逼近論第一第二章

第一章預備知識§1函數逼近論簡介函數逼近論〔approximationoffuncyions〕函數論的一個重要組成局部，涉及的根本問題是函數的近似表示問題。在數學的理論研究和實際應用中經常遇到下面問題：在選定的一類函數中尋找某個函數，使它是函數在一定意義下的近似表示，并求出用近似表示而產生的誤差。這就是函數逼近問題。在函數逼近問題中，用來逼近函數的函數類可以有不同的選擇；即使函數類選定了，在該類函數中用作的近似表示的函數確實定方式仍然是各式各樣的；對的近似程度〔誤差〕也可以有各種不同的含義。所以函數逼近問題的提法具有多樣的形式，其內容十分豐富。二、逼近函數類給定函數，用來逼近的函數一般要在某個較簡單的函數類中找，這種函數類叫做逼近函數類。逼近函數類可以有多種選擇。次代數多項式，亦即一切形如公式〔其中是實數，〕的函數的集合；階三角多項式，亦即一切形如公式(其中,是實數，〕的函數的集合，這些是最常用的逼近函數類。其他如由代數多項式的比構成的有理分式集，由正交函數系的線性組合構成的〔維數固定的〕線性集，按照一定條件定義的樣條函數集等也都是很有用的逼近函數類。在一個逼近問題中選擇什么樣的函數類作逼近函數類，這要取決于被逼近函數本身的特點，也和逼近問題的條件、要求等因素有關。三、逼近方法給定并且選定了逼近函數類之后,如何在逼近函數類中確定作為的近似表示函數的方法是多種多樣的。例如插值就是用以確定逼近函數的一種常見方法。所謂插值就是要在逼近函數類中找一個，使它在一些預先指定的點上和有相同的值，或者更一般地要求和在這些指定點上某階導數都有相同的值。利用插值方法來構造逼近多項式的做法在數學中已有相當久的歷史。微積分中著名的Taylor多項式便是一種插值多項式。此外，在各種逼近問題中，線性算子也是廣泛應用的一大類逼近工具。所謂線性算子是指某種逼近方法，對于被逼近函數、，在逼近函數類中有、近似表示它們，并且對于任意實數都有。線性算子逼近方法構造方便。一個典型的例子是周期的連續函數的階傅里葉局部和,它定義了一個由周期的連續函數集到階三角多項式集內的線性算子。可以用來近似表示。除了線性算子，在逼近問題中還開展了非線性的逼近方法。這方面最根本的工作是18世紀中葉由俄國數學家∏.Л.切比雪夫提出的最正確逼近。1859年切比雪夫結合機械設計問題的研究提出并討論了下述類型的極值問題：區間上的連續函數,是依賴于參數的初等函數(如多項式，有理分式)，用來近似表示?(x)，如果產生的誤差用公式來衡量，要求選擇一組參數使誤差最小。這就是尋求極小問題的解。當參數給出最小誤差時，就把叫做)在所構成的函數類中的一個最正確逼近元；數值叫做借助于函數來逼近時的最正確逼近值。切比雪夫研究了是次多項式〔是固定整數,是系數，它們是可以任意取值的參數〕的情形。這里的最正確逼近依賴于，但不是線性依賴關系。所以說切比雪夫的最正確逼近是一種非線性的逼近。四、誤差又稱逼近度。為了衡量函數對的近似程度〔逼近度〕，在逼近論中廣泛應用抽象度量空間內的度量概念。對于在逼近問題中經常遇到的一些函數類，常用到的度量有以下幾種：①定義在上的全體連續函數中任何兩個函數,的接近程度可以按公式來規定。按這種度量引出的逼近度叫做一致逼近度；②定義在上的全體平方可積函數內任何兩個函數，的接近程度可按公式來規定,這便是平方逼近度；③定義在上的全體次冪可積函數(p≥1)內可以取作為度量，由它產生的逼近度叫做次冪逼近度。五、函數逼近論的產生從18世紀到19世紀初期，在L.歐拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里葉、J.-V.彭賽列等數學家的研究工作中已涉及一些個別的具體函數的最正確逼近問題。這些問題是從諸如繪圖學、測地學、機械設計等方面的實際需要中提出的。在當時沒有可能形成深刻的概念和統一的方法。