第12講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系與10考點(diǎn)精講（解析版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)課

第12講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u第12講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1一、直線與圓的位置關(guān)系 2基礎(chǔ)知識 2考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系 5考點(diǎn)2求解圓的切線問題及切線方程 6考點(diǎn)3圓的弦長 8考點(diǎn)4直線與部分圓的相交 10考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值 13二、圓與圓的位置關(guān)系 17基礎(chǔ)知識 17考點(diǎn)6圓與圓的位置關(guān)系 20考點(diǎn)7由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù) 21考點(diǎn)8兩圓相切 22考點(diǎn)9兩圓的公共弦 25考點(diǎn)10直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用 27三、課后作業(yè) 32單選題 32多選題 34填空題 36解答題 37

一、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個數(shù)兩個一個零個圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點(diǎn)的圓的切線方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.②重要結(jié)論：a.經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

b.經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為.3．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦就是經(jīng)過這點(diǎn)的直徑，過這點(diǎn)和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實(shí)際問題的步驟：①審題：認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)；②建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)及已知條件，求出幾何模型的方程；③求解：利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識求解；④還原：將運(yùn)算結(jié)果還原為對實(shí)際問題的解釋.(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個定點(diǎn)的距離問題，可以選擇兩個定點(diǎn)所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問題，可以考慮將三角形的三個頂點(diǎn)全部放在坐標(biāo)軸上.考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系【例1.1】（23-24高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）直線2x+y+4=0與圓x2A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【解題思路】求出圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可得到結(jié)論.【解答過程】圓x2+y其圓心坐標(biāo)為0,1，半徑為r=5圓心到直線2x+y+4=0的距離d=1+4直線與圓的位置關(guān)系為相切.故選：C.【例1.2】（23-24高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）直線l：y=x+2與圓C：x2+y?1A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離判斷即可.【解答過程】圓C：x2+y?12=5故圓心到直線的距離d=0?1+2所以直線與圓相交，故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）若直線l:ax+y=1與圓x2+y2=1A．43 B．?43 C．0 【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程，即可求解.【解答過程】因?yàn)橹本€l:ax+y=1與圓x2可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，即?1a2+1故選：C.【變式1.2】（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)P(a,b)在圓x2+y2=1外，則直線ax+by=1A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在圓外可得a2【解答過程】點(diǎn)P(a,b)在圓x2+y圓心0,0到直線的距離為1a故選：C.考點(diǎn)2求解圓的切線問題及切線方程【例2.1】（23-24高二上·河北承德·階段練習(xí)）過點(diǎn)P2,3引圓x2+A．x=2 B．12x?5y+9=0C．x=2或y=3 D．x=3或y=2【解題思路】求出圓心和半徑，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線距離等于半徑，得到方程，求出答案.【解答過程】根據(jù)題意，圓x2+y其圓心為1,2，半徑r=1；過點(diǎn)P2,3引圓x若切線的斜率不存在，切線的方程為x=2，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則有y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0則有|1?k|1+k2=1，解得k=0，此時切線的方程為綜上：切線的方程為x=2和y=3．