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文檔簡介

16.雙變量放縮中的“剪刀”模型一．典例分析（2025屆杭州市高三一模）已知函數.（1）若，求的單調區間;（2）若，求證:;（3）若使，求證:.解析：（3）因為，所以，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以.不妨設，則.先證:，易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點的橫坐標.易知，所以.再證.設，易知直線方程為，直線方程為，則直線與直線交點的橫坐標分別為，所以.因為，同理可證，所以.類似的可以證明.所以，即，所以.雙變量導數中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考1卷中名滿天下！該模型的實質是凸凹函數切割線放縮（牛頓切線法），值得注意的是，該方法已經出現在人教版新教材選擇性必修二82頁閱讀材料中，未來完全可能再度出現在高考試題中！本節我們就通過這兩道高考題展示其基本原理與解題方法.函數凸凹性：若函數在區間上有定義，若，則稱為區間上的凸函數.反之，稱為區間上的凹函數.切線不等式：在上為凸函數，，有.反之，若為區間上的凹函數，則，有.證明：取定，令，則，再次求導可得.故在區間上遞減，在區間上遞增，故存在最小值，即，即證畢.注：切線不等式是剪刀模型的理論依據.3.剪刀模型已知函數為定義域上的凸函數，且圖象與交于兩點，其橫坐標為，這樣如下圖所示，我們可以利用凸函數的切線與的交點將的范圍予以估計，這便是切線放縮的基本原理.如圖，在函數圖象先減后增的情形下，兩條切線和兩條割線即可估計出零點的一個上下界，而切割線的方程均為一次函數，這樣我們就可以得到一個顯式解（精確解）的估計，下面我們通過例子予以分析.三.更多案例例2.（2021新課標1卷22題）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設為兩個不相等的正數，且，證明：.解析：注意到函數不含參數，那就求導分析凸凹性.，再求,,,在其定義域上分別是凹函數與凸函數.另一方面，，即，若令，則原命題等價于，已知證明：.證明③.由于，不妨假設這是函數假設的圖象與直線的兩個交點，考慮到的圖象性質可知.故而，即為方程的兩根，結合函數的凸凹性，我們使用切線放縮來證明③.觀察③的結構及可得在點處切線為.由前文背景理論常用性質（2）可知：.如圖所示，假設與，交于兩點，其橫坐標為.與切線交于點，其橫坐標.由圖1可知：.顯然，再做函數圖象的割線：，則顯然：由圖象可知：，，故.證畢.例3．已知函數在點處的切線方程為.（1）求；（2）設曲線與軸負半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數，都有；（3）若關于的方程有兩個實數根，，且，證明：.解析：（3）；..設的根為，則.曲線在點處的切線方程為，有，設的根為，則.由于.又，所以.四．小結1.觀察題干是否考察

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