切比雪夫提出了最正確逼近概念,研究了逼近函數類是次多項式時最正確逼近元的性質，建立了能夠據以判斷多項式為最正確逼近元的特征定理。他和他的學生們研究了與零的偏差最小的多項式的問題,得到了許多重要結果。區間上的連續函數,假設(n≥0),量叫做的階最正確一致逼近值,也簡稱為最正確逼近值，簡記為。能使極小值實現的多項式叫做的階最正確逼近多項式。切比雪夫證明了,在區間上函數的階最正確逼近多項式必滿足關系式。多項式就是著名的切比雪夫多項式。切比雪夫還證明了是?(x)在上的階最正確逼近多項式的充分必要條件是：在上存在著個點:,在這些點上(1)依照i=1,2,…,n+2的次序交錯變號，(2)。點組便是著名的切比雪夫交錯組。1885年德國數學家K.〔T.W.〕外爾斯特拉斯在研究用多項式來一致逼近連續函數的問題時證明了一條定理，這條定理在原那么上肯定了任何連續函數都可以用多項式以任何預先指定的精確度在函數的定義區間上一致地近似表示，但是沒有指出應該如何選擇多項式才能逼近得最好。如果考慮后一個問題，那么自然就需要考慮在次數不超過某個固定整數的一切多項式中如何來選擇一個與的一致誤差最小的多項式的問題，而這正好是切比雪夫逼近的根本思想。所以可以說切比雪夫和外爾斯特拉斯是逼近論的現代開展的奠基者。六、開展20世紀初在一批杰出的數學家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、瓦萊－普桑、H.L.勒貝格等人的積極參加下，開創了最正確逼近理論蓬勃開展的階段。這一理論主要在以下幾個方面取得了很大進展：1.最正確逼近的定量理論在逼近論中系統地說明函數的最正確逼近值〔借助于代數多項式來逼近,或者對周期函數借助于三角多項式來逼近，或借助于有理函數來逼近等等〕的數列當時的性態和函數的構造性質〔可微性、光滑性、解析性等等〕之間內在聯系的理論統稱為定量理論。下面表達的定理比擬典型地反映出函數的構造性質與其最正確逼近值之間的深刻聯系。杰克森、伯恩斯坦、A.贊格蒙證明:周期函數具有滿足條件或的階導數的充分必要條件是，借助于三角多項式的階最正確一致逼近值〔簡稱最正確逼近，簡記為〕滿足條件,式中的是不依賴于的正的常數。對于區間上的〔不考慮周期性〕連續函數借助于代數多項式的逼近值與函數構造性質間的聯系也有和上述結果相類似的定理，不過情況比周期函數復雜多了。這一問題是在50年代由蘇聯數學家Α.Ф.季曼、Β.К.賈德克解決的。杰克森、伯恩斯坦等人的工作對逼近論的開展所產生的影響是深遠的。沿著他們開辟的方向繼續深入，到20世紀30年代中期出現了J.A.法瓦爾、Α.Η.柯爾莫哥洛夫關于周期可微函數類借助于三角多項式的最正確逼近的精確估計以及借助于傅里葉級數局部和的一致逼近的漸近精確估計的工作。這兩個工作把從杰克森開始的逼近論的定量研究提高到一個新的水平。從那時起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶澤爾等人為代表的很多逼近論學者在定量研究方面繼續有許多精深的研究工作。2.逼近論的定性理論切比雪夫發現了連續函數的最正確逼近多項式的特征，提出了以切比雪夫交錯點組著稱的特征定理。最正確逼近多項式是唯一存在的。最正確逼近多項式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的結果，對這些問題的深入研究構成了逼近論定性研究的根本內容。匈牙利數學家A.哈爾在1918年首先研究了用廣義多項式在上對任意連續函數的最正確逼近多項式的唯一性問題。在上給定個線性無關的連續函公式。作為逼近函數類可取，式中是任意參數。這樣的稱為廣義多項式。記是存在的。哈爾證明,為了對每一連續函數唯一,唯一,必須而且只須任一不恒等于零的廣義多項式在內至多有個不同的根。