故選：C．【例2.2】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）過點(diǎn)P0,2作圓C:x2?4x+y2+3=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為AA．14 B．142 C．144 【解題思路】先求PC以及切線長，再根據(jù)等面積法即可得結(jié)果.【解答過程】圓C:x2?4x+易知PC=22，圓C的半徑r=1，所以切線長所以四邊形PACB的面積為SPACB所以根據(jù)等面積法知：SPACB所以AB=故選：B．【變式2.1】（23-24高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,3作圓M:x2+y2=1A．3 B．23 C．7 D．【解題思路】先求得圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長定理即可求得AB的值.【解答過程】因?yàn)閳AM:x所以圓M的圓心為M(0,0)，半徑為r=1，因?yàn)锳B與圓M相切，切點(diǎn)為B，所以AB⊥BM，則AB2因?yàn)锳M=所以AB=故選：B.【變式2.2】（23-24高二上·北京東城·期中）已知圓M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，且切點(diǎn)為A，A．2 B．5 C．3 D．4【解題思路】|PM||AB|最小值滿足四邊形PAMB的面積最小，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離最小值，即可求解．【解答過程】∵圓M:x∴(x?1)2+如圖所示，

連接AM，BM，四邊形PAMB的面積為12要使|PM||AB|最小，則只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小，∵|AM|=2，∴只需|PA|最小，|AM|=|PM所以只需直線2x+y+2=0上的動點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離最小，其最小值是圓心到直線的距離d=|2+1+2|此時PM⊥l，|PA|=1，則此時四邊形PAMB的面積為2，即|PM||AB|的最小值為4．故選：D．考點(diǎn)3圓的弦長【例3.1】（23-24高二上·廣東·階段練習(xí)）直線x?y+3=0被圓x2+yA．5 B．25 C．5 【解題思路】判斷出圓心在直線上即可求解.【解答過程】圓x2+y2+2x?4y=0顯然圓心在直線x?y+3=0上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長為25故選:B．【例3.2】（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）已知直線x+2y=0與圓M：x2+y2?2x?4y?2=0交于A，BA．2 B．22 C．23【解題思路】利用半弦長、半徑、弦心距的關(guān)系，即可得到弦長.【解答過程】由題意得圓M：x?12則圓心M到直線x+2y=0的距離為1+2×21所以AB=2故選：B.【變式3.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如圖，圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0?1,1，AB為過點(diǎn)P0的弦，若弦

A．x+y?2=0 B．x?2y+5=0C．x?y+2=0 D．x+2y?15=0【解題思路】由題意，AB⊥OP，則kAB=?1【解答過程】圓x2+y2=8弦AB被點(diǎn)P0平分時，AB⊥OP，則k直線AB過點(diǎn)P0，方程為y?1=x+1，即x?y+2=0故選：C.【變式3.2】（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）圓x2+y2?2x+4y?4=0與直線x+my+2m?2=0(m∈R)交于AA．2 B．25 C．6 D．【解題思路】根據(jù)圓的一般方程求出圓的圓心和半徑，再求出直線過定點(diǎn)，利用弦長公式和幾何關(guān)系求最值.【解答過程】圓x2+y2?2x+4y?4=0直線x+my+2m?2=0化為my+2+x?2=0，令x?2=0y+2=0所以直線過定點(diǎn)2,?2，設(shè)圓心為C1，?2，直線過定點(diǎn)為D2,?2，根據(jù)幾何關(guān)系可知，圓心到直線距離的最大值為故選：D.考點(diǎn)4直線與部分圓的相交【例4.1】（23-24高二上·河南許昌·階段練習(xí)）直線y=x+b與曲線y=1?x2有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)bA．?2,2C．1,2 D．【解題思路】由題可知曲線表示一個半圓，然后利用數(shù)形結(jié)合即可.【解答過程】由曲線y=1?x2當(dāng)直線y=x+b與半圓y=1?x2相切時，b此時直線為y=x+2當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)0,1時，b=1，此時直線為y=x+1，要使直線y=x+b與曲線y=1?x2有兩個交點(diǎn)，則b故選：C.【例4.2】（23-24高二上·江蘇·期中）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?(y?1)2A．43,2 C．?2,43∪【解題思路】先求出直線l:kx?y?2=0所過的定點(diǎn)(0,?2)，再將曲線1?(y?1)2=x?1轉(zhuǎn)化為x?1【解答過程】直線l:kx?y?2=0恒過定點(diǎn)將1?(y?1)2=x?1∴曲線C:1?(y?1)2=x?1表示以(1,1)為圓心，半徑為1，且位于直線x=1右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時，l與曲線C有兩個不同的交點(diǎn)，此時k=2，直線記為l1當(dāng)l與半圓相切時，由|k?3|k2+1=1，得當(dāng)43<k≤2時，l與曲線故選：A.【變式4.1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若直線y=mx?2m和曲線y=1?x2有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)mA．0,33 B．?33,0 【解題思路】由直線過定點(diǎn)2,0以及曲線形狀，由直線和圓的位置關(guān)系利用點(diǎn)到直線距離公式可得?3【解答過程】易知直線y=mx?2m過定點(diǎn)2,0，曲線y=1?x2當(dāng)直線與半圓相切時可得d=?2m1+m結(jié)合圖象可得m=?3若直線y=mx?2m和曲線y=1?x2即實(shí)數(shù)m的取值范圍是?3故選：B.【變式4.2】（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）曲線y=4?x2與直線y=kx?2+4A．512,1 C．34,1 【解題思路】畫出圖象，轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行求解.【解答過程】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

