2024-2025學年山西省運城市高一上學期1月期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省運城市2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.2.函數的零點所在的區間是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數和函數在上都單調遞增，所以函數為增函數，又，，，，由零點存在性定理可得函數的零點所在的區間是.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即充分性成立；若，例如，可得，滿足題意，但，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為.故選：B.5.已知冪函數的圖象與坐標軸沒有公共點，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意知：.所以，所以.故選：A.6.若函數在區間上單調，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，則函數在區間上只能單調遞增，當時，，所以，其中，所以，解得，由，解得，且，當時，；當時，則，可得.綜上所述，正實數的取值范圍是.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，，∴，∴，，∴.故選：B.8.已知函數，，若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由得，得，故，由得，因單調遞增，故，即，故，由二次函數的性質可知，當時，得的值最大為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的一個對稱中心為D.要得到函數的圖象，可以將的圖象先向左平移個單位長度，再將各點橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）【答案】ACD【解析】觀察函數的圖象，得，最小正周期，則，由，得，而，則，，對于A，的最小正周期為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，的一個對稱中心為，C正確；對于D，以將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，再將所得圖象上各點橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得函數的圖象，D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的有（）A.的最小值為2B.已知，則的最小值為C.若正數為實數，若，則的最小值為3D.設為實數，若，則的最大值為【答案】BCD【解析】A選項：，，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，即，當且僅當，即時取等號；綜上所述，即無最小值，A選項錯誤；B選項：時，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，B選項正確；C選項：由，，，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，C選項正確；D選項：由，則，又，即，當且僅當時等號成立，所以，故，則有，當且僅當時等號成立，即的最大值為，D選項正確.故選：BCD.11.已知函數，則下列判斷正確的是（）A.函數是奇函數B.函數的最大值是C.函數的圖象關于直線對稱D.函數的圖象與直線有三個交點【答案】AD【解析】選項A：由，得函數的定義域為，，故函數是奇函數，A正確；選項B：由于函數是奇函數，先考慮，當時，，此時函數在區間上單調遞增，因，故，，當時，，此時函數在區間上單調遞減，因時，，，故時，，由奇函數的性質，當時，，故B錯誤；選項C：由函數的定義域為，可知函數的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；選項D：如圖所示，結合選項B可知，當時，，當時，，所以函數的圖象與直線有三個交點，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的面積是，半徑是，則扇形圓心角的弧度數是______．【答案】【解析】設扇形圓心角的弧度數為，由于該扇形的面積是，半徑是，則，解得.13.函數的單調遞減區間是______．【答案】【解析】由，得，則函數的定義域為，令，，則，函數的對稱軸為，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，因為為增函數，根據復合函數同增異減，要使函數單調遞減，則需函數單調遞減，所以原函數的單調遞減區間為.14.已知，若方程有四個不同的解、、、且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】如下圖所示：方程有四個不同的解、、、且，且，由圖可知，點、關于直線對稱，則，由圖可得，由可得，可得，由可得，所以，，因為函數、在上均為減函數，故函數在上為減函數，因為，則，因此，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合，．（1）當時，求，；（2）當時，求實數的取值范圍．解：（1）由，，所以或，則，．（2）由，若，則，可得，此時；若，則且可得，綜上，實數的取值范圍是．16.（1）計算：；（2）計算：；（3）已知，，求．解：（1）.（2）.（3），又因為，則，所以，，.17.為了振興鄉村經濟，某地政府利用電商平臺為鄉村進行直播帶貨，既方便了人們購物和交流，又有效地解決了農產品銷售困難的問題．為了支持家鄉的發展，越來越多的人注冊成為某電商平臺的會員進行購物和交流．已知該平臺建立前3年的會員人數如下表所示：為了描述建立平臺年數與該平臺會員人數（千人）的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①；②；③．（1）根據表中數據選出最恰當的函數模型，并說明理由，同時求出該函數的解析式；（2）根據第（1）問選擇的函數模型，預計平臺建立年的會員人數將超過2002千人，求的最小值．參考數據：，，．解：（1）從表中數據可知，所選函數必須滿足兩個條件：增函數，增長速度越來越快．因為模型①為減函數，模型②增長速度越來越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個條件，所以選擇模型③．將數據代入可得，解得，所以，函數為，．（2）由（1）知，則．得，，故t最小值為14．18.已知函數的最小值為1．（1）求的值和的最小正周期；（2）求在上的單調遞增區間；（3）若成立，求的取值范圍．解：（1），由題意，解得，的最小正周期．（2）令，則．因為的單調遞增區間是，由，得；，得；所以，在的單調遞增區間是．（3）由題意知，，即，當時，，所以當，即．所以，即．所以的取值范圍是．19.現定義了一種新運算“”：對于任意實數、，都有且．