在20世紀20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人對滿足哈爾條件的函數系做過很多深入的研究。它在逼近論、插值論、樣條分析、矩量論、數理統計中有著比擬廣泛的應用。關于最正確逼近多項式的切比雪夫特征定理也有很多進一步的研究和推廣。其中最重要的一個推廣是柯爾莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及復平面的閉集上的復值連續函數借助于復值廣義多項式的一致逼近問題。對于內的函數借助于廣義多項式在次冪尺度下的逼近問題也建立了類似的一套定性理論。到50～60年代，經過一些學者的努力，抽象逼近的定性理論建立起來。3.線性算子的逼近理論最正確逼近多項式和被逼近函數間的關系除了平方逼近的情形外一般都不是線性關系。線性關系比擬簡單，線性算子比擬容易構造。所以在逼近論開展中人們一直非常重視對線性逼近方法的研究，形成了逼近論中一個很重要的分支──線性算子的逼近理論。針對特定的函數類、特定的逼近問題設計出構造簡便、逼近性能良好的線性逼近方法與研究各種類型的線性逼近方法〔算子〕的逼近性能，一直是線性算子逼近理論的中心研究課題。在這一方面，幾十年來取得了十分豐富的成果。比擬著名的經典結果有E.B.沃羅諾夫斯卡婭、G.G.洛倫茨等對經典的伯恩斯坦多項式的研究；柯爾莫哥洛夫、尼科利斯基等對周期可微函數的傅里葉級數局部和的逼近階的漸近精確估計；19世紀40～60年代許多逼近論學者對作為逼近方法的傅里葉級數的線性求和過程逼近性能的研究〔包括對傅里葉級數的費耶爾平均、泊松平均、瓦萊·普桑平均等經典的線性平均方法的研究〕。50年代初期∏.∏.科羅夫金深入研究了線性正算子作為逼近方法的特征，開辟了單調算子逼近理論的新方向。40年代中期法瓦爾在概括前人對線性算子逼近的研究成果的根底上，提出了線性算子的飽和性概念做為刻畫算子的逼近性能的一個根本概念，開辟了算子飽和理論研究的新方向。4.函數逼近的數值方法從實際應用的角度來看，要解決一個函數的最正確逼近問題，需要構造出最正確逼近元和算出最正確逼近值。一般說要精確解決這兩個問題十分困難。這種情況促使人們為尋求最正確逼近元的近似表示和最正確逼近值的近似估計而設計出各種數值方法。一個數值方法中包含著有限個確定的步驟，借助它對每一個函數可以在它的逼近函數類中求出一個函數作為最正確逼近元的近似解，并且可以估計出誤差。數值方法自然不限于函數的最正確逼近問題。在插值、求積〔計算積分的近似值〕、函數的展開理論中也都建立了相應的數值方法。近40年來由于計算機的廣泛應用,數值逼近理論和方法的研究開展很快,成為計算數學和應用數學的重要分支。除了以上列舉的幾個方向外,還開展了插值逼近、借助于非線性集〔如有理函數〕的逼近、聯合逼近、在抽象空間內的逼近等等。5.多元函數的逼近多元函數的逼近問題具有很重要的理論和實踐意義。由于在多元函數的逼近問題中包含了很多為單變元情形所沒有的新的困難，所以多元函數的逼近論比單變元情形的開展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已經研究得比擬充分的一個根本問題是函數借助于三角多項式或指數型整函數的最正確逼近階和函數〔在一定意義下的〕光滑性之間的關系。這一工作主要是由蘇聯學者尼柯利斯基和他的學生們于19世紀50～60年代完成的。它除了對函數逼近論本身有重要意義之外，還有很多重要應用。例如，對研究多元函數在低維子流形上的性質，多元函數在一定要求下的開拓問題等都有重要作用。后一類問題的研究屬于泛函分析中的嵌入定理。近年來，在多元函數的線性算子逼近、插值逼近、樣條逼近和用單變元函數的復合近似表示多元函數等方面都有所進展。現在函數逼近論已成為函數理論中最活潑的分支之一。科學技術的蓬勃開展和計算機的廣泛使用給它的開展以強大的刺激。