由題意可得，曲線y=4?x2的圖象為以0,0為圓心，2為半徑的半圓，直線l由圖當(dāng)直線l與半圓相切時，圓心到直線l的距離d=r，即4?2k1+k2當(dāng)直線l過B?2,0點(diǎn)時，直線l的斜率k=則直線l與半圓有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍為34故選:C.考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值【例5.1】（23-24高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知圓C：x(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)Px,y向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且PM=PO【解題思路】（1）分切線過原點(diǎn)或切線的斜率為?1兩種情況說明，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑列方程求解即可；（2）先利用切線長公式及PM=PO得到x,y的關(guān)系，再代入PO=【解答過程】（1）圓C的方程為：x+12+y?22=2當(dāng)圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點(diǎn)或切線的斜率為?1，當(dāng)切線過原點(diǎn)時，設(shè)切線方程為y=kx，則?k?21+k2當(dāng)切線斜率為?1時，設(shè)切線方程為x+y+b=0，則?1+2+b1+1=2，解得故所求切線的方程為y=2±6x或x+y+1=0（2）由圓的切線長公式可得PM2又PM=PO，得整理得2x?4y+3=0，即x=2y?3此時PO=當(dāng)且僅當(dāng)y=35，即P?310【例5.2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓C：x2+y2?2y=0，過直線l：x+y+1=0上任意一點(diǎn)P，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(1)求點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值；(2)求｜AB｜的最小值.【解題思路】（1）根據(jù)圓心到直線的距離即可求解，（2）根據(jù)勾股定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)可得AB=21?1【解答過程】（1）圓C：x2+y圓心C0,1到直線l：x+y+1=0所以圓上的點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值為R+d=1+（2）AB=2故當(dāng)PC最小時，此時AB最小，又（1）知PC的最小值為d=2，故AB【變式5.1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知Mx,y，A1,2，B?2,?1，且MA(1)求MQ的最大值和最小值；(2)求y?2x?2(3)求y?x的最大值和最小值．【解題思路】（1）由MA=2MB（2）將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)問題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計算；（3）將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切問題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計算.【解答過程】（1）由題意，因?yàn)镸A=所以x?12整理得x+52所以點(diǎn)M的軌跡為以?5,?4為圓心，6為半徑的圓.所以點(diǎn)?5,?4到Q?2,2的距離為?5+2所以MQ的最小值為35?6，最大值為（2）設(shè)y?2x?2=k，則由題意kx?y?2k+2=0與x+52所以|?5k+4?2k+2|k解得0≤k≤84所以y?2x?2的最大值為84（3）設(shè)y?x=b，則x?y+b=0當(dāng)直線與圓相切時，截距b取到最值，所以|?5+4+b|2=6，解得b=1?62所以y?x的最大值為1+62，最小值為1?6【變式5.2】（23-24高二上·海南儋州·期中）直線l:m+1x+2m+1(1)求出定點(diǎn)P的坐標(biāo).當(dāng)直線l被圓C截得的弦最短時，求此時l的方程；(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積最大時，求直線l方程.【解題思路】（1）將直線化為mx+2y?7+x+y?4=0，令x+2y?7=0x+y?4=0即可求解；當(dāng)l與PC垂直時，直線l（2）方法1：當(dāng)CP⊥l時，sin∠ACB有最大值，此時面積有最大值；方法2：根據(jù)垂徑定理與點(diǎn)到直線的距離公式將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)到直線的距離d【解答過程】（1）由題意知l可化為mx+2y?7故x+2y?7=0x+y?4=0，解得x=1y=3，即P1,3,∴直線因?yàn)镃:x?3所以圓C的圓心為3,2，半徑r=4，如圖所示：kPC當(dāng)直線l被圓截得的弦長最短時，l與PC垂直，∴k∴y?3=2x?1，即2x?y+1=0（2）方法1，∵SABC=∴當(dāng)CP⊥l時sin∠ACB此時，l與PC垂直，kPC=2?3∴y?3=2x?1，即2x?y+1=0方法2，設(shè)圓心到直線AB的距離為d，則AB=2∴S當(dāng)d2由d2=5，d=m+1?3∴l(xiāng):2x?y+1=0.

