高三數學二輪復習教案

高三數學二輪復習教案

學校:壽縣迎河中學

匯編：.龍加L

第一部分：三角問題的題型與方法

一、考試內容

角的概念的推廣，角度制與瓠度制；任意角的三角函數，單位圓中的三角

函數線，同角三角函數的基本關系式：sinDa-t-cosDa=l,sina/cosa=tana,

tanacota=l,正弦、余弦的誘導公式；兩角和與差的正弦、余弦、正切，二

倍角的正弦、余弦、正切；正弦函數、余弦函數的圖象和性質，周期函數，函

數y二Asin（3x+e）的圖象，正切函數的圖象和性質，已知三角函數值求角；正

弦定理，余弦定理，斜三角形解法舉例。

二、考試要求

1.理解任意角的概念、瓠度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切的定義，掌握同解三

角函數的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數與最小正周

期的意義。

3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余

弦、正切公式。

4.能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證

明。

5.了解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質，會用“五點法”畫

正弦函數、余弦函數和函數y二Asin（3x+4））的簡藥，理解A.3、6的物理意義。

三、復習目標

1.熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常

規使用方法等.

2.熟悉三角變換常用的方法一一化弦法，降黑法，角的變換法等.并能

應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明.

3.掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形的公式解

決一些實際問題.

4.熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質，并能用它

研究復合函數的性質.

5.熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀、

6.理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變

化.

四、雙基透視

1.三角變換：

三角函數式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換；

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半角公式；

三角代換是以三角函數的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為

三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決.

2.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三

角形自身的特點.

(1)角的變換

因為在AABC中，A+B+C=JI,所以

sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC.

A+BCA+B,CA+BC

sin---=cos-jcos---=sin-5tan---=cot—.

222222

(2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.

面積公式gS==-^absinC=r?p=^p(p-a)(p-b)(p-c).其中

r為三角形內切圓半徑，p為周長之半.

ABBCCA

*(3)對任苣△ABC,tanj?tan—?tan—?tan彳+tan￡?tan—

在非直角AABC中，tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC.

(4)在AABC中,熟記并會證明：

NA,ZB,NC成等差數列的充分必要條件是NB=60°.

△ABC是正三角形的充分必要條件是NA,ZB,NC成等差數列且a,b,c

成等卜卜教列

3.斜三角形中各元素間的關系：

如圖6-29,在4ABC中，A.B.C為其內角，a、b、c分別表示A.B.C的對邊.

(1)三角形內角和：A+B+C=n.

(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

-^—=-^—=-^—=2R(〃為外接圓半徑)

sinAsinBsinC

(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他

兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍.

a2=b2+c2—2bccosA,

b2=c2+a2-2cacosB,

c2=a2+b2~2abcosC.

4.解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和出6儂

三個內角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做

解三角形.廣義地.這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線

以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.解三角形的問題一般可分為下面兩

種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角

形是斜三角形，則稱為解斜三角形.

解斜三角形的主要依據是：

設aABC的三邊為a、b、c,對應的三個角為A.B.C.

（1）角與角關系：A+B+C=Ji,

（2）邊與邊關系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a—b<c,

b-c<a,c-a>b.

（3）邊與角關系：

正弦定理口爐為外接圓半徑）.

余弦定理c2=a2+b2—2bccosC,b2=a2+c2—2accosB,a2=b2+c2—

2bccosA.

它們的變形形式有：a=2RsinA,□,□.

（4）面積公式：

解斜三角形的常規思維方法是：

（1）已知兩角和一邊（如A.B.C）,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、

b.

（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c）,應用余弦定理求c邊；再應用正弦

定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=冗，求另一角.

（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A）,應用正弦定理求B,由A-FB+C

=n求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況.

（4）已知三邊a、b、c,應余弦定理求A、B,再由A+B+C=n,求角C.

五、思想方法

1.三角函數恒等變形的基本策略。

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如l=cos20+sin20

=ldlix?COlX=lclI145O等。

（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=l+cos2x；配湊角：Q=（CI+B）—B,B

=口一口等。

（3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。

（4）化弦（切）法。將三角函數利用同角三角函數基本關系化成弦（切）。

（5）引入輔助角oasin0+bcos0=Dsin（0+□）,這里輔助角□所在象限由a、

b的符號確定，口角的值由tan□二口確定。

2.證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化

為同一形式。

（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法。

3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數

的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。

4.解答三角高考題的策略。

（1）發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。

（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。.