現代數學的許多分支，包括根底數學中象拓撲、泛函分析、代數這樣的抽象學科以及計算數學、數理方程、概率統計、應用數學中的一些分支都和逼近論有著這樣那樣的聯系〔如在正定函數、徑向基插值、薄板樣條、神經網絡、嶺函數以及小波分析研究方面〕。函數逼近論正在從過去根本上屬于古典分析的一個分支開展成為同許多數學分支相互交叉的、密切聯系實際的、帶有一定綜合特色的分支學科。§2預備知識一、距離空間設是由某些元素組成的集合，對于中任兩個元素，按照一定法那么定義一個非負實數，滿足下面三個條件，那么稱是一個距離空間：〔i〕當且僅當〔非負性〕；〔ii〕〔對稱性〕；〔iii〕〔三角不等式〕.以上三條稱為距離三公理，中的元素稱為點.下面是常見的距離空間：〔1〕維歐氏空間.它的點有形式，對，，定義.我們也可以定義或.〔2〕連續函數空間.以表示在上連續函數的全體，對，，定義.〔3〕空間.設是上次Lebesgue可積函數的全體.對，定義.距離空間中的一個點列稱為本來收斂的，如果任給，存在，使得當時，.距離空間稱為是完備的，如果每個本來收斂列都收斂于中的一點.距離空間稱為可分的，如果存在一個可數點集，使得對于每一點，都有中的一個子列，使.二、線性賦范空間設是某些元素組成的集合，是實〔復〕數域，如果以下條件i〕，ii〕成立，那么稱是上的一個線性空間：〔i〕是一個加法群，即在內定義一種運算，叫做加法，滿足〔a〕如，那么；〔b〕〔交換律〕；〔c〕〔結合律〕；〔d〕在內有一個零元素，對任何，有；〔e〕對任何，存在逆元素，使.〔ii〕對任何，定義了數乘，使，且滿足〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕.設是數域上的線性空間，對于中的每個元素，定義一個非負實數，滿足下面三條：〔i〕當且僅當；〔ii〕〔三角不等式〕；〔iii〕.那么稱為上的線性賦范空間，稱為的范數.以上三條稱為范數三公理.按定義，對于，易驗證，滿足距離三公理，于是線性賦范空間屬于距離空間.§1.4所介紹的三個空間是線性賦范空間，即〔1〕維歐氏空間，范數〔2〕上的連續函數空間，范數〔3〕設在上有階連續的導數，那么所有的集合記作，它也是一個線性賦范空間，范數與的定義相同.我們把看作是的特殊情況.特別地，如果在上有任意階導數，那么記為.〔4〕空間，范數.三、Hilbert空間設為數域〔實或復〕上的線性空間，對內任兩點，定義內的一個數，滿足下面四個條件：〔i〕〔ii〕；〔iii〕.其中表示的共軛復數，如為實數域，那么.〔iv〕，當且僅當，那么稱是一個內積空間，稱為的內積，以上四條稱為內積四公理.在內積空間中定義范數，那么它是一個線性賦范空間.完備的、可分的復〔實〕內積空間稱為復〔實〕Hilbert空間，簡稱空間.常見的空間有：〔1〕空間.對，定義.〔2〕空間，即所有滿足的點的集合.對于及定義.四、差分假定有一列數，相鄰兩數值的一級差分定義為，.類似地，二級差分定義為.一般地，級差分定義為.記，.定理有……證當時顯然成立.假定對于自然數成立，那么以代替得推論如果，那么.第二章Weierstrass逼近定理§2.1關于連續模的概念空間上的連續模定義設定義于上，稱〔〕為在上的連續模.連續模有下面性質：性質假設在上連續，那么是的連續非減模，且.證非減性是明顯的，因為如果，那么在上滿足條件的數對的集合顯然包含滿足條件的數對的集合，于是.也是明顯的，因為在閉區間上連續，故它也在上一致連續.為了證明連續性，對于任意固定的及充分小的，按定義，當時，.由對稱性，不妨設，我們有.任給，當充分小時，第一項小于，于是.由此及非減性得.故當時是連續的.當時，由及知在處右連續.性質具有半可知性，即對于，有.〔〕事實上，對于，不妨設.〔i〕假設，那么，〔ii〕假設，令〔〕那么對于，有.性質假設，那么恒為常數.