（1）當時，計算；（2）證明：，都有；（3）設，若在區間上的值域為，求實數的取值范圍．解：（1）當時，．（2）因為，，所以．（3）由新運算可知，令，則在上單調遞減，由于在上的值域為，所以，則，又因為在上單調遞減，函數為減函數，則在上為增函數，則，即，即，整理得，所以，將代入，得，，同理得，．所以、是函數在上的兩個不同的零點，則解得，所以，故實數的取值范圍為．山西省運城市2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.2.函數的零點所在的區間是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數和函數在上都單調遞增，所以函數為增函數，又，，，，由零點存在性定理可得函數的零點所在的區間是.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即充分性成立；若，例如，可得，滿足題意，但，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為.故選：B.5.已知冪函數的圖象與坐標軸沒有公共點，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意知：.所以，所以.故選：A.6.若函數在區間上單調，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，則函數在區間上只能單調遞增，當時，，所以，其中，所以，解得，由，解得，且，當時，；當時，則，可得.綜上所述，正實數的取值范圍是.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，，∴，∴，，∴.故選：B.8.已知函數，，若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由得，得，故，由得，因單調遞增，故，即，故，由二次函數的性質可知，當時，得的值最大為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的一個對稱中心為D.要得到函數的圖象，可以將的圖象先向左平移個單位長度，再將各點橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）【答案】ACD【解析】觀察函數的圖象，得，最小正周期，則，由，得，而，則，，對于A，的最小正周期為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，的一個對稱中心為，C正確；對于D，以將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，再將所得圖象上各點橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得函數的圖象，D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的有（）A.的最小值為2B.已知，則的最小值為C.若正數為實數，若，則的最小值為3D.設為實數，若，則的最大值為【答案】BCD【解析】A選項：，，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，即，當且僅當，即時取等號；綜上所述，即無最小值，A選項錯誤；B選項：時，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，B選項正確；C選項：由，，，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，C選項正確；D選項：由，則，又，即，當且僅當時等號成立，所以，故，則有，當且僅當時等號成立，即的最大值為，D選項正確.故選：BCD.11.已知函數，則下列判斷正確的是（）A.函數是奇函數B.函數的最大值是C.函數的圖象關于直線對稱D.函數的圖象與直線有三個交點【答案】AD【解析】選項A：由，得函數的定義域為，，故函數是奇函數，A正確；選項B：由于函數是奇函數，先考慮，當時，，此時函數在區間上單調遞增，因，故，，當時，，此時函數在區間上單調遞減，因時，，，故時，，由奇函數的性質，當時，，故B錯誤；選項C：由函數的定義域為，可知函數的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；選項D：如圖所示，結合選項B可知，當時，，當時，，所以函數的圖象與直線有三個交點，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的面積是，半徑是，則扇形圓心角的弧度數是______．【答案】【解析】設扇形圓心角的弧度數為，由于該扇形的面積是，半徑是，則，解得.13.函數的單調遞減區間是______．【答案】【解析】由，得，則函數的定義域為，令，，則，函數的對稱軸為，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，因為為增函數，根據復合函數同增異減，要使函數單調遞減，則需函數單調遞減，所以原函數的單調遞減區間為.14.已知，若方程有四個不同的解、、、且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】如下圖所示：方程有四個不同的解、、、且，且，由圖可知，點、關于直線對稱，則，由圖可得，由可得，可得，由可得，所以，，因為函數、在上均為減函數，故函數在上為減函數，因為，則，因此，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合，．（1）當時，求，；（2）當時，求實數的取值范圍．解：（1）由，，所以或，則，．（2）由，若，則，可得，此時；若，則且可得，綜上，實數的取值范圍是．16.（1）計算：；（2）計算：；（3）已知，，求．解：（1）.（2）.（3），又因為，則，所以，，.17.為了振興鄉村經濟，某地政府利用電商平臺為鄉村進行直播帶貨，既方便了人們購物和交流，又有效地解決了農產品銷售困難的問題．為了支持家鄉的發展，越來越多的人注冊成為某電商平臺的會員進行購物和交流．已知該平臺建立前3年的會員人數如下表所示：為了描述建立平臺年數與該平臺會員人數（千人）的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①；②；③．（1）根據表中數據選出最恰當的函數模型，并說明理由，同時求出該函數的解析式；（2）根據第（1）問選擇的函數模型，預計平臺建立年的會員人數將超過2002千人，求的最小值．參考數據：，，．解：（1）從表中數據可知，所選函數必須滿足兩個條件：增函數，增長速度越來越快．因為模型①為減函數，模型②增長速度越來越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個條件，所以選擇模型③．將數據代入可得，解得，所以，函數為，．（2）由（1）知，則．得，，故t最小值為14．18.已知函數的最小值為1．（1）求的值和的最小正周期；（2）求在上的單調遞增區間；（3）若成立，求的取值范圍．解：（1），由題意