六、范例分析

例1.已知口，求（1）□;（2）□的值.

解：⑴□;

/c、.2八.ccC2nsin20-sin0cos0+2cos29

（2）sm^0-sin0cos0+2cos'0=-----------；---------------------

sin29+cos20

sin20sinO

_cos'Ocos。__2-后+2_4-V2

sin20,-2+13

cos“6

說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、

切互化，就會使解題過程簡化。

例2：已知函數口.

⑴若口,求□的值;（2）若口,求函數單調區間及值域.

解：□□……3分（這一步至關重要，解題一定要注意）

八、sin2x+2sinxcosx+3cos2xtan2x+2tanx+317廠八

（1）y=-----------3-------------------=--------；---------=—........5分

sin-x+cos-xtan-A+15

⑵在□上單調遞增，在□上單調遞減.……2分

所以，當□時，口；當口時，口.故□的值域為□.……2分

例3：已知函數口（口，口）為偶函數，且函數口圖象的兩相鄰對稱軸間的距

離為□.（I）求□的值；（H）將函數□的圖象向右平移□個單位后，得到函

數口的圖象，求□的重調遞減區間.

解（1）f（x）=>/3sin（ryx+（p）-cos（cox+（p）

因為口為偶函數，所以對口，□恒成立，

則口.

即口，

整理得口.因為口，且口，所以口.

又因為口，故口.所以口.

由題意得口，所以□.故□.因此口.

（H）將口的圖象向石平移口個單位后，得到口的圖象，

所以□.

當口（匚］）,即口（口）時，

單調遞減，因此的單調遞減區間為（）.

例4已知□的面積是30,內角口所對邊長分別為口，口。

（1）求口；（II）若口，求□的值。

【命題意圖】本題考查同角三角函數的基本關系，三角形面積公式，向量的數

量積，利用余弦定理解三角形以及運算求解能力.

【解題指導】（1）根據同角三角函數關系，由□得□的值，再根據□面積公式

得口；直接求數量積口.由余弦定理口，代入已知條件口，及□求a的值.

解:由口，得口.又口，.,?口.

（I）ABAC=/?ccosA=156x—=144.

13

(II)

【規律總結】根據本題所給的條件及所要求的結論可知，需求口的值，考慮已

知口的面積是30,□,所以先求口的值，然后根據三角形面積公式得口

的值.第二問中求a的值，根據第一問中的結論可知，直接利用余弦定

理即可.

第二部分：不等式問題的題型與方法

一、考試要求

1.理解不等式的性質及其證明。

2.掌握兩個(不擴展到三個)正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定

理，并會簡單的應用。

3.掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。

4.掌握簡單不等式的解法。

二、復習目標

1.在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它

的一些簡單不等式的解法.通過不等式解法的復習，提高學生分析問題、解

決問題的能力以及計算能力；

2.掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸

為整式不等式（組），會用分類、換元、數形結合的方法解不等式；

3.通過復習不等式的性質及常用的證明方法（比較法、分析法、綜合法等），使

學生較靈活的運用常規方法（即通性通法）證明不等式的有關問題；

4.通過證明不等式的過程，培養自覺運用數形結合、函數等基本數學思想方法

證明不等式的能力；

5.能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題.

6.通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾

何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高

分析問題解決問題的能力.在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的

過程中，提高學生數學素質及創新意識.

三.雙基透視

1.解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形

的理論依據，方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要

善于把它們有機地聯系起來，互相轉化.在解不等式中，換元法和圖解法是

常用的技巧之一.通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不

等式，通過構造函數、數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖

形關系，對含有參數的不等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰.

2.整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基礎，利用不等

式的性質及函數的堂調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等

式（組）是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方

法.方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們

有機地聯系起來，相互轉化和相互變用.

3.在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將

較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，將不等式的

解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數的不等式，運用圖解法，可以

使分類標準更加明晰.通過復習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解

變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作

用.

4.比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是:

作差（商）f變形f判斷符號（值）.

5.證明不等式的方法靈活多樣，內容豐富、技巧性較強，這對發展分析綜合能

力、正逆思維等，將會起到很好的促進作用.在證明不等式前，要依據題設

和待證不等式的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法.通過等式或不

等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式

得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導

出待證的不等式，前者是“執果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯系

的途徑，證明時往往聯合使用分析綜?合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證

的目的.

