專題14有理數(shù)的運算技巧（原卷版）

專題14.有理數(shù)的運算技巧預(yù)習(xí)目標(biāo)……………………………..1題型探究……………………………..2TOC\o"13"\h\z\u題型1、湊整法 2題型2、拆項法 4題型3、分組法 6題型4、裂項相消法 8題型5、相互轉(zhuǎn)化法 11題型6、倒數(shù)法 13題型7、錯位相減法 16題型8、利用運算律進(jìn)行簡算 20題型9、利用圖形進(jìn)行簡算 22基礎(chǔ)通關(guān) 25拓展提優(yōu) 32在有理數(shù)的運算中，若能根據(jù)題目的特征，采用適當(dāng)?shù)倪\算技巧，不但能化繁為簡，提高運算速度，提升運算的準(zhǔn)確率，而且會使計算過程充滿樂趣。本專題重點介紹幾種有理數(shù)常用的運算技巧。題型1、湊整法【解題技巧】湊整法是數(shù)學(xué)運算中通過調(diào)整數(shù)字組合使其接近整十、整百等易計算的數(shù)值，從而簡化運算過程的技巧。核心思想?：通過拆分、重組或調(diào)整運算順序，使復(fù)雜的非整數(shù)值轉(zhuǎn)化為整十、整百等便于計算的整數(shù)，從而提升運算效率和準(zhǔn)確性。1.?加減法湊整（中學(xué)階段主要運用分組湊整）?1）?拆補湊整?：調(diào)整某個加數(shù)使其接近整數(shù)，再通過補數(shù)修正結(jié)果。?例?：175+299=175+（3001）=474。2）?借數(shù)湊整?：通過借數(shù)調(diào)整被減數(shù)或減數(shù)。?例?：998+397+506=(998+2)+(397+3)+(5066)=1901。3）?分組湊整?：將能組合為整數(shù)的數(shù)分組計算。?例?：108063.5836.42=1080(63.58+36.42)=980。2.?乘法湊整?1）?分解因數(shù)?：利用乘法交換律、結(jié)合律拆分因數(shù)。?例?：125×25×32=(125×8)×(25×4)=1000×100=。2）?提取公因數(shù)（乘法分配律的逆用）?：適用于有相同因數(shù)的相關(guān)運算。?例?：99878×99+99878×99998×99878=99878×(99+99998)=99878×1000。例1．（2425七年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）甲、乙兩人用簡便方法進(jìn)行計算的過程如下所示，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙都正確B．甲、乙都不正確C．只有甲正確D．只有乙正確例2．（2425七年級上·遼寧錦州·期中）用簡便方法計算變式3．（2024七年級上·江蘇·專題練習(xí)）用簡便方法計算：題型2、拆項法【解題技巧】拆項法是一種將帶分?jǐn)?shù)或復(fù)雜分?jǐn)?shù)表達(dá)式拆分為整數(shù)和真分?jǐn)?shù)（或更簡單的分?jǐn)?shù)組合）進(jìn)行計算的方法。?分組優(yōu)化?：利用加法結(jié)合律、乘法分配律等數(shù)學(xué)規(guī)則重組運算順序。上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：變式1.（2425七年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）閱讀下面文字：______．上面這種方法叫拆項法．變式2.（2324七年級上·安徽合肥·期中）閱讀下題的計算方法題型3、分組法【解題技巧】觀察算式，找出算式分布規(guī)律，然后適當(dāng)分組，利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡化計算。基本運算中的分組策略1）?加減法的相鄰分組?：針對連續(xù)加減混合運算，優(yōu)先將相鄰的數(shù)按固定規(guī)律分組，簡化計算。?示例?：計算

10099+9897+…+21

分析：每兩個相鄰數(shù)為一組：(10099)+(9897)+…+(21)；每組結(jié)果為

1，共

50

組，總和為

50。2）等差數(shù)列與等比數(shù)列分組?：若數(shù)列由不同規(guī)律的分段組成，可拆分為多個子數(shù)列分別求和。例1.（2425七年級·浙江·階段練習(xí)）計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2021+2022A．0 B．﹣1 C．2024 D．2024變式1.（2324七年級·重慶·期末）1?3?5+7+9?11?13+15+?+20題型4、裂項相消法變式2.（2324七年級·浙江·階段練習(xí)）計算：202【解題技巧】?裂項相消法?是將分?jǐn)?shù)表達(dá)式拆分為若干項的差值或和差形式，使得相鄰項在求和時發(fā)生抵消，從而快速簡化計算的策略。裂項相消法的核心是通過巧妙的代數(shù)變形，將復(fù)雜求和轉(zhuǎn)化為簡單抵消。掌握常見裂項公式和系數(shù)調(diào)整技巧，可快速解決分式、數(shù)列求和等問題，尤其在競賽和考試中能大幅提升效率。裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算；（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”；（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。例1．（2425七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）觀察下列等式：（）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：變式2.（2324七年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）閱讀下列材料：這種求和方法稱為“裂項相消法”，請你參照此法計算：

