廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學、廣州外國語）2024-2025學年高二下學期期末聯考數學試卷（含解析）

廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學、廣州外國語）2024-2025學年高二下學期期末聯考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設等差數列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．18 C．16 D．152．已知函數，曲線在點處的切線與直線平行，則實數的值為（

）A． B． C． D．13．下列說法不正確的是（

）A．對具有線性相關關系的變量，，且回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數的值是B．若隨機變量服從正態分布，且，則C．若線性相關系數越接近1，則兩個變量的線性相關程度越高D．一組數據10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位數為194．已知是邊長為1的正三角形，為中點，且，則（

）A． B． C． D．5．牛頓冷卻定律，即溫度高于周圍環境的物體向周圍媒質傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規律.如果物體的初始溫度為，則經過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，其中是環境溫度，h為常數.現有一個105℃的物體，放在室溫15℃的環境中，該物體溫度降至75℃大約用時1分鐘，那么再經過m分鐘后，該物體的溫度降至30℃，則m的值約為（

）（參考數據：，）A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.46．在三棱錐中，和均是邊長為的等邊三角形，若，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．7．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，直線經過，且與C交于A，B兩點，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人玩傳球游戲，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知則（

）A． B．C． D．10．口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，對其編號紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則（

）A．與互斥 B．與互為對立事件C．與相互獨立 D．11．已知是函數的極大值點，則（

）A．函數的極小值為0B．若，則C．若，則有3個相異的零點D．若（其中），則三、填空題12．若，則．13．為弘揚志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務活動，現安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有種．14．2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節目開始后，一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程若第1個圖中的三角形的周長為1，則第n個圖形的周長為；若第1個圖中的三角形的面積為1，則第n個圖形的面積為.四、解答題15．為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．16．已知函數有兩個極值點.(1)求實數的取值范圍；(2)記兩個極值點分別為，，證明：.17．甲、乙兩選手進行象棋比賽，假設每局比賽結果相互獨立，且每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．(1)若比賽采用三局兩勝制，求甲獲勝的概率；(2)如果比賽采用五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）進行比賽，求比賽的局數X的分布列和期望；(3)如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽的賽制有五局三勝制和三局兩勝制兩種選擇，請問對于甲選手來說，該如何選擇比賽賽制對自己更有利，請說明理由，由此你能得出什么結論．18．已知橢圓的短軸長為2，離心率為．(1)求的方程；(2)若，分別是的左、右頂點，不與軸垂直的動直線與交于，兩點（不同于，），且直線的斜率等于直線的斜率的2倍，求證：直線經過定點．19．如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動點.(1)證明：；(2)若，三棱錐的各個頂點都在球的球面上，求球心到平面的距離；(3)求平面與平面夾角余弦值的最小值.

廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學、廣州外國語）2024-2025學年高二下學期期末聯考數學試題參考答案題號12345678910答案CADDBDACABDBC題號11答案ACD1．C【詳解】因為是等差數列，由等差數列通項公式和前n項和公式可得，，解得，，所以.故選：C2．A【詳解】由可得，則，因為曲線在點處的切線與直線平行，且直線的斜率為，即，解得.故選：A3．D【詳解】對于選項A，線性相關的回歸方程對應的直線過點，即，解得，選項A正確；對于選項B，根據正態分布的性質，，，則，選項B正確；對于選項C，相關系數的絕對值越接近，則兩個變量的線性相關程度越高，選項C正確；對于選項D，共有個按從小到大排列的數據，，根據定義第百分位數為第項和第項的平均數，選項D錯誤.故答案為：D4．D【詳解】由為中點，為正三角形，所以，如圖所示：由圖可知，所以.因為邊長，所以根據勾股定理可得.所以.故選：D.5．B【詳解】由，有，又，有，即，則，解得，故選：B.6．D【詳解】取中點，連接，如圖由和均是邊長為的等邊三角形，可知，由可知，，在等腰三角形中，，因為平面,所以平面,所以，故選：D7．A【詳解】由題意知，，且A，B都在雙曲線的右支上．設，則，，．在中，，得，則，.在中，，即，得．所以雙曲線C的離心率為.故選：A.8．C【詳解】設事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知可知：，又，所以，構造等比數列，因為第一次由甲傳球，可認為第次傳球在甲，即，所以是以為首項，公比為的等比數列，故，因為第一次由甲傳球，之后都是等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，所以乙、丙地位對稱，即，所以經過次傳球后，球恰在乙手中的概率為.故選：C.9．ABD【詳解】對于A選項：因為，，，則，即，當且僅當時等號成立，所以A選項正確；對于B選項：因為，，則，當且僅當時等號成立，所以B選項正確；對于C選項：當且時，，所以C選項錯誤；對于D選項：，當且僅當，即時等號成立，所以D選項正確，故選：ABD.10．BC【詳解】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12種，事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵，∴與不是互斥事件，故A錯誤；，，∴與互為對立事件，故B正確；事件“12，21”，∴，，，，∴與相互獨立，故C正確；事件“31，41，32，42”，，，∴，故D錯誤．故選：BC.11．ACD【詳解】對于A中，由函數，可得，因為是的極大值點，所以，解得，所以，可得，當時，，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以函數的極大值點為，極小值點為0，所以A正確；對于B中，當時，，則，因為在區間上單調遞減，所以，所以B錯誤；對于C中，由，且當時，，當時，，可得的圖象，如圖所示，當時，有3個相異零點，所以C正確；對于D中，因為，要證，只需證明，由在上單調遞增，需證明，即當時，證明，構造函數（其中），則，當時，，則在上單調遞增，所以，即當時，，所以，所以，所以D正確．故選：ACD.12．【詳解】．故答案為：．13．【詳解】安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人，則將4人按分組，若不考慮限制條件，則此時不同的安排方式有種，當甲和乙去同一個地方時，有種不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有種.故答案為：14．【詳解】記第個圖形為，三角形邊長為，邊數，周長為，面積為有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；分析可知，即；，即當第1個圖中的三角形的周長為1時，即，所以由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即即，，，利用累加法可得數列是以為公比的等比數列，數列是以為公比的等比數列，故是以為公比的等比數列，當第1個圖中的三角形的面積為1時，，即，此時，，有條邊，則所以，所以故答案為：，15．(1)(2)【詳解】（1）由，①可得．②由得．，．又當時，得．解得（舍去）可得數列是首項為2，公差為1的等差數列即．（2）由（1）知，可得．因此；可得16．(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意得，，.因為有兩個極值點，所以方程有兩個不相等的正根，所以，解得.檢驗：當時，由得或.所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意.所以實數的取值范圍為.（2）證明：由（1）知，，所以，所以.令，則，令，則，所以在上單調遞增.因為，，所以函數存在唯一零點，即，且當時，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，存在最小值，即.因為，所以，所以，所以.17．(1)(2)分布列見解析，(3)答案見解析【詳解】（1）設事件“比賽采用三局兩勝制甲勝”，則．（2）比賽的局數為X的所有可能取值為3，4，5，可得，，．

所以隨機變量的分布列為：X345P所以期望為．（3）采用三局二勝制進行比賽甲獲勝的概率，

采用五局三勝制進行比賽甲獲勝的概率：．

令，因為，所以．

當時，；當時，；當時，．

所以當時，選擇三局兩勝制對甲有利；當時，選擇五局三勝對甲有利；當時，選擇五局三勝制和三局兩勝制對甲沒有影響．

由此可以得出，比賽局數越多，對實力較強者越有利.18．(1);(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意得：，，所以解得，即橢圓方程；（2）設直線方程為，與橢圓聯立，消得：，其中，設，則，由已知得：，再化簡得：，代入得：，整理得：，因為直線不經過點，所以，即，所以直線的方程為，因此直線經過定點.19．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點，連接,因為，,且的中點，所以，又平面，故平