6.證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的

最基本方法.要依據題設的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要

熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點.

7.不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用.因

此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數學

各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用.在解決問題時，要依據題設的

結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證

明.不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中.諸如集合

問題，方程（組）的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、

數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式

有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。

8.不等式應用問題體現了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類：一類是

建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值.利用平均值

不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等“三個條件缺一不可,

有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件.利用不等式解應用題的基本步騏：

10審題，20建立不等式模型，30解數學問題，M作答。

四、注意事項

1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不

等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。

2.解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類

討論思想的錄活運用。

3.不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握

常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調

整放縮的度。

4.根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法。

五、范例分析

例1.己知三個不等式：①口□②口③口

（1）若同時滿足①、②的口值也滿足③，求m的取值范圍；

（2）若滿足的③口值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍。

（1）分析：本例主要綜合復習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法,

以及數形結合思想，解本題的關鍵弄清同時滿足①、②的口值的滿足

③的充要條件是：③對應的方程的兩枝分別在口和□內。不等式和與

之對應的方程及函數圖象有著密不可分的內在聯系，在解決問題的

過程中，要適時地聯系它們之間的內在關系。

（2）解：記①的解集為A,②的解集為B,③的解集為C。

（3）解①得A=（-1.3）；解②得B=D

因同時滿足①、②的□值也滿足③，AQBDC

設口，由口的圖象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于3時，即可滿

足口

因滿足③的口值至少滿足①和②中的一個，口因

此□小根大于或等于T,大根小于或等于4,因而

/（-1）=1-/7?>0

4/（4）=4/n+31>0,解之得一3二10m<1

4

.m

-1<---<4

4

說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程2xD+mx-l=0

的兩根分別在（-8,o）和［3,+8）內，因此有f（0）V0且f（3）W0,否則不能

對AAB中的所有x值滿足條件.不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可

分的內在聯系的，在解決問題的過程中，要適時地聯系它們之間的內在關系.

（1）例2已知點（1,口）是函數口且口）的圖象上一點，等比數列□的前口

項和為口，數列□□的首項為口，且前口項和口滿足口一口=□+□（口）.

求數列口和口的通項公式；（2）若數列｛口前口項和為口，問口>口的最小正整

數□是多少？w.w.w.k.s.5

【解析】（1）===

4=；

J

%=[/⑶-⑵-小2

又數列□成等比數列，口，所以口；

又公比口，所以口口；

<^「21=(后一卮)(底+匹)=6+瓦(?>2)

又a>0,后>0，?二點一卮二1；

數列口構成一個首相為1公差為1的等差數列，口，口

當口，口；

/.bn=2/2-1(〃wM)；

/C、T111rl111T,1

(2)T=------1--------1--------FL4---------=--------1--------1---------FKH---------------

b}b2b2b34db.b”.11x33x55x7(2〃-l)x(2〃+l)

撲*卜真；

由口得口，滿足口的最小正整數為112.

第三部分：數列問題的題型與方法

1.一、考試內容

數列；等差數列及其通項公式，等差數列前n項和公式；等比數列

及其通項公式，等比數列前n項和公式。

二、考試要求

一、1.理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給

出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項。

2.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，

并能運用公式解答簡單的問題。

3.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，

并能運用公式解決簡單的問題。

三、復習目標

2.能靈活地運用等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和

公式解題；

2.能熟練地求一些特殊數列的通項和前口項的和；

3.使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想

方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生

活中的有關問題；

4.通過解決探索性問題，進一步培養學生閱讀理解和創新能力，綜合運

用數學思想方法分析問題與解決問題的能力.

5.在解綜合題的實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的認識,

溝通各類知識的聯系，形成更完整的知識網絡，提高分析問題和解決問題的能

力.

6.培養學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高

學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的

精神和科學理性的思維方法.

四、雙基透視

1.可以列表復可等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質.

2.判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法：

(1)定義法：對于n22的任意自然數，驗證口為同一常數。

(2)通項公式法：

①若口二□+(n-1)d=口+(n-k)d,則口為等差數列；

②若口，則口為等比數列。

(3)中項公式法：驗證口□都成立。

3.在等差數列口中，有關Sn的最值問題一一常用鄰項變號法求

解：

(1)當口>0,€1<0時，滿足口的項數1T.使得□取最大值.