事實上，對于任，由及性質，對于任何自然數，，于是，這只有才能實現.定義如果在上的連續模滿足，其中為某個正常數，那么稱在上滿足階Lipschitz條件，記作或.空間中的連續模定義設，對于，稱量〔〕為在中的連續模.我們同樣可以證明滿足上面的性質~2.1.3〔在性質2.1.1中，條件以現在條件代替〕.定義設，如果存在常數，使，那么稱在中滿足階Lipschitz條件，記作或.二階連續模的概念定義設，稱量，,為函數在上的二階連續模.對于有下面性質：性質是非減的連續函數，且.事實上，非減是顯然的.由在上一致連續，故也是顯然的.下證連續性.設，那么.由知連續.性質對任意自然數，.事實上，我們有由此得性質.性質.事實上，.同樣定義中的二階連續模：.同樣可以證明有與相應的性質.§2.2Weierstrass第一定理在一致逼近的理論中，我們所遇到的第一個問題是：在任意預先給定的精度下，能否用多項式去逼近任意給定的連續函數？1885年，Weierstrass對這個問題給出了肯定的答復.設是次數不超過的代數多項式集合，我們首先有：定理〔Weierstrass第一定理〕設，那么存在多項式使.對于這個著名的定理，至今有多種不同的證明方法.本節我們將給出伯恩斯坦〔〕的證明，其精度雖不是最好的，但非常精彩.定義設的第個伯恩斯坦多項式由下式給出：〔〕顯見.引理以下恒等式成立：，〔〕，〔〕.〔〕證首先注意到，對有，〔〕〔〕就是〔2.2.2〕.其次，對有.〔〕事實上，在恒等式兩邊對求導，然后兩邊再乘以得.〔〕令，得.兩邊同時乘以就得到〔〕，由〔2.2.6〕及〔2.2.2〕得〔2.2.3〕.再次，對有.〔〕事實上，在〔〕兩邊再次對求導并乘以得.令，然后用乘以兩邊就有〔〕.現在，我們將〔〕左邊展開為，將此式與〔〕、〔2.2.6〕和〔2.2.8〕比擬，就有〔2.2.4〕.引理對任意給定的及，有，〔〕其中求和號表示對固定的且滿足不等式的求和.證注意到，由，可推出，因此，利用〔〕，，最后一步由不等式得到.引理的意義在于當很大時，在和式中，起主要作用的只是滿足條件的那些值所對應的項的和，而其余的項對和的值無多大影響.Weierstrass第一定理的伯恩坦證明我們從〔〕知，因此兩邊同是乘以有.對任意，我們有.由于在處連續，對任給，存在，使得當時，，故第一個和式.又由在上連續，所以存在，使得.故由引理，第二個和因此，對任何，先取，使得當時，，然后固定，再取充分大，就有.下面我們給出定理的一個推論.注意到我們在定理的證明中，對第一個和只用到在處連續，對第二個和只用到在上有界.因此，有定理定理〔伯恩斯坦〕設在上有界，那么在任何的連續點成立.如果，那么極限在上一致成立.下面我們給出閉區間上的Weierstrass定理.定理設，那么存在多項式，使得.證令，那么有.因為，所以是定義在上的連續函數，于是由定理知存在多項式，使得對于一切有.也就是.§2.3伯恩斯坦多項式的優缺點上節我們利用伯恩斯坦〔〕多項式來逼近連續函數，這一節我們將討論伯恩斯坦多項式的性質，并討論與之相關的幾個問題.我們先用預備知識中的差分概念給出伯恩斯坦多項式的標準多項式形式.關于差分，我們還將在第六章§6.4中進一步論述.定理，〔〕其中，差分是在上進行計算的.證由伯恩斯坦多項式的定義知.令，將和式重排，并注意到，可以得到.最后一步由第一章§1.7，定理得證.從伯恩斯坦多項式的定義中可以看出.由定理可以進一步看出在一定條件下，它可以是一個次數低于的多項式.特別地，如果，那么當時，，此時對所有的都有.定理〔PopoviciuT.〕假設，而為它的伯恩斯坦多項式，那么.〔〕其中為在上的連續模.證由伯恩斯坦多項式的定義，并注意到恒等式〔〕有.〔〕根據不等式〔〕有，因此.〔〕由H?lder不等式，我們有.由〔〕知，并注意到〔〕我們有，〔〕將〔〕代入〔2.3.4〕便有〔2.3.2〕.推論假設，那么〔〕事實上，由于與是完全等價的，由定理知.