第五章一元函數的導數及其應用

一元函數的導數及其應用一、知識點回顧函數的導數函數y＝f(x)在x＝x0處的導數定義：稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率函數f(x)的導函數導數的幾何意義函數f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[注意]1函數y＝fx的導數f′x反映了函數fx的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′x|反映了變化的快慢，|f′x|越大，曲線在這點處的切線越“陡”；2曲線y＝fx在點Px0，y0處的切線是指以P為切點，斜率為k0＝f′x0的切線，是唯一的一條切線．導數的運算基本初等函數的導數公式基本初等函數導數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)導數的運算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；復合函數的導數復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．[常用結論]1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．2．熟記以下結論(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．利用研究函數的單調性利用導數研究函數的單調性利用導數判斷函數單調性的一般步驟(1)求f′(x)．(2)在定義域內解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)根據結果確定f(x)的單調性及單調區間．已知函數在區間上遞增（遞減）求參數利用導數研究函數的極值、最值函數的極值函數的極小值函數的極大值極值點極小值點，極大值點統稱為極值點．極值極大值和極小值統稱為極值．求函數極值的步驟①先確定函數的定義域；函數的最值恒成立和有解問題二、題型匯總考點01瞬時速度、平均速度考點02平均變化率、瞬時變化率考點03利用導數的定義解題考點04：導數的計算考點05：求曲線的切線方程考點06：求切點坐標考點07：求復合函數的導數考點08：導數的幾何意義考點09：其它綜合問題考點10不含參數的函數的單調性考點11：已知函數在區間上遞增（遞減）求參數考點12：利用函數的單調性研究函數圖象考點13：利用函數的單調性解不等式考點14：利用函數的單調性比較大小考點15：函數圖像與極值（點）的聯系考點16：不含參數的函數求極值（點）考點17：含參數的函數求極值（點）考點18：已知函數的極值（點）求參數考點19：求不含參數的函數最值考點20：求含參數的函數最值考點21：已知函數的最值求參數考點22：與函數最值有關的恒成立（有解）問題考點23：函數極值、最值的綜合應用三、題型通關考點01瞬時速度、平均速度例11.某物體做直線運動，若它所經過的位移s與時間t的函數關系為st=12tA．2 B．32 C．3 D．例12.質點M按規律s＝2t2＋3t做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在t＝2s時的瞬時速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s考點02平均變化率、瞬時變化率例2.函數fx=x2在A．?2 B．2 C．4 D．?4考點03利用導數的定義解題例31.已知函數fx在R上可導，若f′2=3，則A．9 B．12 C．6 D．3例32.已知函數fx=ax2?2x，若limA．1 B．2 C．?1 D．?2變式31.已知函數fx可導，且滿足lim△x→0f3?Δx?fA．?1 B．?2 C．1 D．2變式32.若函數fx的滿足limΔx→0f(2+ΔA．2 B．1 C．0 D．?1考點04：導數的計算考點05：求曲線的切線方程例53.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+考點06：求切點坐標A．1 B． C． D．A．1 B． C．e D．A．1 B．2 C．3 D．考點07：求復合函數的導數例71．指出下列函數的復合關系．例72．求下列函數的導數：考點08：導數的幾何意義考點09：其它綜合問題考點10不含參數的函數的單調性考點11：已知函數在區間上遞增（遞減）求參數A． B． C． D．2A．1 B． C． D．考點12：利用函數的單調性研究函數圖象A．B．C．D．A．

B．

C．

D．

考點13：利用函數的單調性解不等式考點14：利用函數的單調性比較大小考點15：函數圖像與極值（點）的聯系例154．（多選）觀察圖象，下列結論錯誤的有（

）考點16：不含參數的函數求極值（點）A．4 B．8 C．10 D．12考點17：含參數的函數求極值（點）考點18：已知函數的極值（點）求參數A．1 B．2 C．3 D．4A．2 B．1 C．0 D．A．2或 B．或 C． D．考點19：求不含參數的函數最值考點20：求含參數的函數最值例201．用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