(2)當口<0,(1>0時，滿足口的項數。使得口取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。

4.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

五、注意事項

1.證明數列口是等差或等比數列常用定義，即通過證明口或口而得。

2.在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法,

但有時靈活地運用性質，可使運算簡便。

3.對于一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。

4.注意一些特殊數列的求和方法。

5.注意□與□之間關系的轉化。如：

□=口口，□=口.

六、范例分析

例L已知數列□中，口是其前口項和，并且口，

⑴設數列口，求證：數列口是等比數列；

⑵設數列口，求證：數列□是等差數列；

⑶求數列同｝的通項公式及前〃項和。

分析：由于砧口｝和｛cLI｝中的項都和［□｝中的項有關，［□｝中又有

SQ=4an+2,可由SU-S□作切入點探索解題的途徑.

解：(1)由Sn=4aD,SDMaD+2,兩式相減，得SD-SDM(aD-aD),

即an=4an-4an.(根據b口的構造，如何把該式表示成b□與b□的關系是

證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)

a□-2a匚|=2(a匚|-2&匚I),又b□二a□-2a□，所以b=l=2bD①

已知SlZI=4alZI+2,@口=1,aD+aDMan+2,解得a［ZI=5,b□=a□-2a0=3

②

由①和②得，數列｛b口｝是首項為3,公比為2的等比數列，故bD=3乞口.

(2)因為'咤(nWN),所以％「7=哥.扭./.黑

3?2~3

■I■一

2***14,

又％=3故數列(%)是百項為j公差是J的等差數列，

31

(3)因為'=蓑,又"/],所以余■■日%=(%?1)

?2號

當n22時，sn=4aD+2=2a(3n-4)+2；當n=l時,S□=aOl也適合上式.

綜上可知，所求的求和公式為SlZI=2口(3n-4)+2.

說明：1.本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等

比數列，求數列通項與前□項和。解決本題的關鍵在于由條件口得出遞推

公式。

2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已

知條件，在后面求解的過程中適時應用.

例2：數列口滿足：口，匚1。

（1）是否存在常數二、口，使得數列口是等比數列.若存在，求出口、口的

值；若不存在，說明理由.

（2）設口，口，證明：當□時，口.

解：（1）設口可化為口，

2

an+1=2an+2n+（//-2A）n-/l-x/...（2分）

故4=一1,〃-24=3,一4一//=0解得/=—1,〃=1...（2分）

a=2a-n2+3n

?■-n+ln可化為4〃+|-（〃+l[+（〃+l）=2（4「〃2+〃）（1分）

又4-1?—1工0...（6分）

故存在4=1,使得數列｛4+力/+“｝是等比數列……（2

分）

（2）證明：由（I）得□□□

故b=—!—=—???（8分）?../?=_L=_J_<_1—------=—…

"a?+n-2n-1"〃24n24/r-l2〃-12〃+1

（2分）

現證S>6”(n>2)

32/74-13“(〃+1)(2〃+1)

當n=2時口，而口

故n=2時不等式成立...（12分）當時,由口得

，且由得，...（5分）

例2設口是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在口軸的正半軸上，且都與直

線口相切，對每一個正整數口，圓口都與圓口相互外切，以□表示口的半徑，已

知□為遞增數列.（I）證明：□為等比數列；（II）設口，求數列□的前口項和.

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減

法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.

【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設口的圓心為口，得口，同理得口，結

合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即口中□與口

的關系，證明口為等2數列；（2）利用（1）的結論求口的通項公式，代人數列

口，然后用錯位相減法求和.

解：（1）將直線y二@x的傾斜角記為，則有tan。二且,sin。」

332

設C”的圓心為（/0）,則由題意得知?=L得4=2%；同理

42

4+1=2\+1，從而4+1=4+rn+rn+1=2rn+1,將人=2%代入,

解得「血=3rn

故上|為公比q=3的等比數列。

（0）由于％=1，q=3,故％=3可從而。二”3口

rn

記Sn='+2+..…+巴.則有

F1r2y

S0=1+2*3-+3*3-2+……〃*3~

去=1*3-1+2*3=+……+（〃-1）*3~+〃*3-”

①一②，得

=■=1+3"+34+…+3~—〃*3一〃

3

1-3-”33

二^——〃*3-"=二_5+二）*3二

22'2

9一（2〃+3）*3~

4

【方法技巧】對于數列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，并

結合圖形，得出關于數列相鄰項□與□之間的關系，然后根據這個遞推關系，

結合所求內容變形，得出通項公式或其他所求紿論.對于數列求和問題，若數

列的通項公式由等差與等比數列的積構成的數列時，通常是利用前n項和□乘

以公比，然后錯位相減解決.

