夯實基礎(chǔ)：二次根式的概念（解析版）

二次根式的概念夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列式子中二次根式的個數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)大于等于0，且根指數(shù)必須是2；根據(jù)上述信息，對題中的各個式子進行判斷即可．【詳解】解：①中＞0，故是二次根式；②中3＞0，故是二次根式；③中＞0，故是二次根式；④是立方根，故不是二次根式；⑤中＞0，故是二次根式；⑥中x>1，則1-x<0，故不是二次根式；⑦中7＞0，故是二次根式；根據(jù)二次根式的定義可知，①②③⑤⑦是二次根式，共5個，故選：D．【點睛】本題主要考查的是二次根式的判斷，掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．2．若式子有意義，則的取值范圍是（）A． B． C．或 D．且【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵式子有意義，∴，解得且，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．3．使二次根式有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件得出，求出不等式的解集即可．【詳解】解：由題意得：，解得，故選B．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式中被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)．4．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)二次根式與分式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴解得：且故選D【點睛】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，解一元一次不等式組，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．5．的值在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】D【分析】首先確定的范圍，根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：，．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較和二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，知道：，，．6．若二次根式有意義，且是一個完全平方式，則滿足條件的值為（）A． B． C．12 D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義，可得的取值范圍，根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：二次根式有意義，∴，即，又∵是一個完全平方式，即或，∴或，∴或，且，故選：.【點睛】本題主要考查二次根式有意義，完全平方公式的綜合應(yīng)用，掌握二次根式有意義的條件，完全平方公式的中一次項系數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵.7．若二次根式有意義，且關(guān)于分式方程﹣3＝有正整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（）A．5 B．3 C．﹣2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)二次根有意義，可得m≤4，解出關(guān)于x的分式方程，根據(jù)解為正整數(shù)，進而確定m的值，注意增根時m的值除外，然后求和即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴m≤4，去分母得，，解得，x=，∵關(guān)于x的分式方有正整數(shù)解，∴m=-2，1，4，又∵x=1是增根，即當(dāng)x=1時，，解得：，∴，∴m可以為1，4，∴其和為，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查二次根式的意義、分式方程的解法，以及分式方程產(chǎn)生增根的條件等知識，理解正整數(shù)解，整數(shù)m的意義是正確解答的關(guān)鍵．二、填空題：8．當(dāng)______時，式子有意義．【答案】##【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得，進行計算即可得．【詳解】解：由題意得，，即當(dāng)時，式子有意義，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件，正確計算．9．若二次根式有意義，則x的取值范圍是______________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行解答即可．【詳解】解：∵有意義，∴，，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式分母不等于0．10．若式子有意義，則的取值范圍是______．【答案】且##x≠1且x≤2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和零指數(shù)冪有意義的條件，列出不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)有意義，可得：，解得：，根據(jù)有意義，可得：，解得：，綜上可得：的取值范圍是且．故答案為：且【點睛】本題考查了二次根式有意義和零指數(shù)冪有意義，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其有意義的條件．二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零．零指數(shù)冪有意義的條件：底數(shù)不為零．11．等式成立的條件是___________．【答案】##【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵等式成立，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零，分式有意義的條件是分母不為零是解題的關(guān)鍵．12．若，則______．【答案】2024【分析】利用二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，則，∴．故答案為：2024．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件、代數(shù)式求值，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于零．13．已知，則__________．【答案】4【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可求解．【詳解】根據(jù)題意得，，解得，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵．三、解答題：14．求下列二次根式中字母a的取值范圍．(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)a可取任何實數(shù)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（3）根據(jù)二次根式有意義的條件和平方的非負(fù)性求解即可；（4）根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件求解即可．【詳解】（1）∵有意義，∴，解得：；（2）∵有意義，∴，解得：；（3）∵有意義，∴．∵，∴，必成立，∴a可取任何實數(shù)；（4）∵有意義，∴，且解得：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．掌握被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．15．先化簡，再求值：，其中實數(shù)x、y滿足．【答案】，-1．【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，再由二次根式有意義的條件，確定x與y的值，代入式子運算即可．【詳解】解：=，∵實數(shù)x、y滿足．∴x-2≥0，4-2x≥0，解得：x≥2，x≤2，∴x=2，∴y=-1，∴原式==-1．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，二次根式有意義的條件，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．16．已知a，b為等腰三角形的兩邊之長，它們滿足等式，求此等腰三角形的周長．【答案】該三角形的周長是13或14．【分析】根據(jù)根式有意義的條件求出a，b的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)a為腰，b為底時，三邊為：4、4、5，，滿足三角形的條件，∴三角形的周長為；當(dāng)a為底，b為腰時，三邊為：4、5、5，，滿足三角形的條件，∴三角形的周長為．∴該三角形的周長是13或14．【點睛】本題考查了等腰三角形、三角形三邊關(guān)系、根式有意義的條件等知識，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關(guān)鍵．17．已知實數(shù)，，滿足，求的值．【答案