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試題試題2024北京八中高三9月月考數學考試時間:120分鐘滿分:150分一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項)1.設復數滿足,其中為虛數單位,則的共軛復數等于()A. B. C. D.2.計算的結果等于()A. B. C. D.3.從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取2球,下列情況中互斥而不對立的兩個事件是A.至少有一個紅球,至少有一個白球B.恰有一個紅球,都是白球C.至少有一個紅球,都是白球D.至多有一個紅球,都是紅球4.對于不重合的兩個平面與,給定下列條件:①存在平面,使得,都垂直于;②存在平面,使得,都平行于;③存在直線,直線,使得;④存在異面直線,,使得,,,.其中,可以判定與平行的條件有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.高二某班共有50名學生,其中女生有名,“三好學生”人數是全班人數的,且“三好學生”中女生占一半,現從該班學生中任選1人參加座談會,則在已知沒有選上女生的條件下,選上的學生是“三好學生”的概率為()A. B. C. D.6.某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有()A.36種 B.60種 C.120種 D.180種7.在一個數列中,如果,都有(為常數),那么這個數列叫做等積數列,叫做這個數列的公積.已知數列an是等積數列,且,公積為8,則()A.4719 B.4721 C.4723 D.47248.已知函數的最小正周期為.將的圖象向左平移個單位長度,所得圖象關于軸對稱,則的一個值是()A. B. C. D.9.直三棱柱中,若,,則異面直線與所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°10.已知拋物線,為直線上一點,過作拋物線的兩條切線,切點分別為,則的值為()A.0 B.1 C.-2 D.-1二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)11.二項式的展開式中的常數項為________.12.已知向量滿足與的夾角為,則______.13.已知點在圓外,則的取值范圍是______.14.已知點是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點是雙曲線的左、右兩個焦點,且與兩條漸近線相交于15.如圖,棱長為2的正方體中,E、F分別為棱的中點,G為面對角線上一個動點,則下列選項中正確的是_____.①三棱錐的體積為定值.②存在線段,使平面平面.③G為上靠近的四等分點時,直線與所成角最?。苋羝矫媾c棱有交點,記交點分別為M,N,則的取值范圍是.三、解答題(共6題,滿分85分)16.在中,,.(1)求;(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使存在且唯一確定,求邊上中線的長.條件①:;條件②:的周長為;條件③:的面積為;17.如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求與所成角的余弦值:(3)當平面與平面垂直時,求的長,18.小明同學兩次測試成績(滿分100分)如下表所示:語文數學英語物理化學生物第一次879291928593第二次829495889487(1)從小明同學第一次測試的科目中隨機抽取1科,求該科成績大于90分的概率;(2)從小明同學第一次測試和第二次測試的科目中各隨機抽取1科,記X為抽取的2科中成績大于90分的科目數量,求X的分布列和數學期望;(3)現有另一名同學兩次測試成績(滿分100分)及相關統計信息如下表所示:語文數學英語物理化學生物6科成績均值6科成績方差第一次第二次將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評成績,這6科總評成績的方差為.有一種觀點認為:若,則.你認為這種觀點是否正確?(只寫“正確”或“不正確”)19.已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為,離心率為.(1)求橢圓的方程:(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點.若軸上一點滿足,求直線斜率的值.20.已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求的單調區間;(3)若關于的方程有兩個不相等的實數根,記較小的實數根為,求證:.21.對于給定的正整數和實數,若數列滿足如下兩個性質:①;②對,,則稱數列具有性質.(1)若數列具有性質,求數列的前項和;(2)對于給定的正奇數,若數列同時具有性質和,求數列的通項公式;(3)若數列具有性質,求證:存在自然數,對任意的正整數,不等式均成立.