數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重

要的地位。高考對本意的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不

會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問

題的能力，試題大多有較好的區分度。有關數列的試題經常是綜合題，經常把

數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數

列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常

在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查

函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定

系數法等基本數學方法。應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化，常需

構造數列模型，將現實問題轉化為數學問題來解決。

第4部分：立體幾何問題的題型與方法

一、考試內容：

L平面及其基本性質，平面圖形直觀圖的畫法。

2.平行直線，對應邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線,

異面直線的距離C

3.直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到平面的

距離，斜線在平面上的射影，直線和平面所成的角。

4.平行平面的判定與性質，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個平面

垂直的判定與性質。

5.多面體、棱柱、棱性、正多面體、球的體積與表面積。

二、考試要求

（1）掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直

觀圖，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據

圖形想象它們的位置關系；

（2）了解空兩條直線的位置關系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和

性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念；

（3）了解空間直線和平面的位置關系，掌握直線和平面平行的判定定理和

性質定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質定理，掌握斜線在平面上的

射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念；

（4）了解平面與口面的位置關系，掌握兩個平面平行的判定定理和性質定

理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念，掌握兩個平面

垂直的判定定理和性質定理。

（5）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖。

（6）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。

（7）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。

三、復習目標

1.在掌握直線與平面的位置關系（包括直線與直線、直線與平面、平面與

平面間的位置關系）的基礎上，研究有關平行和垂直的的判定依據（定義、公理

和定理）、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解

和掌握相關公理、定理的內容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規律；在

有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉

化的數學思想的應用.

2.在掌握空間角（兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及

二面角）概念的基礎上，掌握它們的求法（其基本方法是分別作出這些角，并將

它們置于某個三角形內通過計算求出它們的大小）；在解決有關空間角的問題的

過程中，進一步鞏固關于直線和平面的平行垂直的性質與判定的應用，掌握作

平行線（面）和垂直線（面）的技能；通過有關空間角的問題的解決，進一步提高

學生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力.

3.通過復習，使學生更好地掌握多面體與旋轉體的有關概念、性質，并能

夠靈活運用到解題過程中.通過教學使學生掌握基本的立體幾何解題方法加常

用解題技巧，發掘不同問題之間的內在聯系，提高解題能力.

4.在學生解答問題的過程中，注意培養他們的語言表述能力和“說話要有根

據”的邏輯思維的習慣、提高思維品質.使學生掌握化歸思想，特別是將立體

幾何問題轉化為平面幾何問題的思想意識和方法，并提高空間想象能力、推理

能力和計算能力.

5.使學生更好地理解多面體與旋轉體的體積及其計算方法，能夠熟練地使用分

割與補形求體積，提高空間想象能力、推理能力和計算能力.

四、注意事項

1.須明確《直線、平面、簡單幾何體》中所述的兩個平面是指兩個不重合的平

面。

2.與“直線與直線平行”、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”

是

指“二平面沒有公共點二由此可知，空間兩個幾何元素(點、直線、平面稱為

空間三個幾何元素)間”沒有公共點”時，它們間的關系均稱為“互相平行”。

要善于運用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和

性質。

3.注意兩個平行平面的畫法一一直觀地反映兩平面沒有公共點，將表

示兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。兩個平面平行的寫法與線、線平行，

線、面平行的寫法一議，即將“平面口平行于平面口”，記為“口〃口”。

4.空間兩個平面的位置關系有且只有“兩平面平行”和“兩平面相交”兩

種關系。

5.三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面

角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線

面角找射影，面面角作平面角”而達到化歸目的；

7.有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平

面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點

與直線、點到平面的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，

點到平面的距離有時用“體積法”來求。

五、范例分析

例1如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AR,EF

±FB,ZBFC=90°,BF=FC,H為BC的中點,

(I)求證：FH〃平面EDB；(Il)求證：AC_L平面EDB；(III)求四面體B—DEF

的體積；.一.