推論是KacM.獨立于PopoviciuT.而求得的.KacM.曾證明：它的階不可能再改善了.因此，對任何連續函數用伯恩斯坦多項式來逼近，其逼近的精確性是很不理想的.此種情況可以特別地表示成下面的結果：定理〔瓦隆諾夫斯卡雅〕假設有界函數在點處存在有限的二階導數，那么，〔〕其中.在對該定理證明前，先給出一個引理.引理存在一個與無關的常數，使得對所有的有〔〕證考慮和式.〔〕由〔〕，〔2.2.3〕和〔2.2.4〕知.對〔2.3.9〕進行微分，可得因此有.〔〕由此遞推式，我們有結論：是一個以為變量，為參數的多項式.特別地，對的次數而言，是一次的，是二次的，是二次的，是三次的.因此存在常數，使得對于所有有.由于，所以有，因此.定理證明由有限導數的存在可推出，〔〕其中隨同趨于零.令，有.〔〕在〔〕兩邊同時乘上，然后從到求和，并注意等式〔2.2.2〕，〔2.2.3〕和〔2.2.4〕，我們得到，〔〕將最后一個和式記為.對，存在充分大的，使得時，有.因此.將兩個和式分別記為和，那么.由于是有界的，記，那么由引理得.因此有，當充分大時有.將記為就得到定理.定理說明不管怎樣改善函數的性質，對于伯恩斯坦多項式都有能到達高于的逼近的階〔線性函數除外，此時在時將完全與它相同〕.這個事實使得伯恩斯坦多項式在數值計算中的應用幾乎沒有什么前途.但下面的幾個定理將告訴我們，與其它逼近方式相比，伯恩斯坦多項式是一種光滑的逼近，也就是說如果被逼近函數是可微的，我們不僅有，而且還有，對更高階的微商也同樣成立.因此說伯恩斯坦多項式是一種對函數及其導數的聯合逼近.定理假設定義于上的有界函數在點處有有限導數，那么.證假設，那么我們把表示為.〔〕由有限導數存在，故由Lagrange中值定理，有.其中當.由〔〕和〔2.2.3〕，我們可得.借助于〔〕中的記號，.從已證明的事實，知時定理成立.在或處的情況特別簡單.我們將代入〔〕有同樣，將代入〔〕有.上面的定理帶有局部的性質，下面給出的定理是在整個區間上一致成立的.定理假設在上有連續的導數，那么一致收斂于.證.從而.注意，得.〔〕由于導數在上處處存在，應用Lagrange公式有，其中.這樣，.〔〕顯然第一個和式便是的階伯恩斯坦多項式，因而其在上一致地收斂于.另一方面由于，所以.如果記的連續模為，我們有，因此，〔〕中第二個和式不大于，所以一致地趨于零.更一般地，下面我們考慮高階微商時的性質.引理設是一個整數，且，那么.〔〕證由Leibniz公式.利用〔〕得.〔〕注意到，，因此〔〕可寫為，〔〕令，那么.將和式重排得.〔〕由第一章§1.7可得〔〕.定理設，那么在上一致地成立.證反復利用Lagrange中值定理，我們有，其中因此由引理，.由此可得.〔〕顯然第一個和式便是的階伯恩斯坦多項式，因而其在上一致地收斂于.另一方面由的范圍知，.如果記的連續模為，我們有，因此〔〕中第二個和式當時一致地趨于零，并且顯見，所以由〔〕知定理為真.對于區間上每一個點，也有相似的局部性結論，這里不再贅述.定理設是一個固定的整數，并且.假設，那么，〔〕特別地，如果，那么前的因數應是1.證由〔〕知.反復利用Legrange中值定理，我們有.假設，那么令，等式顯然成立.因此.由于在上，并且注意〔〕，我們有.推論〔1〕假設，，那么，.〔2〕假設在上是非減的，那么在上也是非減的.〔3〕假設在上是凸的，那么在上也是凸的.證在〔〕中取時，〔1〕得證.假設是非減的，那么.〔2.3.22〕中，令，得，〔2〕得證.假設是凸的，那么.由〔2.3.22〕，令，得，〔3〕得證.由定理和推論2.3.2可知，一個連續函數的伯恩斯坦多項式逼近與被逼近函數的極值和高階導數有關，并且單調的和凸的函數分別產生單調的與凸的逼近.總之，伯恩斯坦多項式模擬被逼近函數的特性到達十分驚人的程度.