參考答案一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項)1.【答案】A【分析】根據復數的除法運算和共軛復數的概念得到結果.【詳解】,所以的共軛復數為.故選:A.2.【答案】A【分析】根據正弦的差角公式即可求解.【詳解】,故選:A3.【答案】B【詳解】由題意所有的基本事件可分為三類:兩個紅球,一紅一白,兩個白球.易知A選項的事件不互斥;C,D兩個選項中的事件為對立事件;而B項中的事件一是互斥,同時還有“兩個紅球”的事件,故不對立.故選B.點睛:“互斥事件”與“對立事件”的區別:對立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件.4.【答案】B【分析】直線與平面的位置關系,平面與平面的位置關系,對選項進行逐一判斷,確定正確選項即可.【詳解】解:①若存在平面,使得,都垂直于,則與平行或相交,故①錯誤.②若存在平面,使得,都平行于,因為與是不重合的兩個平面,所以與平行,故②正確.③若存在直線,直線,使得,則與平行或相交,故③錯誤;④若存在異面直線,,使得,,,,則可以判定與平行.可在面內作,,因為,是異面直線,則與必相交.又,,,,,即④正確.故選:B.5.【答案】D【分析】分別計算“三好學生”人數,女“三好學生”與男“三好學生”人數,再利用條件概率計算公式即可得出結論.【詳解】“三好學生”人數是全班人數的,“三好學生”人數是人,男生人數為人,“三好學生”中女生占一半,女“三好學生”與男“三好學生”各是人.現從該班學生中任選1人參加座談會,則在已知沒有選上女生的條件下,選上的學生是“三好學生”的概率,故選:D.6.【答案】C【分析】根據題意,分兩種情況討論,一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目,二是在三個城市各投資1個項目,分別計算其情況數目,進而由加法原理,計算可得答案.【詳解】該外商不同的投資方案分為兩類:若1個城市投資2個項目,另外1個城市投資1個項目,有種投資方案;若3個城市各投資1個項目,共有種投資方案,由分類計數原理知,共有120種不同的投資方案.故選:C.7.【答案】B【分析】先根據題干已知條件及遞推公式逐項代入進行計算即可發現數列是以3為最小正周期的周期數列,然后根據周期數列的性質即可計算出數列的前2024項的和.【詳解】依題意,由,及,可得當時,,解得,當時,,解得,當時,,解得,當時,,解得,數列是以3為最小正周期的周期數列,,,,.故選:B8.【答案】B【分析】根據函數的周期求,結合三角函數的圖象平移關系,結合三角函數的奇偶性進行求解即可.【詳解】函數的最小正周期為,,得,則,將的圖象向左平移個單位長度,所得圖象關于軸對稱,則,圖象關于軸對稱,,則,,當時,,當時,,故選:B.9.【答案】C【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題,考查空間想象與計算能力.延長B1A1到E,使A1E=A1B1,連結AE,EC1,則AE∥A1B,∠EAC1或其補角即為所求,由已知條件可得△AEC1為正三角形,∴∠EC1B為,故選C.10.【答案】A【分析】設,利用導數的幾何意義可得直線與直線的方程,進而得到點的坐標,結合點在直線上,得,即,根據數量積的坐標運算化簡后即可得解.【詳解】設,由求導得,則直線方程為,即,同理可得直線的方程為,聯立直線與直線的方程可得,由點在直線上,得,即故選:A.二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)11.【答案】60【分析】利用展開式的通項公式,可求常數項.【詳解】展開式的通項為.令,得,則的常數項為.故答案為:.12.【答案】【分析】由題,先求得的值,再求得,最后開方可得答案.【詳解】,故答案為:13.【答案】【分析】根據一般方程的的定義,以及點與圓的位置關系,即可求解.【詳解】由題意得4a2+3a>0故答案為:.14.【答案】【分析】利用三角形中位線定理、銳角三角函數的正弦與余弦的定義,結合已知,可以求出的雙曲,進而求得雙曲線的離心率.【詳解】因為是中點,即是的中位線,則,可得,,又因為,則,,關系則,所以雙曲線的離心率是.故答案為:.15.【答案】①③④【分析】根據線面平行的性質與判定及等體積法可判定①;建立空間直角坐標系,利用空間向量可判定②③;利用平面的性質結合勾股定理及函數的性質計算即可判定④.