二、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時，兩圓有兩個公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時，兩圓只有一個公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時，兩圓無公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對應(yīng)的直線上，③表示過兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.4．圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過同一定點(diǎn)(a,b)的圓系方程是.

(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點(diǎn)的圓系方程是.(5)過兩圓:和:的交點(diǎn)的圓系方程是().(其中不含有:,注意檢驗(yàn)是否滿足題意,以防漏解).①當(dāng)時，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時，l為過兩圓公共切點(diǎn)的直線方程.考點(diǎn)6圓與圓的位置關(guān)系【例1.1】（23-24高二上·甘肅慶陽·期末）圓M：x?12+y2=4A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離【解題思路】求出兩圓的圓心距，則有R?r<MN【解答過程】圓M的圓心為M1,0，半徑為r=2；N:則圓N的圓心為N?2,?1，半徑為R=兩圓心之間的距離MN=且滿足R?r<MN故選：A.【例1.2】（23-24高二上·北京·期中）圓C1:x2+A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【解題思路】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷.【解答過程】由題意，圓C1:x2+圓C2:(x?3)2+所以兩圓圓心距|C故選：B.【變式1.1】（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）圓x2+y2=1A．相交 B．相離C．內(nèi)含 D．外切【解題思路】首先得到兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可判斷.【解答過程】圓x2+y2=1圓x2+y2?2x?2y=0即x?1所以O(shè)1O2所以兩圓相交.故選：A.【變式1.2】（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）圓C1:xA．外切 B．相交C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【解題思路】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圓心距以及兩半徑之間的關(guān)系即可得解.【解答過程】兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2+y?1圓心分別為0,1,3,0故選：C．考點(diǎn)7由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【例2.1】（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知兩圓x2+y2=1和xA．1,15 B．1,15 C．3,5 D．3【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍.【解答過程】由圓x2+y2=1由圓x2+y?a2=16(a>0)，設(shè)圓心C所以r2?r故選：C.【例2.2】（23-24高二上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2A．?9 B．?11 C．9 D．11【解題思路】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【解答過程】圓C1:x圓C2:x則其圓心及半徑為：C2(4,?3),r2=因?yàn)閳AC1與圓C2相內(nèi)切，所以|C1C故選：B.【變式2.1】（23-24高二上·全國·期末）若圓(x?a)2+y2=1(a≥0)與圓xA．[0,23] B．[1,5] C．[23【解題思路】根據(jù)題意得到兩圓位置關(guān)系，從而得到不等式，解出即可.【解答過程】圓(x?a)2+y2=1圓x2+(y?2)2=25因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，所以兩圓相切或相交，則有r2即4≤a2+4≤6，解得12≤a故選：C.【變式2.2】（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）若圓C1:x2+y2A．9 B．11 C．1 D．21【解題思路】先求出兩圓圓心和半徑，再根據(jù)兩圓外切可得兩圓圓心距等于半徑之和，進(jìn)而列出方程求解即可.【解答過程】由圓C1:x2+由圓C2:x則圓心C23,4，半徑r2=25?m因?yàn)閮蓤A外切，所以C1C2=r故選：A.考點(diǎn)8兩圓相切【例3.1】（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）兩圓C1:x2+y2A．1 B．2 C．3 D．0【解題思路】先判斷出兩圓外切，從而得到公切線條數(shù).【解答過程】C1:xC2:(x+3)則圓心距C1故公切線有3條.故選：C.