【命題意圖】本題考查空間線面平行、線面￡_

垂直、

面面垂直的判斷與證明，考查體積的計算

等基礎

第(19)題圖

知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力.

【解題指導】(1)設底面對角線交點為G,則可以通過證明EG〃FH,得口〃

平面口；(2)利用線線、線面的平行與垂直關系，證明FHJ_平面ABCD,得FH

±BC,FH±AC,進而得EG_LAC,□平面口；(3)證明BF_L平面CDEF,得IF為

四面體B-DEF的高，進而求體積

⑴證：設AC與3。交于點G則G為4c的中點，連EG,GH,由于〃為BC的中點，故

又E///LAB,.?.四邊形EFG”為平行四邊形

=2

:.EG〃FH,而EGu平面七。8,.,./〃//平面瓦啰

(II)證：由四邊形ABCD為正方形，有AB_LBC。

又EF〃AB,EF±BCo而EF1FB,EF_L平面8尸(7,二EF1FH

二AB_L陽又BF=FG,H為8型)中點,FH±BC。

：.FH_L平面45CD

FH±AC.又FHHEGfAC±EG,y^C±BD,EGnBD=G

：,ACJ?平面"

(III)解:???EF，煙,NBFC=90°,.:8F_L平面CD班.

.??班為四面體B-D后醴高，又BC=AB=2,二BF=FC=&

右-詼=；*；*1*應*應=；?

【規律總結】本題是典型的空間幾何問題，圖形不是規則的空間幾何體，所求

的結論是線面平行與垂直以及體積，考查平行關系的判斷與性質.解決這類

問題，通常利用線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直，通過

求高和底面積求四面體體積.

例2：一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的主視圖和側

視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點.

(1)求證：PB〃平面ACE；

(2)求證：PC1BD；

(3)求三棱錐C—PA8的體積.

證明：(1)依題意，該三視圖所對應的直觀圖為一側棱PA

垂直于底面ABCD的四棱錐，且PA=AB=AD=1,四邊形ABCD為正方

形；分別連結AC.BD交于0,連結E0,?.?E是PD的中點，???PB〃

E0,

又PB□平面ACE,E0□平面ACE,，PB〃平面ACE。4分

(2)證明：???四邊形ABCD是正方形，ABD1AC,又PA_L平面ABCD,ABD±

PA,

XVPADAOA,??.BD_L平面PAC,又PC□平面PAC,PCIBDo.....................4分

w.w.w.k.

(3)?.?PA_L平面ABCD,PA=AB=BC=1,，VC—PAB=VP—ACD二□XS△

ABCXPA=nX□X1X1X1=□o???三棱錐C-PAB的體積為口。.......4分

-、第5部分：解析幾何問題的題型與方法

二、考試內容

（一）直線和圓的方程

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式，直線方程的一般式。

兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線的交角，點到直線的距離。

用二元一次不等式表示平面區域，簡單的線性規劃問題。

曲線與方程的概念，由已知條件列出曲線方程。

圓的標準方程和一般方程，圓的參數方程。

（二）圓錐曲線方程

橢圓及其標準方程，橢圓的簡單幾何性質，橢圓的參數方程。

雙曲線及其標準方程，雙曲線的簡單幾何性質。

拋物線及其標準方程，拋物線的簡單幾何性質。

二、考試要求

（一）直線和圓的方程

1.理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程

的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程。

2.掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的

距離公式，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系。

3.了解二元一次不等式表示平面區域。

4.了解線性規劃的意義，并會簡單的應用。

5.了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。

6.掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參

數方程。

（二）圓錐曲線方程

1.掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質。

2.了解雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡亙幾何性質。

3.了解拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡亙幾何性質。

4.了解圓錐曲線的初步應用。

三、復習目標

能正確導出由一總和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程

出發推導出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據已知條件,

熟練地選擇恰當的方程形式寫出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式

之間的轉化，能利用直線的方程來研究與直線有關的問題了.

3.2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區域，知道線性規劃的

意義，知道線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概

念，能正確地利用圖解法解決線性規劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了

解線性規劃方法在數學方面的應用；會用線性規劃方法解決一些實際問題.

理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌

握求曲線的方程的方法.