§2.4Weierstrass第一定理的第二種證明這一節，我們將引入切貝紹夫〔〕多項式，但對其性質不做深入探討，僅引入一個多項式核，用于證明Weierstrass第一定理.關于切貝紹夫多項式，我們將在第五章做進一步討論.引理恒等式〔〕為真，其中為某些常數.證用歸納法.當時顯然.假設當時成立.在〔〕中以代替得，其中是某些常數.因為，所以，其中是某些常數.推論當時，恒等式〔〕成立.定義稱多項式〔〕為次切貝紹夫多項式，或簡稱切貝紹夫多項式.推論保證了我們的定義是合理的.設是次切貝紹夫多項式，對任意，在上令，〔〕其中.〔〕如上定義的在定理證明中將起到多項式核的作用.它具有以下性質：性質是次多項式，且是偶函數.事實上，由于，即的常數項為零，故是一個次多項式，所以是次多項式.又，即是奇函數，故是偶函數.性質由定義顯然有下面的恒等式.〔〕性質對于任何，及都有.〔〕證首先，因為當時，有.當時，是遞減函數.故，所以.因此.Weierstrass第一定理的第二種證明由§2.2可知，我們只須證明的情況即可.首先將連續開拓到上.例如，我們令顯然，在上一致連續.對任意，當時，以為核構造函數.〔〕由于是次多項式，故.所以，其中是常數，故而是一個次的多項式.令，〔〕就變為.〔〕由〔〕，可得.將上式中最后所得三個積分依次記為.由于在上一致連續，故對任意，存在.當時必有，〔〕所以.設，那么.。所以.因此，對任意，先取定，使〔〕成立，然后固定，再取充分大就有.§2.5Weierstrass第一定理的第三種證明本節所給的證明屬于Lebesgue.設在上連續，于是它在上一致連續，取點，把等分為個區間，相鄰兩區間僅端點公有.由于在上一致連續，故對于任意，存在，使得當，時，.取充分大，使得.考慮連結點的折線，那么〔〕問題歸結為用多項式在一致逼近.因此我們先對的性質作進一步的研究.首先，我們證明，可以表示為一些更為簡單的函數之和.事實上設，我們把它看作是對的第一步“近似”，兩者在處相等.現令，其中那么顯見在上等于.我們稱是對的第二步“近似”.如令〔〕那么.現在，再設，其中那么顯見在上等于.因此，我們把看作是的第三步“近似”.利用〔〕中的函數，函數可以表示為，其中.從而有.如此繼續進行次，我們得到，〔〕其中為與有關的常數.因此，Weierstrass第一定理的證明又歸結為尋找的逼近多項式.引理函數在上可以展為一致收斂的多項式級數.證當時，由Taylor級數理論得.〔〕當時，由.于是級數〔〕在上一致收斂.由，于是.此級數當時一致收斂.引理函數在上可以展為一致收斂的多項式級數.事實上，因為，故由引理推出結果.Weierstrass第一定理的證明由〔〕，〔2.5.3〕及引理2.5.2得到.§2.6Weierstrass第二定理Weierstrass第一定理說明了可以用多項式來逼近上的連續函數.本節討論的Weierstrass第二定理將給出關于三角多項式和周期連續函數的一個相應的結論.我們用表示上以為周期的連續函數集合.定理〔Weierstrass第二定理〕設對任意，存在三角多項式，使得對于一切實數，都有.這里，我們引用Vallée-Poussin于1908年給出的較為簡單的證明.引理假設，那么對于任何，等式都成立.事實上，.由，有，故，由此可得引理.引理對任何有下面的恒等式.〔〕證記〔〕中左邊的積分為，按分部積分法可得.故有遞推式，注意到，便有引理定義設，稱積分〔〕為Vallée-Poussin積分.定理〔Vallée-Poussin〕對于一切實數，一致地有.證在Vallée-Poussin積分〔〕中，令.由引理2.6.1有令，得.〔〕由于，所以在上一致連續，因此存在，有，且對任意，存在，當時有.又由〔〕，所以，上式中第一個積分.上式中第二個積分中，，所以第二個積分.顯然，當時有，故對固定小的，當充分大時就有，因此.要想由此推得Weierstrass第二定理，只須證明是一個三角多項式即可.