基于梳理知識結構的“數列”單元復習小結3教學設計-高二下學期數學人教B版選擇性

基于梳理知識結構的“數列”單元復習小結教師姓名：工作單位：一、教學內容解析1．本單元教學內容及解析教學內容本單元內容出自人教B版《普通高中教科書·數學選擇性必修第三冊》第五章“數列”，其內容包括：（1）等差數列的判斷和證明，基本量的求解，判斷單調性，求通項公式及前n項和．（2）等比數列的判斷和證明，基本量的求解，判斷單調性，求通項公式及前n項和．（3）等差數列與一次函數和等比數列與指數函數之間的區別和聯系．（4）以遞推關系為載體求解數列的通項公式，重視累加法、累乘法、構造法求通項公式的通性通法．（5）根據數列的性質選擇恰當的方法求數列前n項和，重視倒序相加，錯位相減、裂項相消等求和方法的滲透．（6）數列的實際應用（分期還款，政府支出的“乘數”效應）以及數學歸納法．內容解析（1）計算等差、等比數列兩類模型的基本量是數列運算的基礎，幫助學生提高學生邏輯思維和運算求解能力．（2）圍繞遞推關系求數列通項公式，對學生轉化與化歸的能力要求很高，需要教師培養學生利用通性通法去分析問題和解決問題的能力，發展學生數學抽象、邏輯推理的數學素質．（3）關注數列的函數本質，以此為切入點搭建數列與高中數學其它知識之間的橋梁，理解數列與其它數學知識之間的內在邏輯聯系，加強函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等思想的滲透．（4）本單元復習過程中重視對學生思維品質和思維過程的培養，在求解與數列有關情景問題時，引導學生根據情境抽象出數列的表示形式，通過運算進行求解，幫助學生在實踐中不斷提高創新能力和數學建模能力．單元課時分配等差數列及其前n項和3課時等比數列及其前n項和3課時利用遞推關系求通項公式1課時數列求和1課時數列與函數的區別和聯系2課時數列的情境問題1課時數學歸納法1課時數列與其它模塊知識交匯問題1課時本單元教學重點：（1）數列的遞推關系、通項公式、前n項和；（2）建立數列與函數之間的聯系，明確它們的區別．本單復習基本流程圖：學習階段知識明線方法暗線素養眼線整體感知數列的基本知識特殊與一般轉化與化歸函數與方程分類討論數形結合數學抽象邏輯推理數學運算數學建模探究建構函數觀點看數列應用遷移數列的情景問題重構拓展其它模塊知識交匯問題2．本節課內容及解析本節課之前，本單元的教學內容已經完成了9課時，但由于數列迭代特點和函數屬性的重要性，所以設置本節課對這兩部分內容進行深入研究，教學內容設置如下：教學內容（1）通過數列遞推關系求數列通項公式；（2）用函數觀點研究數列．內容解析（1）數列是反應運算規律的重要模型，其中遞推關系、通項公式（相應于函數解析式）是數列的表示方法，通過研究數列的性質，選擇合適的方法，求數列的前n項和．通項公式和求和公式是重點，更強調通過代數運算解決問題．（2）數列也是一類特殊的函數，即定義在正整數集或其子集的離散型函數．建立等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的聯系，其實是同一種關系在離散和連續下的兩種狀態．引導學生用函數的觀點看數列，體會數學的整體性．（3）本節在梳理知識結構的同時，使學生經歷知識的再發現、再創造以及知識體系的再建構過程，幫助學生自主形成知識圖譜．數列的學習能有效提升學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等素養．本節課教學重點：（1）將不熟悉的遞推關系通過代數運算化歸成熟悉的遞推數列；（2）利用函數觀點研究數列；（3）引導學生自主構建知識圖譜．教學目標設置在《普通高中數學課程標準（2020年修訂版）》的指導下，教學目標設置為：1．單元目標以及達成目標的標識目標（1）通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數．（2）通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義．探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系．能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．體會等差數列與一元一次函數的關系．（3）通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義．探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．體會等比數列與指數函數的關系．（4）了解數學歸納法的原理及其過程。目標達成的標識（1）能從具體實例中歸納、概括出數列的表示方法（表格、圖象、遞推關系和通項公式）．（2）能根據數列的通項公式，寫出任意項．能理解遞推公式中體現的是項與項之間的迭代關系,并能根據遞推公式選擇恰當的方法求出數列通項公式．（3）能理解數列的前n項和公式的定義,并會根據數列的前n項和公式求出數列的通項公式，會根據數列的性質選擇恰當的方法求數列前n項和．（4）會類比函數的“定義—表示方法—性質“的研究路徑來研究數列，會用函數思想解決數列問題．