4.掌握圓的標準方程：口（r>0）,明確方程中各字母的幾何意義，能根據圓

心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心

坐標和半徑，掌握圓的一般方程：口，知道該方程表示圓的充要條件并正確地

進行一般方程和標準方程的互化，能根據條件，用待定系數法求出圓的方程,

理解圓的參數方程口(0為參數)，明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置

關系的判定方法.

5.正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據橢

圓、雙曲線和拋物線的定義推導它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線

的各種標準方程；能枝據條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握

橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線(雙

曲線的漸近線)等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、

b、c、p、e之間的關系及相應的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何

性質，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、

雙曲線和拋物線的參數方程，并掌握它的應用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋

物線位置關系的判定方法.

四、注意事項

1.(1)直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于x

軸的傾斜程度.當斜率k存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜

率不存在時，直線方程為x=a(aWR).因此，利用直線的點斜式或斜截式方程

解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.

(2)直線的截距式是兩點式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，

因為aWO,bWO,所以當直線平行于x軸、平行于y軸或直線經過原點，不能

用截距式求出它的方程，而應選擇其它形式求解.

(3)求解直線方程的最后結果，如無特別強調，都應寫成一般式.

(4)當直線口或□的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平

行與垂直

⑸在處理有關圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等

幾何性質的運用，這樣可以簡化計算.

2.⑴用待定系數法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在x軸上還是y軸上，還

是兩種都存在.

(2)注意橢圓定義、性質的運用，熟練地進行a、b、c、e間的互求，并

能根據所給的方程畫舊橢圓.

⑶求雙曲線的標準方程應注意兩個問題：(1)正確判斷焦點的位置；(2)設出

標準方程后，運用待定系數法求解.

⑷雙曲線口的漸近線方程為口或表示為口.若已知雙曲線的漸近線方程是

□,即口，那么雙曲線的方程具有以下形式：

,其中k是一個不為零的常數.

⑸雙曲線的標準方程有兩個□和□(">(),b>0).這里口，其中|□□|二2c.

要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.

⑹求拋物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋

物線的標準方程，要線根據題設判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定

參數P的值.同時，應明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并

存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其

中一個，就可以求出其他兩個.

六、范例分析

例1：將拋物線□平移后，得曲線C,且直線1：QR)與X軸的交點在曲段C

的準線的右邊.(1)求曲線C的方程；

(2)求證直線/與曲線C總有兩個交點；

(3)設直線1與曲線C的交點為A.B,且□求p關于t的函數口的表達式.

解：(1)曲線C的方程為口……(3分)

(2)曲線C的準線為DR)與x軸的交點(t.O)在曲線C的準線的右邊，

t>-1--,HP4r+/7+4>0.

4

由，得1一(2/+〃*+(/一用二。①……(3分)

y=〃(x+D

?/p>0,4/+p+4>0,.\A=(2/+p)2—4(/2-p)=p(4z+p+4)>0,

故直線與曲線C總有兩個交點.……(1分)

(3)設□是方程①的兩個根，

由根與系數關系得1+2"

'X2=r-p

,/OA±OB,:.kOAkOR=一1,即將工2+)'i%=。.....(1分)

???A.B在直線口=口,

2

X{x2+y[y2=r-(/+2)〃=0,/.p==.......(2分)

,.,〃>(),及4l+〃+4>(),.,.函數/⑺的定義域為(-2,0)U(0,4-oo)........(1

分)

例2：設橢圓C：□的左焦點為F,上頂點為A,過點A作垂直于AF的直線

交橢圓C于另外一點P,交x軸正半軸于點Q,且□口

(1)求橢圓C的離心率；

⑵若過A.Q、F三點的圓恰好與直線

1：口相切,求橢圓(:的方程.

