高三期末高考數學試卷

高三期末高考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為：

A.-2B.2C.0D.1

2.在直角坐標系中，若點$A(2,3)$關于直線$x+y=5$的對稱點為$B$，則$B$的坐標為：

A.$(3,2)$B.$(1,4)$C.$(4,1)$D.$(2,4)$

3.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為：

A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^n+1$C.$a_n=2^{n-1}-1$D.$a_n=2^{n-1}+1$

4.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=3$，$S_5=20$，則公差$d$為：

A.1B.2C.3D.4

5.已知圓的方程$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，則圓心坐標為：

A.$(2,3)$B.$(2,-3)$C.$(-2,3)$D.$(-2,-3)$

6.已知函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，則$f(x)$的定義域為：

A.$x\neq1$B.$x\neq2$C.$x\neq0$D.$x\neq3$

7.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為：

A.$a_n=n^2-n+1$B.$a_n=n^2+n+1$C.$a_n=n^2-n$D.$a_n=n^2+n$

8.已知等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=2$，$S_4=30$，則公比$q$為：

A.2B.3C.4D.5

9.已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2-2x-4y+4=0$相切，則圓心到直線的距離為：

A.1B.2C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

10.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則$f(x)$的單調遞增區間為：

A.$(-\infty,0]$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列命題中，正確的有：

A.如果函數$f(x)$在區間$(a,b)$內單調遞增，那么其導數$f'(x)$在該區間內恒大于0。

B.等差數列的通項公式可以表示為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。

C.二次函數$y=ax^2+bx+c$的頂點坐標為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

D.對于任意實數$x$，都有$x^2\geq0$。

E.如果一個數列是等比數列，那么它的倒數數列也是等比數列。

2.下列關于圓的方程的描述中，正確的是：

A.圓的標準方程可以表示為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圓心坐標，$r$是半徑。

B.圓的方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$可以轉化為$(x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$。

C.圓的方程$x^2+y^2=r^2$的圓心在原點，半徑為$r$。

D.圓的方程$x^2+y^2=r^2$表示一個半徑為$r$的圓，且圓心在$(r,0)$。

E.圓的方程$x^2+y^2=r^2$表示一個半徑為$r$的圓，且圓心在$(0,r)$。

3.下列關于函數的性質的描述中，正確的是：

A.如果函數$f(x)$在區間$(a,b)$內連續，那么在該區間內必存在至少一個點$c$，使得$f(c)=f(a)+f(b)$。

B.函數$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值。

C.如果函數$f(x)$在區間$(a,b)$內可導，那么在該區間內必存在至少一個點$c$，使得$f'(c)=0$。

D.函數$f(x)=\sinx$在$[0,2\pi]$區間內是單調遞增的。

E.函數$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$區間內是單調遞增的。

4.下列關于數列的性質的描述中，正確的是：

A.等差數列的前$n$項和可以表示為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。

B.等比數列的前$n$項和可以表示為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$q$是公比。

C.如果數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_n=S_n-S_{n-1}$，那么數列$\{a_n\}$是等差數列。

D.如果數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_n=S_n-S_{n-1}$，那么數列$\{a_n\}$是等比數列。

E.如果數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_n=S_n-S_{n-1}$，那么數列$\{a_n\}$的通項公式是$a_n=2S_n-S_{n-1}$。

5.下列關于復數的描述中，正確的是：

A.復數可以表示為$a+bi$的形式，其中$a$是實部，$b$是虛部，$i$是虛數單位。

B.復數$a+bi$的模可以表示為$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$。

C.復數$a+bi$的共軛復數可以表示為$a-bi$。

D.復數$a+bi$乘以它的共軛復數等于它的模的平方，即$(a+bi)(a-bi)=|a+bi|^2$。

E.復數$a+bi$的平方可以表示為$(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\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四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列函數的導數：

$f(x)=\sqrt[3]{x^4-4x^3+3x^2}$

2.已知函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$，求$f(x)$在$x=2$處的左導數和右導數。

3.求解不等式$\frac{x^2-4}{x+2}>0$的解集。

4.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_5=15$，求公差$d$。

5.已知等比數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求該數列的前5項和。

6.求解下列曲線的交點坐標：

$y=\sqrt{x}$和$y=x^2-4x+4$

7.已知圓的方程$x^2+y^2-2x-4y+4=0$，求圓的半徑和圓心坐標。

8.已知函數$f(x)=\sinx+\cosx$，求$f(x)$在區間$[0,2\pi]$上的最大值和最小值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.B（知識點：導數的定義及求導法則）

2.D（知識點：對稱點坐標的求解方法）

3.A（知識點：數列的通項公式及等差數列的定義）

4.A（知識點：等差數列的前$n$項和公式及公差的求解方法）

5.C（知識點：圓的標準方程及圓心坐標和半徑的求解方法）

6.A（知識點：函數的定義域及分式的簡化）

7.B（知識點：數列的通項公式及等比數列的定義