題型5、相互轉(zhuǎn)化法【解題技巧】相互轉(zhuǎn)化法通過形式（分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)）統(tǒng)一、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和單位整合，大幅提升計算效率。重點在于靈活選擇轉(zhuǎn)化路徑，并熟練運用運算定律（如分配律、結(jié)合律）進(jìn)行簡化。例1.（2425七年級·福建廈門·階段練習(xí)）用簡便方法計算：變式1．（2425七年級上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）計算（能簡算的要簡算）題型6、倒數(shù)法【解題技巧】倒數(shù)法通過取倒數(shù)或表達(dá)式的倒數(shù)，將復(fù)雜運算轉(zhuǎn)化為更易處理的形式。倒數(shù)法通過逆向轉(zhuǎn)化運算邏輯，顯著提升分?jǐn)?shù)運算、方程求解及復(fù)雜問題的處理效率。重點在于靈活轉(zhuǎn)化運算形式（如除法→乘法、分母→分子），并結(jié)合分配律、方程變形等技巧綜合應(yīng)用。例1.（2024七年級上·江蘇·專題練習(xí)）閱讀材料，回答問題．故原式．；解法三：原式的倒數(shù)為(1)上述三種解法得出的結(jié)果不同，肯定有解法是錯誤的，你認(rèn)為解法___________是錯誤的（填序號）(1)請比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？(1)前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？(2)先計算哪部分比較簡單?請給予解答；(3)利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果；(4)根據(jù)上述分析，求出原式的結(jié)果．題型7、錯位相減法【解題技巧】錯位相減法通過構(gòu)造等比數(shù)列的和式與其公比倍數(shù)的錯位式，利用?中間項相消的特性簡化求和過程，最終導(dǎo)出等比數(shù)列前n項和的表達(dá)式。通過錯位相減法，可直觀理解等比數(shù)列求和的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并確保公式推導(dǎo)的邏輯嚴(yán)密性。實際應(yīng)用中，直接套用閉合公式可高效解題，但推導(dǎo)過程需熟練掌握。例1．（2025·安徽·一模）【閱讀材料】數(shù)列是一個古老的數(shù)學(xué)課題，我國對數(shù)列概念的認(rèn)識很早，例如《易傳?系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數(shù)學(xué)史上有關(guān)等比數(shù)列的最早文字記載．【問題提出】求等比數(shù)列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數(shù)，請寫出計算過程)．【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用q表示．如：數(shù)列1，2，4，8，…為等比數(shù)列，其中a1=1，a2=2，公比為q=2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)等比數(shù)列3，9，27，…的公比q為_____，第5項是_____．【公式推導(dǎo)】如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)定義可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1?q，a3=a2?q=a1q?q=a1?q2，a4=a3?q=a1?q2=a1?q3，…(2)由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項公式：an=a1?(_____)．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過程——錯位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數(shù)列前n項和公式，而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中給出，時間相差兩千多年．下面是小明為了計算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：設(shè)S=1+2+22+…+22019+22020①，則2S=2+22+…+22020+22021②，②①得2SS=S=220211，∴S=1+2+22+…+22019+22020=220211．【解決問題】(3)請仿照小明的方法求等比數(shù)列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數(shù)，請寫出計算過程)．【拓展應(yīng)用】(4)計算25+252+253+…+25n的值為_____．(直接寫出結(jié)果)通過閱讀，你一定學(xué)到了一種解決問題的方法．【新方法生成】將一個邊長為1的正方形紙片分割成若干個部分，請利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問題：

變式2．（2425七年級上·廣東深圳·期中）《莊子?天下》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完．我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，探究課上，同學(xué)們運用此數(shù)學(xué)思想研究下列問題．“聰慧組”的同學(xué)將一個邊長為1的正方形紙片分割成若干個部分，并用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問題(1)請按照“聰慧組”同學(xué)的思路填空(2)為了證明“聰慧組”同學(xué)得到的結(jié)論，“明辨組”的同學(xué)采用了以下方法進(jìn)行證明，請將證明過程補充完整．通過閱讀，你一定學(xué)到了多種解決問題的方法．題型8、利用運算律進(jìn)行簡算運算律法：?變運用運算律改變運算順序；通過改變運算順序，簡化計算步驟。?逆正難則反，逆用運算律改變次序?：通過逆用運算律，解決復(fù)雜問題。例1．（2425七年級上·北京朝陽·階段練習(xí)）計算（能用簡便方法的用簡便方法）題型9、利用圖形進(jìn)行簡算【解題技巧】利用圖形進(jìn)行簡便運算的方法，通常被稱為?圖形法?或?幾何法?。這種方法通過將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，利用圖形的直觀性和幾何性質(zhì)來簡化運算過程。需要注意的是，雖然圖形法可以簡化運算過程并提高解題效率，但在使用時應(yīng)確保圖形的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。此外，對于一些特殊問題或復(fù)雜情況，可能需要結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法或工具來共同求解。1.（2324七年級·山西太原·階段練習(xí)）計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．2020上面這種方法叫拆項法．5．（2425七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）用簡便方法計算：11．（2324七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）用簡便方法計算：12．（2024七年級上·廣東·專題練習(xí)）用簡便方法計算：4．（2425·遼寧·七年級專題練習(xí)）計算題。6．（2425七年級上·四川成都·階段練習(xí)）（1）請你觀察：以上方法稱為“裂項相消求和法”（2）．閱讀下面文字：上面這種方法叫拆項法；7．（2425·湖北七年級專題練習(xí)）計算：8．（2425·遼寧·七年級專題練習(xí)）計算題。9．（2425七年級上·江蘇揚州·期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．因此我們解決有關(guān)“數(shù)”的問題時，可以借助“形”，讓問題變的直觀．【教材回顧】選自新版蘇科版教材第頁（1）根據(jù)情境中的等量關(guān)系列出一個等式：如圖，一張正方形紙片被分割成四個部分．【習(xí)題拓展】選自配套教輔《學(xué)習(xí)與評價》第頁（2）如圖2，將一個邊長為的正方形紙片分割成個部分，部分①的面積是邊長為的正方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，…以此類推．10．（2425七年級上·山東青島·期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學(xué)上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．探究問題：