解：⑴設Q(xO,0),由F(-c,0)□

A(0,b)知口

—?h2

-FA±AQ,.\cx-b2=^x=-------2分

00c

設口，得口.....2分

因為點P在橢圓上，所以口.....2分

整理得2b2=3ac,即2(a2—c2)=3ac,□，故橢圓的離心率的口.....2分

(2)由(1)知口，

于是F(—Da,0),QH

△AQF的外接圓圓心為(Da,0),半徑廠□|FQ|二a.......2分

所以口,解得a=2,b=匚I,

所求橢圓方程為三十t=1.....2分

43

建議：本題從上輪老教程高考來看往往是把條件隱藏在一二次曲線相交形成的

弦上，通過對弦端點坐標的設而不求、整體代換把條件轉移到目標中，解決問

題。有可能比較難，運算量大，較為抽象，但并非高不可攀，可以先畫出圖形,

能寫多少寫多少。其實從新教程課本知識安排來看本題的難度有下降趨勢，所

以在考試中應視情況而定，不管怎樣切記在考試中卷面不要留空。

例3橢圓口經過點口，對稱軸為坐標軸，焦點口在□軸上，離心率口。(I)求

橢圓口的方程；

(II)求/耳4鳥的角平分線所在直線的方程。

【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線的

點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式等基礎知識；考查解析幾何的基

本思想、綜合運算能力.

【解題指導】(1)設橢圓方程為口，把點口代入橢圓方程，把離心率口用□表

示，再根據口，求出口，得橢圓方程；(2)可以設直線1上任一點坐標為口，根

據角平分線上的點到角兩邊距離相等得口.

解：(I)設橢圓E的方程為

將42,3)代入，有!+*=1,解得：c=2,.?.橢圓E的方程為

c~C

1612

(口)由(I)知片(-2,0),5(2,0),所以直線”的方程為y=：(x+2),

即3x-4y+6=0.直線傳的方程為x=2由橢圓崩圖形知，有伍的角平分線所在直線的斜率為正數。

設P(x,y)為NF小6的角平分線所在直線上任一點，則有圍土2」=k2|

若3.?4＞，+6=51-10,得x+2y-8=0,其斜率為負，不合題意，舍去。

于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-yT=0.

所以，的角平分線所在直線的方程為2x-yT=0.

【規律總結】對于橢圓解答題，一般都是設橢圓方程為口，根據題目滿足的條

件求出口，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；(2)對于角平分線問題，利用

角平分線的幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程.

第6部分：導數應用的題型與方法

一、考試內容

1.導數的概念，導數的幾何意義，幾種常見函數的導數；

2.兩個函數的和、差、積、商的導數，復合函數的導數，基本導數公式，利用

導數研究；；函數的單調性和極值，函數的最大值和最小值

二、考試要求

⑴了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率

等），掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念。

（2）熟記基本導數公式（c,xD（m為有理數）,sinx,cosx,eD,aD,Inx,logDx

的導數）。掌握兩個函數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，會求某些

簡單函數的導數。

（3）了解可導函數的重調性與其導數的關系，了解可導函數在某點取得極值的

必要條件和充分條件（導數要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指

單峰函數）的最大值和最小值。

三、復習目標

1.了解導數的概念，能利用導數定義求導數.掌握函數在一點處的導數的定

義和導數的幾何意義，理解導函數的概念.了解曲線的切線的概念.在了解瞬

時速度的基礎上抽象出變化率的概念.

2.熟記基本導數公式（c,xD（m為有理數），sinx,cosx,eD,a匚I,Inx,

logDx的導數）。掌握兩個函數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，會

求某些簡單函數的導數，利能夠用導數求單調區間，求一個函數的最大（小）值

的問題，掌握導數的基本應用.

3.了解函數的和、差、積的求導法則的推導，掌握兩個函數的商的求導法則。

能正確運用函數的和、差、積的求導法則及已有的導數公式求某些簡單函數的

導數。

4.了解復合函數的概念。會將一個函數的復合過程進行分解或將幾個函數進行

復合。掌握復合函數的求導法則，并會用法則解決一些簡單問題。

四、雙基透視

導數是微積分的初步知識，是研究函數，解決實際問題的有力工具。在高中階

段對于導數的學習，主要是以下幾個方面：

1.導數的常規問題：

（1）同幾何中切線聯系（導數方法可用于研究平面曲線的切線）；

（2）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關于

口次多項式的導數問題屬于較難類型。

2.關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值更比

初等方法快捷簡便。

3,導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜

合能力的一個方向，應引起注意。

4.導數的幾何意義

函數y=f（x）在點口處的導數，就是曲線y=（x）在點口處的切線的斜率.由此,

可以利用導數求曲線的切線方程.具體求法分兩步：

（1）求出函數y=f（x）在點口處的導數，即曲線y=f（x）在點口處的切線的斜率；

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為口

特別地，如果曲線y=f(x)在點口處的切線平行于y軸，這時導數不存，根

據切線定義，可得切線方程為口