中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰三角形存在性問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(含答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰三角形存在性問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(含答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．綜合與探究在菱形中，過(guò)點(diǎn)A作射線交于點(diǎn)E，作，交射線于點(diǎn)G，在射線上截取，連接．特例探究：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；操作探究：（2）如圖2，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求的度數(shù)；拓展探究：（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系．2．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，在等腰中，，，平分交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為________．【類比探究】（2）如圖2，是的角平分線，，，點(diǎn)在上，．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．【拓展延伸】（3）如圖3，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，連結(jié)，，，恰好滿足，平分交于點(diǎn)，線段，，之間有什么關(guān)系？請(qǐng)作出猜測(cè)并進(jìn)行證明．3．綜合與實(shí)踐如圖1，在中，，，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．【觀察猜想】（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知______，______度；【探究證明】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段，，的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】如圖3，在中，，，平面內(nèi)任一點(diǎn)，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，請(qǐng)直接寫出的最大值和最小值．4．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，為邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)．【初步感知】（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)．【深入探究】（2）如圖2，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求證：．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，若，求與之間的關(guān)系．5．若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且滿足兩個(gè)頂角和是，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為“唯美點(diǎn)”．【概念理解】（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上（點(diǎn)在直線上方），且．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，則___________．【性質(zhì)探究】（2）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且平分，交于點(diǎn)，連接，．求證：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”．【拓展應(yīng)用】（3）如圖，在矩形中，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，直線交直線于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．6．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形與四邊形的相互轉(zhuǎn)化”為主題展開數(shù)學(xué)活動(dòng)．智慧小組發(fā)現(xiàn)，特殊三角形和特殊四邊形之間可以相互轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題．如矩形可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，菱形可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等腰三角形等；而特殊三角形也可以轉(zhuǎn)化為特殊四邊形．他們通過(guò)探究，提出“以等腰三角形為背景可以構(gòu)造出平行四邊形”，具體操作如下：如圖1，在等腰三角形中，，D為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，且，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，連接．

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）①與的數(shù)量關(guān)系為_______________；②四邊形的形狀為_______________；深入探究：（2）在（1）的條件下判斷與的位置關(guān)系，并證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖2，若射線恰好過(guò)的中點(diǎn)O，且，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．7．【綜合與實(shí)踐】問(wèn)題情境：活動(dòng)課上，小強(qiáng)同學(xué)以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動(dòng)．如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)D、E分別是點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)線段交于點(diǎn)P，線段分別交、于點(diǎn)F、Q，如圖2．特例分析：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為___________；探究規(guī)律：在繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請(qǐng)你幫小強(qiáng)同學(xué)證明這一結(jié)論．拓展延伸：（1）在繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直接寫出當(dāng)是等腰三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（2）在圖3中，作射線、交于點(diǎn)M，四邊形的面積記為，的面積記為，是否存在四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，及此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，，平分，點(diǎn)在上，，于點(diǎn)．【思考嘗試】（1）如圖1，小明同學(xué)連接，提出問(wèn)題：若，，求的長(zhǎng)度；【實(shí)踐探究】（2）小麗同學(xué)受此問(wèn)題的啟發(fā)，思考并提出新的問(wèn)題：如圖，作，此時(shí)，求證：；【拓展遷移】（3）小聰深入研究小麗提出的問(wèn)題，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在（2）的條件下，在上取一點(diǎn)，使得，作，連接、，求證：．9．【問(wèn)題情境】它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．這種模型稱為“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作是小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手．【模型探究】（1）如圖1，若和均為等邊三角形，，，，，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接，則__________；線段__________；則的度數(shù)為__________；【探究證明】（2）如圖2，已知，分別以為直角邊向兩側(cè)作等腰直角和等腰直角，其中，，，連接，線段和交于點(diǎn)O．請(qǐng)判斷線段和的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【模型應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，將線段繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則的面積為____________________．【拓展提高】（4）如圖4，在中，，，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．10．如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，連接，點(diǎn)M，N，P分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想圖1中，線段，的數(shù)量關(guān)系是，的大小為；(2)探究證明把繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)求出面積的最大值．11．綜合與探究：在中，，為的中點(diǎn)，的兩邊分別交直線，于點(diǎn)，，且．