【例3.2】（2024高二上·河北·學(xué)業(yè)考試）若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，推導(dǎo)出C1為MC2的中點(diǎn)，A為BM【解答過程】如下圖所示，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，由于直線l與圓C1:x+12+y2則AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【變式3.1】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2+4x+3=0，圓A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【解答過程】由題意知：C1所以圓C1的圓心為(?2,0)，半徑為1；圓C2的圓心為對于A，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x+3y=0對于B，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x?3y=0對于C，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線x+35對于D，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d即直線x?35故選：D.【變式3.2】（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知圓C1：x2+y2=1，圓A．圓C1與圓C2B．圓C1與圓CC．x=?1是圓C2與圓CD．圓C1與圓C2上均恰有兩點(diǎn)到直線【解題思路】根據(jù)兩圓圓心距離等于半徑和即可得兩圓外切判斷AB，根據(jù)直線與兩圓都相切判斷C，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑判斷D.【解答過程】由條件可得：圓C1：x2+y2圓C2：x?32+y?42因?yàn)镃1C2=3對于選項(xiàng)C，圓心C10,0到直線x=圓心為C23,4到直線x=所以x=?1是圓C對于選項(xiàng)D，圓心C10,0到直線3x+4y?5=0的距離所以圓C1：x

故選：C.考點(diǎn)9兩圓的公共弦【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期中）圓x2+y2?4=0A．2 B．22 C．32 【解題思路】求出圓的公共弦所在直線，利用圓中半徑、半弦長、圓心距之間的關(guān)系求弦長.【解答過程】兩圓方程作差可得：?4x+4y?8=0，即兩圓公共弦所在直線方程為x?y+2=0，因?yàn)閳Ax2+y2?4=0所以圓心到公共弦所在直線距離d=0?0+2故弦長為l=2r故選：B.【例4.2】（23-24高二上·浙江臺州·期中）圓C1：x2+y2?2x+10y?24=0與圓A．x+2y+4=0 B．2x?4y+9=0C．x?2y+4=0 D．2x?y?4=0【解題思路】將兩圓方程作差即可得相交弦方程.【解答過程】由C1:(x?1)2+由C2:(x+1)2+所以32將兩圓方程作差得x2+y所以公共弦所在直線方程為2x?4y+9=0.故選：B.【變式4.1】（23-24高二上·海南海口·期中）圓C1：x2+y2?8x+2y+1=0與圓C2：x2+A．23 B．22 C．85【解題思路】判斷兩圓相交，求出公共弦所在直線方程，再利用圓的弦長公式計算得解.【解答過程】圓C1：(x?4)2+(y+1)2=16的圓心C1(4,?1)，半徑r1顯然|C1C2|=2把圓C1與圓C2的方程相減得直線AB的方程8x?4y?4=0，即點(diǎn)C2(0,1)到直線AB的距離d=2故選：C.【變式4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）圓O1:x2+y2=4和圓A．公共弦AB所在直線方程為x?2y+1=0B．公共弦AB的長為4C．線段AB中垂線方程為2x?y=0D．∠A【解題思路】A選項(xiàng)，根據(jù)兩圓的方程求公共弦所在直線的方程；B選項(xiàng)，利用勾股定理求弦長；C選項(xiàng)，根據(jù)圓的性質(zhì)得到線段AB中垂線過圓心O1，然后求直線方程；D選項(xiàng)，利用余弦定理得到cos∠AO【解答過程】聯(lián)立兩圓的方程得到2x?4y+4=0，即x?2y+2=0，所以公共弦AB所在的直線方程為x?2y+2=0，故A錯；由O1：x2+y2=4得O10,0，半徑r1由直線AB的方程得線段AB中垂線的斜率為-2，根據(jù)圓的性質(zhì)得線段AB中垂線過圓心O1，所以中垂線方程為：y=?2x，即2x+y=0圓O2的方程可整理為x+12+在三角形AO2B中，根據(jù)余弦定理得cos故選：D.考點(diǎn)10直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例5.1】（23-24高二上·廣東潮州·期中）某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需要一個支柱支撐，求支柱A2P2【解題思路】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓的一般方程并利用待定系數(shù)法求出圓方程，代入點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)即可求出支柱A【解答過程】以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，易知點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為?18,0,18,0設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2因?yàn)辄c(diǎn)A，B，P在所求的圓上，所以182?18D+F=0182故圓拱所在的圓的方程是x2+將點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=6代入上述方程，解得y=?24+12即支柱A2【例5.2】（23-24高二上·重慶云陽·階段練習(xí)）如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B(1)求外籍船航行路徑所在的直線方程；(2)這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？【解題思路】（1）首先以O(shè)為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，南北方程為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用截距式求解直線方程即可；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系和弦長公式即可得到答案.