\)的子群，則\(H\capK\)是（）A.\(G\)的子群B.\(H\)的子群C.\(K\)的子群D.可能為空集答案：ABC6.設\(R\)是環，\(a\inR\)，\(a\)是冪零元，則（）A.\(a^n=0\)（\(n\)為正整數）B.\(1-a\)可逆C.\(a\)不可逆D.\(a\)是零因子答案：ABCD7.設\(G=D_4\)（\(8\)階二面體群），\(G\)的元素有（）A.旋轉B.反射C.單位元D.對換答案：ABC8.設\(F\)是域，\(F[x]\)是\(F\)上的多項式環，則（）A.\(F[x]\)是歐幾里得環B.\(F[x]\)是主理想整環C.\(F[x]\)是唯一分解整環D.\(F[x]\)是域答案：ABC9.設\(G\)是阿貝爾群，則（）A.任意子群都是正規子群B.任意兩個子群的乘積是子群C.中心\(Z(G)=G\)D.商群\(G/H\)（\(H\)是子群）也是阿貝爾群答案：ABCD10.設\(R\)是環，\(I\)和\(J\)是\(R\)的理想，則（）A.\(I+J=\{a+b|a\inI,b\inJ\}\)是理想B.\(I\capJ\)是理想C.\(IJ=\{\sum_{i=1}^na_ib_i|a_i\inI,b_i\inJ,n\inN\}\)是理想D.\(I\cupJ\)是理想答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.任何群都有非平凡子群。（）答案：錯誤2.環中的乘法一定滿足交換律。（）答案：錯誤3.有限群的階一定是素數的冪次。（）答案：錯誤4.群同態的核是子群。（）答案：正確5.整環一定是域。（）答案：錯誤6.循環群的子群一定是循環群。（）答案：正確7.設\(R\)是環，\(a\inR\)，若\(a\)可逆，則\(a\)不是零因子。（）答案：正確8.設\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aHa^{-1}\)也是\(G\)的子群。（）答案：正確9.在多項式環\(Z[x]\)中，\(2\)和\(x\)互素。（）答案：正確10.設\(G\)是群，\(G\)的中心\(Z(G)\)是\(G\)的正規子群。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述群的定義。答案：群是一個非空集合\(G\)，連同定義在\(G\)上的一個二元運算\(\cdot\)，滿足以下四個條件：(1)對于任意\(a,b\inG\)，\(a\cdotb\inG\)（封閉性）；(2)對于任意\(a,b,c\inG\)，\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)（結合律）；(3)存在\(e\inG\)，使得對于任意\(a\inG\)，\(e\cdota=a\cdote=a\)（單位元存在）；(4)對于任意\(a\inG\)，存在\(a^{-1}\inG\)，使得\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\cdota=e\)（逆元存在）。2.什么是環的理想？答案：設\(R\)是環，\(I\)是\(R\)的非空子集，如果\(I\)對加法封閉，對任意\(r\inR\)和\(a\inI\)，\(ra\inI\)和\(ar\inI\)，則\(I\)稱為\(R\)的理想。3.簡述循環群的結構。答案：設\(G=\langlea\rangle\)是循環群。若\(G\)是無限循環群，則\(G\)同構于整數加群\(Z\)；若\(G\)是\(n\)階循環群，則\(G\)同構于模\(n\)剩余類加群\(Z_n\)。4.說明整環中素元與不可約元的關系。答案：在整環中，素元一定是不可約元。若整環是唯一分解整環，則不可約元也是素元。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論群的同態基本定理的內容及意義。答案：群的同態基本定理：設\(\varphi:G\rightarrowH\)是群同態，則\(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\)。意義在于它建立了群同態的核、像與商群之間的重要聯系，有助于通過已知的群結構去研究與之相關的其他群結構。2.如何判斷一個環是否為域？答案：一個環\(R\)是域當且僅當\(R\)是交換環，\(R\)中有非零元，且每個非零元都可逆。要判斷一個環是否為域，需檢查這些條件，如檢查乘法是否交換，是否存在單位元，非零元是否有逆元等。3.討論循環群的生成元的求法。答案：對于\(n\)階循環群\(G=\langlea\ran