（5）會從具體的情景中抽象出數列模型，進而應用數學知識解決實際問題．2．本課時教學目標以及達成目標的標識目標（1）通過對簡單數列的分析，學生能明確數列遞推關系的重要性，會將不熟悉的迭代關系通過代數變形化歸成數列相鄰兩項的關系或與數列相關數列相鄰兩項的關系．探索知識之間的縱向聯系，體會特殊與一般、轉化與化歸的思想，同時還發展了數學抽象、數學運算、邏輯推理素養．（2）通過自主探究、合作探究進一步了解數列與函數之間的聯系和區別，讓學生會用函數的觀點看數列，發現和理解數列的性質，認識數列的應用價值，體會函數與方程的數學思想，提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力．（3）在解題活動中，進一步理解數列知識的內在聯系，感受數列的迭代特點和函數屬性．引導學生自主構建知識圖譜，提高學生歸納總結的能力．目標達成的標識（1）學生通過對探究1的分析研究，得到將不熟悉的遞推關系轉化成熟悉的遞推關系的一般思想和方法，并利用這個方法去解決新的問題．（2）學生通過對全國甲卷理科高考題第17題（2）問的梳理，明確等差數列通項與一次函數，等差數列前n項和與二次函數之間的區別和聯系，通過對探究2的合作研究，明確指數函數的底數和等比數列的公比之間的區別．（3）通過本節課的梳理使學生能對本章的知識有更新的認識，完善已有的知識體系，自主建構適合自己的知識圖譜．三、學生學情分析1．學生已具備的認知基礎本節課的授課對象是沈陽鐵路實驗中學高三、三班的學生，通過幾節課的復習，他們已經基本掌握了數列的定義、通項公式的求法，已經掌握等差數列和等比數列的判斷、證明和基本量的求解．以及求數列前n項和的方法，也了解數列是特殊函數，具備了一定的分析問題和解決問題的能力．2．達成教學目標所需具備的認知基礎（1）將不熟悉的迭代關系通過代數變形化歸成了數列相鄰兩項的關系或與數列相關數列相鄰兩項的關系．（2）會用函數的觀點看數列，在利用函數解決數列問題的過程中，發現函數與數列之間的區別．（3）對已掌握的知識進行再發現、再創造以及知識體系的再構建能力．3．可能出現的障礙學生整章知識的掌握缺乏系統性認識，不能靈活應用代數變形將復雜的遞推關系進行轉化，進而求出數列的通項公式．將函數類比成函數進行研究時，易忽略解析中相關參數的差異性以及數列圖象的離散性．教學難點及突破策略教學難點：使學生經歷知識的再發現、再創造以及知識體系的再建構的過程，形成知識圖譜．突破策略：通過展示交流，讓學生會從題目中提煉出對應的數學知識及思想方法，教師通過問題串引領，培養學生發現問題和提出問題的能力，加強數學思想的滲透．學生在自主探究和小組合作中，理解知識的內在關聯，達到溫故知新的目的．四、教學策略分析本節課是一節單元復習課，貫徹“學生為主體，教師為主導”的教學理念．1．教法分析結合本課時的內容特點和學情分析，通過一系列有層次的問題串生成探究活動，注重啟發式、互動式教學．本課時以提升學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養為目標．圍繞著數列的函數屬性和迭代特點，研究數列的性質，獲得數列的一般路徑．在課堂活動中使得學生獲得“四基”，提高“四能”，發展數學核心素養，讓學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界．2．學法分析在學法上，注重學生的學習過程體驗，勿忘學生是主體，把復習構建知識體系的主動權交給學生，發揮學生在學習中的主體作用，使學生由被動變為主動，由配角變為主角，真正做課堂的主人．學生在展示交流的過程中，對基本知識、基本技能和基本方法有更深刻的理解，促進他們知識的靈活應用．學生通過主動思考、自主探究、合作探究進而突破重、難點．五、教學過程設計環節一：挖掘本質互動探究教師：數列是一類特殊的函數，是反映運算規律的重要模型，在現實生活中有著廣泛應用，這節課我們來復習數列這一單元的主要內容和思想方法．首先請同學回顧一下我們是按照什么樣的路徑對等差數列和等比數列開展研究的？