【解答過程】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，南北方程為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:則A(40,0),B(0,30)，則直線AB:x40+外籍船航行路徑所在的直線方程為:3x+4y?120=0;（2）點(diǎn)O到直線AB的距離d=|120|所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到；檢測路線的長度l=2r則檢測時間t=14所以外籍輪船被監(jiān)測到的持續(xù)時間為12【變式5.1】（23-24高二上·安徽阜陽·期中）某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為1米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實(shí)線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離52米.在建筑物底面中心O的北偏東45°方向52米的點(diǎn)A(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離2米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.【解題思路】（1）建立坐標(biāo)系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；（2）根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點(diǎn)可得范圍.【解答過程】（1）設(shè)O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，O0,0因?yàn)镺A=52,∠AOx=45依題意得，游客所在位置為B?2,0，即k則直線AB的方程為y=57x+2所以圓心O到直線AB的距離d=10所以直線AB與圓O相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi).（2）由圖知，過A的直線與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設(shè)直線l過點(diǎn)A且和圓相切，①若直線l垂直于x軸，則直線l不會和圓相切；②若直線l不垂直于x軸，設(shè)l:y?5=kx?5，整理得l:kx?y+5?5k=0所以圓心O到直線l的距離為5?5kk2+1=1，解得所以l:y?5=34x?5即3x?4y+5=0或4x?3y?5=0，觀景直道所在直線方程為y=?5設(shè)兩條直線與y=?52的交點(diǎn)為由3x?4y+5=0y=?52由4x?3y?5=0y=?52所以DE=即觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為4.375米.【變式5.2】（23-24高二上·河北·期中）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求該圓弧所在圓的方程；(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）【解題思路】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心的位置，結(jié)合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數(shù)量.【解答過程】（1）由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，則r2=8故該圓弧所在圓的方程為x2（2）設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則d2解得d=242.24若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為5×2.5+4×0.5=14.5>242.24若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為4×2.5+3×0.5=11.5<242.24綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車．

三、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）直線ax+y?a=0a∈R與圓(x?2)2+A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【解題思路】判出直線ax+y?a=0a∈R恒過定點(diǎn)1,0【解答過程】由ax+y?a=0?y=?ax?1，所以直線ax+y?a=0恒過定點(diǎn)1,0因?yàn)?1?2)2+02<4所以直線ax+y?a=0與圓(x?2)2故選：B.2．（23-24高二上·北京·期中）已知圓C1:x2+A．相交 B．外離 C．外切 D．內(nèi)含【解題思路】分別考慮C1上兩點(diǎn)0,?2和0,?4與C【解答過程】由于點(diǎn)0,?2和0,?4都在圓x2+y2+6y+8=00,?4在圓x2故選：A.3．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）兩圓x2+y2=1A．22 B．2 C．12【解題思路】兩圓x2+y2=1【解答過程】兩圓的圓心分別為0,0,?1,1,半徑均為1，故圓心距離為∵圓x2+y(x2+∵圓C1:x2+d=11+1=12∴公共弦長|AB|=21?故選：B．4．（23-24高二上·湖南長沙·期末）直線l:x+y=2，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0．則直線A．2 B．4 C．23 D．【解題思路】將圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得直線l過圓心C1,1【解答過程】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y?12=4所以直線l被圓C所截得的弦長等于直徑長度4.