【問(wèn)題探究】如圖1，若，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系是．(2)求證：；【拓展延伸】(3)若，，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．12．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“長(zhǎng)方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖，長(zhǎng)方形中，是射線上一點(diǎn)，將沿折疊后得到．【初步探究】如圖1，在線段上，過(guò)點(diǎn)作的平行線交，的兩邊于，，若，，求的長(zhǎng)；【深入探究】如圖，在線段的中點(diǎn)上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，試說(shuō)明與滿足的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】若，，連接，，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．13．如圖所示，在中，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接（點(diǎn)A、在的兩側(cè)）．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，若時(shí)，、的數(shù)量關(guān)系為_____，直線、的夾角等于；【類比探究】（2）如圖所示，若，求線段、的數(shù)量關(guān)系，及直線、的夾角；【拓展延伸】（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．14．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別在、上，．(1)①如圖1，若、都是直角，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系______；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊邊上，且，若，求的長(zhǎng)．參考答案1．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，證明，推出，再根據(jù)時(shí)，菱形是正方形，可得，推出，易求，進(jìn)而求出；即可得出結(jié)果；（2）同理（1）得，由是等邊三角形，可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得；（3）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，同理（1）得，則，同理（2）得，求出，易得，利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴菱形是正方形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）同理（1）得，∵是等邊三角形，∴，∵菱形，∴；（3），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，同理（1）得，∴是等腰三角形，∴，同理（2）得，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）；（3），證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明三角形全等是關(guān)鍵．（1）證明，得到，再證明是等腰直角三角形，由勾股定理求得的長(zhǎng)度，再求出，即可求解；（2）證明，則易得，從而求證；（3）在上找一點(diǎn)，使得．證明，則易得是等邊三角形．即可證明猜測(cè)成立．【詳解】解：平分，．，，∵，，∴，是等腰直角三角形，，，∵，∴是等腰直角三角形，，，；（2）證明：是的角平分線，．，．．，，，．（3）解：，證明如下：在上找一點(diǎn)，使得．是等邊三角形，，．，．．平分，．，是等邊三角形．，．3．（1），；（2），見(jiàn)解析；（3）最大值是，最小值是【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)題意，運(yùn)用邊角邊證明即可求解；（3）根據(jù)題意得到，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，證明，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，是最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，是最小值，由此即可求解．【詳解】解：（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，故答案為：，；（2），理由如下，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）∵，∴，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，∴，，∴是等腰直角三角形，，，∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，即，又，∴，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，是最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，是最小值，∴最大值是，最小值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判和性質(zhì)，線段最值的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．4．（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）求得，再計(jì)算出的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可解答；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，證明，得到，，再證明即可解答；（3）根據(jù)（2）得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得到，，再利用勾股定理即可解答．【詳解】解：（1）在等邊中，，，，，，，，在中，；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，，在和中，，，，，，是等邊三角形，，（3）解：為等邊三角形且，，在中，，即，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，為等邊三角形，，，，，，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，在中，，．5．（1）或（2）見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）分兩種情況討論：情況一：點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)；情況二：點(diǎn)與點(diǎn)在異側(cè)；計(jì)算即可解答；（2）證明得，，再結(jié)合均為等腰三角形，其中，即可得證；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖所示，連接；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖所示，連接；綜上即可解答．【詳解】．解：（1）情況一：點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，點(diǎn)、關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，且，，又點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，，則；情況二：點(diǎn)與點(diǎn)在異側(cè)，點(diǎn)、關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，且，，又點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，，由于、在異側(cè)，；綜上所述，或，故答案為：或；（2）證明：平分，，在和中，，，，，又均為等腰三角形，其中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖所示，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，，，又，，設(shè)，，，，，在中，，即，解得，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖所示，連接，同理，可得，設(shè)，則，，在中，，即，解得，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．6．（1），平行四邊形；（2），證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①利用證明即可得到；②證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）證明和，根據(jù)等腰三線合一的性質(zhì)即可得；（3）連接，證明四邊形是矩形，得到，再推出，得到是線段的垂直平分線，則，設(shè)，再列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）①；∵，∴，∵，，∴，∴；②四邊形是平行四邊形；理由如下，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；

（2）；理由如下，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）②得，∴，根據(jù)等腰三線合一的性質(zhì)得；（3）連接，

∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，四邊形?是平行四邊形則點(diǎn)O也是的中點(diǎn)，∵，∴，∴都是等腰直角三角形，則四邊形是矩形，∴，∴，由，∴，∴，∵，且，∴，∴是線段的垂直平分線，∴，設(shè)，又，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．7．特例分析：；探究規(guī)律：證明見(jiàn)解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，．【分析】特例分析：由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義求解即可；探究規(guī)律：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證，即可得出結(jié)論；拓展延伸：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論，利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)列方程分別求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得到，，再根據(jù)平行四邊形兩種對(duì)邊分別平行，求出，設(shè)直線與直線的距離為，分別表示出和，即可求出的值．【詳解】解：特例分析：，，，，，，點(diǎn)D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角，故答案為：；探究規(guī)律：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，即，點(diǎn)D、E分別是點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在和中，，，；拓展延伸：（1），，，，，若是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，則，解得：；②當(dāng)時(shí)，，則，③當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去），綜上可知，當(dāng)是等腰三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為或；（2）存在四邊形是平行四邊形，，理由如下：，，，，若四邊形是平行四邊形，則，，，，，，設(shè)直線與直線的距離為，則四邊形的面積，的面積，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，先證明四邊形是矩形四點(diǎn)共圓，在上，根據(jù)圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解，即可求解．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中是斜邊上的中線，即可得證；（3）根據(jù)，得出，進(jìn)而得出是等邊三角形，證明，得出，即可得證．【詳解】（1）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴∴∴，即∵平分，∴又∵∴∴，∴，∵，∴又∵∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形∴，∴四點(diǎn)共圓，又∵∴在上，∵∴又∵∴∴∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴∵，∴,∴（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵∴∵平分，∴設(shè)∵∴，，，∴，∴∴，∵∴在中，∴∴在中是斜邊上的中線，∴；（3）解：如圖∵，∴又∵∴∵∴又∵∴∴∵∴∵∴又∴是等邊三角形∴，∵∴∵，∴∴，∴，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（1），，（2），，理由見(jiàn)解析（3）（4）．【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）同理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）作交于E點(diǎn)，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)，推出，從而證明出，，，最后利用三角形面積公式求解即可；（4）作，使，證明，推出，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，證明，得到，，再證明，得到，再證明是線段的垂直平分線，求得，再證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵和均為等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴；故答案為：，，；（2）解：，；理由如下：∵和均為等腰直角三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴，；（3）解：如圖所示，作交于E點(diǎn)，連接，∵，∴為等腰直角三角形，∴，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴，，∴，∴的面積為，故答案為：；（4）解：設(shè)，作，使，∵，，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．(1)；(2)為等邊三角形，理由解析(3)面積的最大值為【分析】（1）由，可得出，再根據(jù)三角形中位線得，，，，從而可證，最后利用平行線的性質(zhì)可證得；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，得到，，再由（1）同理證得，再根據(jù)三角形外角定理和平行線的性質(zhì)證明，即可判定為等邊三角形；（3）由三角形三邊關(guān)系，可得的最大值，再根據(jù)中位線定理可得的最大值，從而得到面積的最大值．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點(diǎn)M，N，P分別為，，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，，∴，∵，∴，故答案為：；．（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，在與中∴，∴，，∵點(diǎn)M，N，P分別為，，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，，∵∴∴是等邊三角形．（3）由（2）可知，，∴當(dāng)最大時(shí)，，則等邊的面積最大，∵，∴當(dāng)時(shí)最大，∴，∴，∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角定理、等邊三角形的判定以及三角形三邊關(guān)系等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)證明見(jiàn)解析；(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）連接，利用全等三角形判定定理證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）中的結(jié)論得，得到，再結(jié)合是等腰直角三角形得到，通過(guò)等量代換即可完成證明；（3）由點(diǎn)在直線上且，故需要分情況①點(diǎn)在線段上；②點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，2種情況的輔助線和解題思路基本一致：過(guò)點(diǎn)D作交于P，交于Q，先利用平行線分線段成比例的性質(zhì)證得P、Q分別為、的中點(diǎn)，再利用四邊形是矩形得到和的長(zhǎng)度，再通過(guò)證明，并利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得到的長(zhǎng)度，最后在中運(yùn)用勾股定理即可求解的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，連接，，是等腰直角三角形，，又為的中點(diǎn)，，，，，，，，，在和中，，，．故答案為：．（2）證明：由（1）中的結(jié)論得，，，，，，即，．（3）由點(diǎn)在直線上且，故需要分2種情況討論：①若點(diǎn)在線段上，如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于P，交于Q，，，，，為的中點(diǎn)，，，即P為的中點(diǎn)，同理可得，，即Q為的中點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，，，，，，，又，，，即，，，在中，，；②若點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，如圖，同①中輔助線，由①中結(jié)論得，P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，，，同理可證得：，，即，，，在中，，；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線判定全等三角形，學(xué)會(huì)作垂線構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理，學(xué)會(huì)判定相似三角形，并利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，適合有能力解決難題的學(xué)生．12．（1）；（2）；（3）或【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形和折疊，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）如圖1，由折疊得：，，先由勾股定理得，則，設(shè)，則，最后根據(jù)勾股定理列方程解答即可；（2）如圖，連接，設(shè)，則，，證明，則，根據(jù)勾股定理列方程可得，從而可以解答；（3）設(shè)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，交于，②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作于，交于，則，根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：（1）如圖1，由折疊得：，，∵四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，，；（2）如圖，連接，是的中點(diǎn)，，設(shè)，則，，由折疊得：，，，，，，，，在中，，，，，，；（3）設(shè)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，