所以我們需要以下引理.定義假設，那么稱三角多項式的階為.引理兩個三角多項式的乘積仍為一個三角多項式，且其階等于兩因子階之和.證將三角多項式，相乘，所得各項形式如下：〔〕應用公式，，〔〕.可斷定〔〕中的項人是三角多項式，所以它們之和也是三角多項式.現在我們要計算三角多項式的階.由〔2.6.5〕可知，其中為階數較低的項.由于都是實數，及.所以.引理假設三角項式為一偶函數，即，那么它可以表示成的形式，即式中不含倍角的正弦.事實上，由于，，所以.現在，我們用上面兩個引理來證明是一個三角多項式.事實上是一階多項式，易知是階多項式，且為一偶函數，于是由引理，從而，于是有，其中，,.至此，我們知是一個三角多項式，所以Weierstrass第二定理為真.§2.7Weierstrass第二定理的第二種證明本節所給證明屬于Fejér，其方法還將在第三章進一步發揮，其根本思想與§2.4相似，即引出一個多項式核.特別提醒讀者應關注核的概念，因為它在逼近理論中非常重要.設，考慮Fourier級數：，〔〕其中〔〕我們首先將面對下面兩個問題：〔1〕對于任何一個，級數〔〕是否在上一致收斂？〔2〕如果級數〔〕在處收斂，那么它是否一定收斂到？第一個問題是否認的，第二個問題是肯定的.下面先舉例否認第一個問題引理對于任意的值及任意的自然數，三角多項式，〔〕〔〕都是一致有界的，即存在兩個不依賴于及的常數與，使,〔〕.〔〕證我們只須求出的最大值.顯見.〔〕設，令得由此看出在點處有極大值，并在點處有極小值.下面估計及.我們來證明極大值隨增大而減小.事實上，.在最后的積分中，，而括號中的函數取正值，于是〔〕同樣可以證明，對于極小值，有.顯見最小的極小值是.當時.令，由，知，因此有.當時.當時.因為，于是.因此，由〔〕式.當時，由定積分的定義，右邊的和有極限.因此，當時，存在與，無關的，使〔〕成立.由于.于是〔〕對所有的及成立.現轉向〔〕的證明.因為，故.于是由〔〕推出〔2.7.6〕.引理設，〔〕那么對及一致有界，即存在與無關的常數，使.〔〕事實上，利用〔〕得.因為本身是一個次三角多項式，于的Fourier展式就是它本身.如果用來表示的Fourier級數的前項局部和，那么由此看出〔〕現考慮函數，〔〕由引理，級數在內一致收斂，且由連續知連續.顯見，于是，且是偶函數.我們以及表示及的Fourier系數，那么由級數的一致收斂性得，于是級數〔〕的前項局部和為.由〔〕，對任意的有，特別地，取，那么當充分大時，有，〔〕式中我們利用了熟知的級數，其中為Euler常數.由〔〕知級數〔2.7.12〕在處是發散的.我們否認地答復了本節開頭所提出的第一個問題.然而，如果對進行平均，那么有定理〔Fejér〕設是的Fourier級數的前項局部和.設，那么在實軸上一致地收斂于.稱為Fejér和.證首先我們對給出一個積分表示式：.〔〕設，〔〕稱為Dirichlet核，而〔〕最右邊稱為Dirichlet奇異積分.我們由〔2.7.14〕及的定義得，容易驗證，于是再注意到以為周期，得〔〕通常稱為Fejér核，稱〔〕為Fejér積分.我們由〔〕得.〔〕如果，那么由的定義知，于是，〔〕因此.〔〕因為，于是任給，存在〔不妨設〕，使得當時，有.設，由〔〕得定理已經給出了Weierstrass第二定理的證明.下面給的明顯表達式.因為，故，由此得.〔〕最后，我們來闡述本節開頭所提到的第二個問題.如果，對，有，那么.因此，如果的Fourier級數在處收斂，它必收斂到.§2.8Weierstrass兩定理之間的關系我們知道，Weierstrass第一定理和第二定理分別闡述的是和上的函數可以被多項式和三角多項式逼近.數學分析告訴我們，多項式和三角多項式之間有著密切的關系，因而我們推測Weierstrass兩個定理之間是否存在著某種聯系？答復是肯定的，并可以表述成下面兩個定理.定理Weie