【詳解】易知側面,所以上的點到側面的距離始終不變,即正方體的棱長2,而對于三棱錐的體積,故①正確;如圖所建立的空間直角坐標系,則,可設,則,設平面的一個法向量為,則,取,即,顯然,若平面平面,則,此時G不在線段上,即②不成立;易知,設直線與所成角,則,顯然時,,即取得最小值,此時,故③正確;如圖所示,要滿足題意需G靠C近些,過G作,延長交延長線于I,連接IN交AB于M,設,易知,所以,由,所以④正確;故答案為:①③④三、解答題(共6題,滿分85分)16.【答案】(1);(2)答案不唯一,具體見解析.【分析】(1)由正弦定理化邊為角即可求解;(2)若選擇①:由正弦定理求解可得不存在;若選擇②:由正弦定理結合周長可求得外接圓半徑,即可得出各邊,再由余弦定理可求;若選擇③:由面積公式可求各邊長,再由余弦定理可求.【詳解】(1),則由正弦定理可得,,,,,,解得;(2)若選擇①:由正弦定理結合(1)可得,與矛盾,故這樣的不存在;若選擇②:由(1)可得,設的外接圓半徑為,則由正弦定理可得,,則周長,解得,則,由余弦定理可得邊上的中線的長度為:;若選擇③:由(1)可得,即,則,解得,則由余弦定理可得邊上的中線的長度為:.17.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)由線面垂直的性質定理及判定定理,即可證明;(2)建立空間直角坐標系,結合空間向量的坐標運算以及異面直線的夾角公式代入計算,即可求解;(3)由空間向量的坐標運算,分別求得平面與平面的法向量,再由法向量的乘積為零,代入計算,即可求解.【小問1詳解】因為四邊形為菱形,所以,又因為平面,平面,所以,且,平面,所以平面.【小問2詳解】設,因為,,所以,,以為坐標原點,所在直線以及所在且與平行的直線分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,,設與所成角為,則.【小問3詳解】由(2)可知,設P0,?23則,設平面的法向量為,則,令,則,則平面的法向量為,又,則,,設平面的法向量為n=x,y,z則,令,則,所以平面的法向量為,因為平面平面,所以,解得,所以.18.【答案】(1)(2)分布列見解析,(3)不正確【分析】(1)根據古典概型的概率公式計算可得結果;(2)計算出的各個取值的概率可得分布列,根據期望公式計算可得數學期望;(3)根據方差公式計算,結合比較可得答案.【詳解】(1)共有6科成績,其中成績大于90分的有數學、英語、物理和生物共4科,所以從小明同學第一次測試的科目中隨機抽取1科,該科成績大于90分的概率為.(2)的所有可能取值為:0,1,2,,,,所以X的分布列為:012數學期望.(3)設,則,則,同理可得,,因為,所以,所以的符號不確定,所以與無法比較大小,,所以,故這種觀點不正確.【點睛】關鍵點點睛:掌握求離散型隨機變量的分布列的步驟和數學期望公式是解題關鍵.19.【答案】(1)(2)或或.【分析】(1)利用橢圓的定義求出,根據離心率,求出,可得,即可求橢圓的方程;(2)設直線的方程為,聯立直線與橢圓方程,利用韋達定理、中點坐標公式,可得的中點坐標,分類討論,利用,可得方程,即可求直線斜率的值.【小問1詳解】,,,橢圓的標準方程為【小問2詳解】已知,設直線的方程為,,,聯立直線與橢圓方程,化簡得:,因為該直線過的定點在橢圓內部,則其與橢圓必有兩交點,,,的中點坐標為,時,滿足條件,此時的中垂線為;當時,,得到MG所在的直線與直線l垂直,,整理得,解得或所以或或.20.【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】(1)求函數導數得切線斜率,再由點斜式可得解;(2)由,分和兩種情況討論導函數的正負,可得函數的單調區間;(3)分析可得要證,,令,利用導數證得,即可得證.【小問1詳解】,,,,所以在點1,f1處的切線方程為,整理得:;【小問2詳解】函數定義域為0,+∞,當時,f'x≥0,此時在0,+當時,令,得,此時在上f'x<0,在單調遞減,在上f'x>0,在單調遞增,綜上:時,的遞增區間為0,+∞,無遞減區間;時,的遞減區間為,遞增區間為;【小問3詳解】由(2)可知,當時,才有兩個不相等的實根,且,則要證,即證,即證,而,則,否則方程不成立),所以即證,化簡得,令,則,當時,,所以在0,1單調遞減,當時,,所以在1,+∞單調遞增,所以,而,所以,所以,得證.【點睛】關鍵點點睛:本題的解題關鍵是通過證明即可得解,分析函數在極小值左側的單調性,關鍵再由證明,利用構造函數的方法即可.21.【答案】(1)5(2)(3)證明見解析【分析】(1)根據題意得

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