教師：數列的大部分問題都是圍繞著遞推關系、通項和求和這三個要素展開的，在課前老師給大家布置了一項作業，完成2022年全國高考甲卷第17題，在批改的過程中，老師發現同學們的思考角度各不相同，接下來找同學跟大家分享他的解題思路．學生活動：學生展示問題（1）解題思路，闡述問題涉及的基礎知識和基本方法．思路一：思路二：【設計意圖】教師引導學生自評、互評，建立信心，共同發展．允許學生從不同的角度和層面進行思考，培養學生的創新思維和批判性思維．教師：同學們提供的兩種解題方法各有千秋，但兩種方法也有著異曲同工之妙，那就是將不熟悉的迭代關系通過代數變形化歸成了數列相鄰兩項差的關系或與數列相關數列相鄰兩項差的關系．所以通過合理的代數變形將迭代關系化歸成特殊數列，就值得我們進一步探究．【預期效果】【追問1預期效果】【追問1預期課堂呈現效果】【追問2預期效果】數列；【設計意圖】探究及兩個追問的設計，旨在強調數列遞推關系的重要性，強化特殊與一般、轉化與化歸的數學思想．環節二：類比遷移拓展思維教師：函數既有迭代特點，還具有函數屬性，找同學繼續分享作業第（2）問的解題思路．學生活動：學生展示問題（2）解題思路，闡述問題涉及的基礎知識和基本方法．思路一：思路二：【設計意圖】通過學生不同解題方法的展示，使同學們感受數列與函數的共性和差異．教師：從定義上看，數列是特殊的函數，從表示方法上看，通項相應于函數的解析式，圖象是數列的又一種表示方法，數列與其類比之后的函數在圖象上既有區別又有聯系，我們可以用函數的觀點研究數列．剛才解題過程中，第一位同學將等差數列前n項和類比成了二次函數，通過二次函數的對稱性找到了最小值，另一位同學將等差數列通項類比成了一次函數，利用一次函數的零點，找到了數列的正負分界項，從而找到了最小值．數列不僅可以類比成一次函數和二次函數，還可以類比成其它函數，接下來給同學們一些時間，請大家認真思考探究2．探究2．設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列，若QUOTEan為等比數列，QUOTEbn為等差數列，請問這兩個數列中最多有多少個公共元素？追問1：將QUOTEbn改為等比數列，這兩個數列最多有多少個公共元素？追問2：將改QUOTEan為遞增數列，將QUOTEbn改為遞減數列，這兩個數列最多有多少個公共元素？學生活動：思考，自主探究，小組合作，分享交流．【課堂呈現】第一小組呈現內容第二小組呈現內容第三小組呈現內容【設計意圖】以學生展示的解題思路為生長點，在學生最近發展區提出問題，進一步感受數列與函數的共性和差異，一是函數圖象的交點并不一定是數列圖象的交點，二是指數型函數的底數與等比數列的公比取值范圍不一樣．體會數學的整體性，提升轉化與化歸、函數與方程和數形結合的數學思想．在自主的探索過程中，發展學生的數學抽象和邏輯推理素養．環節三：反思感悟構建圖譜學生活動：學生自主構建知識圖譜，展示、補充、完善．【課堂呈現】生1補充：（1）將等差數列中的公差類比成一次函數的斜率進行研究；（2）等差數列的【設計意圖】學生經歷再研究、再探索，感悟本章知識的內在聯系，建構完整的認知結構，提高學生總結歸納的能力．環節四：歸納提升建構體系1、研究數列的一般途徑：提煉—概念—表示—性質—求和—應用．2、本節課的目標【設計意圖】幫助學生形成研究數列的一般途徑，理清知識結構，體會數學思想，提高關鍵能力，發展核心素養，達成育人目標．環節五：布置作業應用遷移作業1：通過本節課的學習繪制適合自己的思維導圖；作業2：導學案課后分層作業（其中A組、B組為必做題；C組為選做題）A組A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件（2020·全國Ⅱ卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊B組（2021·全國甲卷）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．第項最大．C組【設計意圖】1．學生經歷了知識的再發現、再創造以及知識體系的再建構過程，重新構建思維導圖，幫助學生完善知識體系，內化知識結構．2．分層作業的設計滿足學生的個性化需求，提高作業的有效性，落實因材施教原則．使不同層次的學生都能體會成功的喜悅，既鞏固所學知識，又給學有余力的同學有發展空間，使得不同層次的學生都能夠得到提高．3．作業設計將數列與函數和不等式等知識相結合，培養學生的邏輯思維和運算求解能力．設計同樣注重了數列與現實情境相結合，發展學生數學抽象和數學建模等學科素養．六、課堂教學評價1．教師為主導，精心設計教學環節本節課從