故選:B．5．（23-24高二上·四川成都·期末）圓O1:x2+y2A．2x?3y+3=0 B．2x?3y?5=0C．2x+3y=0 D．2x?3y=0【解題思路】根據(jù)兩圓公共弦方程特征進(jìn)行求解即可.【解答過程】兩個圓的方程相減，得x2故選：C.6．（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知圓C：(x?1)2+(y?1)2=4A．直線與圓相切 B．直線與圓相離C．直線與圓相交且所截弦長最短為23 【解題思路】求出直線經(jīng)過定點(diǎn)A，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識可知當(dāng)直線與過定點(diǎn)A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，由此可求出答案.【解答過程】由題意，圓(x?1)2+(y?1)2=4直線x+my?m?2=0變形得x?2+my?1=0，得直線過定點(diǎn)∵2?12+1?1由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過定點(diǎn)A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，此時弦長為2r故選：C.7．（23-24高二上·貴州黔南·期中）已知圓C：x2+y2?4x?2my+m2+m=0，過點(diǎn)A．?∞,?1∪C．?1,4 D．?【解題思路】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到4?m>0，求出m的大范圍，再由點(diǎn)1,1在圓外，得到點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，從而求出參數(shù)的取值范圍.【解答過程】圓C：x2+y則圓心為2,m，半徑r=4?m，且4?m>0，則m<4又過點(diǎn)1,1可作兩條直線與圓C相切，所以點(diǎn)1,1在圓外，所以1?22+1?m2>4?m綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故選：D.8．（23-24高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知圓C:x?322+y+32=16A．?7,+∞ B．?7,18 C．?∞,?7【解題思路】根據(jù)兩圓有四條公切線得兩圓外離，由兩圓的位置關(guān)系可得答案.【解答過程】因?yàn)閮蓤A有四條公切線，所以兩圓外離，因?yàn)閳AC的圓心為32圓D:x+22圓D的圓心為?2,4，半徑為所以32+2故選：B.多選題9．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓C:x?12+y?22A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為2C．點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是5D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為2x?y?5=0【解題思路】對于A，l:m(2x+y?7)+x+y?4=0，聯(lián)立2x+y?7=0x+y?4=0求定點(diǎn),根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可求解；對于B，令x=0求y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得弦長；對于C，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離即可求解最值，對于D，根據(jù)直線l被圓C截得弦長最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線l，求直線斜率，進(jìn)而求出參數(shù)m【解答過程】由l:m(2x+y?7)+x+y?4=0，則2x+y?7=0x+y?4=0，得x=3y=1，即l恒過定點(diǎn)由(3,1)到圓心(1,2)的距離d=5<5，故定點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，故直線l與圓令x=0，則(0?1)2+(y?2)2=25，可得y=2±26，故圓點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心(1,2)到定點(diǎn)(3,1)的距離，故最大值為5，C正確，要使直線l被圓C截得弦長最短，只需(3,1)與圓心(1,2)連線垂直于直線l，則kl所以?2m+1m+1=2，可得m=?34故選：ACD．10．（23-24高二上·河南·期末）已知圓O1:x2+A．圓O2與xB．兩圓公共弦所在直線的方程為x?y+1=0C．有且僅有一個點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作兩條與兩圓都相切的直線D．兩圓的公切線段長為7【解題思路】利用圓與圓的位置關(guān)系，圓與圓的公切線條數(shù)，逐個選項(xiàng)分析即可.【解答過程】

圓O1:(x?1)2+y2=1的圓心為O1對于A，顯然圓O2與x對于B，易知兩圓相交，將方程x2+y2?2x=0對于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因?yàn)閮蓤A半徑不相等，所以公切線交于一點(diǎn)P，即過點(diǎn)P可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對于D，因?yàn)镺1O2故選：ACD.填空題11．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）圓C1:x?m2+y+22=9與圓C【解題思路】利用C1C2【解答過程】因?yàn)閳AC1:x?m所以C1m,?2,由題意知C1C2所以m+12+m+22=25故答案為：2或?5.12．（23-24