山東省煙臺市、德州市2025屆高三下學期二模考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市、德州市2025屆高三下學期二模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題集合，集合，所以.故選：D2.已知復數滿足，則在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由得，則在復平面內所對應的點為，位于第三象限.故選：C.3.已知向量，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，則，當時，有最小值為.故選：A4.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，P為上一點，且滿足.若線段的中垂線過原點O，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，且由橢圓定義可知，將代入到中，可得，即，解得，那么.因為線段的中垂線過原點，所以，又因為，所以，那么是以為直角頂點的直角三角形.在中，根據勾股定理可得，其中，將，代入，可得，即，化簡可得，即.因為橢圓的離心率，且，所以.故選：D.5.一化學器皿為圓臺形狀，其上、下底面半徑分別為1cm和5cm，高為10cm（器皿厚度忽略不計）.現將該器皿水平放置后（上底位于上方）注入鹽酸溶液，若溶液高度恰為5cm，則溶液體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為溶液高度恰為5cm，所以溶液的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以溶液的體積.故選：B6.已知函數在上單調遞增，且其圖象關于點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數在上單調遞增，得，解得，由的圖象關于點對稱，得，解得，于是，，所以.故選：C7.已知定義在上的函數滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，可得是以4為周期的周期函數，則.故選：D.8.若實數x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,所以且,故且,所以,故,,所以,所以,故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.一組遞增數據,,,,的平均數為3，方差為4，極差為6，若，則（）A.,,,,的極差為12B.,,,,的方差為16C.,,,,的第80百分位數為D.,,,,,,,,,的平均數為5【答案】ABD【解析】對于選項A:因為數據的極差為6，所以.根據可知：，.所以，所以A正確.對于選項B：因為數據的方差為4，，所以根據方差的性質可知：數據的方差為.所以B正確.對于選項C：因為，為整數，則第80百分位數是第4項與第5項數據的平均值，即，所以C錯誤.對于選項D：因為數據的平均數為3，，所以數據的平均數為.所以數據,的平均數為.所以D正確.故選：.10.已知拋物線與直線交于A，B兩點，則下列說法正確的有（）A.若直線過拋物線的焦點，則B.若線段的長度為8，則C.當時，拋物線上恰有三個點到直線的距離為D.無論p為何值，拋物線上都恰有三個點M，使得為等腰三角形【答案】AC【解析】對A，若直線過拋物線的焦點，所以焦點為，即，故A正確；對B，，設，，則，，，代入驗證不成立，故B錯誤；對C，當時，，直線，設拋物線上點，，則到直線距離，即，有兩個解，或，，所以共有3個這樣的點P，故C正確；對D，為等腰三角形,∴，，三種情況，當時，M在AB垂直平分線上，設AB中點為，，即AB垂直平分線的方程為，聯立，得到，，所以方程有兩個解，故此時符合題意的點M有2個，如下圖，當時，M在以B為原點，AB為半徑的圓上，如圖，∵直線，∴傾斜角為，，故此時符合題意的點M至少一個，且不與重合，當時，M在以A為原點，AB為半徑的圓上，如圖，故此時符合題意的點M至少一個，綜上，無論p為何值，使得為等腰三角形的點M至少4個，故D錯誤，故選：AC.11.在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，，為棱上一動點，設，則（）A.無論為何值，都有B.當時，平面平面C.當時，過點和的平面截三棱錐所得截面面積的最小值為D.三棱錐外接球表面積的最小值為【答案】ACD【解析】以A為原點，以AB所在直線為x軸，以過A點且垂直于AB的直線為y軸，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，設，則，且，依題意得，，又，所以，，所以，把，代入得，所以，所以，所以，即無論為何值，都有，故A對；取平面的法向量為，因為，所以，所以，，，設平面的法向量為，所以，令，則，所以，所以，所以平面VBC不垂直于平面ABC，故B錯；當時，，所以，截面是三角形PBC，其面積為，其中h是P到BC的距離，因為，因為在棱上，設，所以，又，所以，所以當時，，所以當時，過點和的平面截三棱錐所得截面面積的最小值為，故C對；底面ABC是等邊三角形，其外接圓圓心（外心）在，半徑，設球心O的坐標為，其中d為球心到底面的距離，球心到A的距離，當且僅當時，，當最小時，三棱錐外接球表面積的最小，此時,解得，因為，所以符合題意，所以三棱錐外接球表面積的最小值為，故D對；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數為______.（用數字作答）【答案】【解析】因為，其中展開式的通項為（且），所以的展開式中含的項為，所以展開式中的系數為.故答案為：13.若函數與的圖象在第一象限內有公共點，則實數的取值范圍為_______.【答案】或【解析】若函數與的圖象在第一象限內有公共點，則方程在上有解，即方程在上有解，顯然不是方程的解，所以方程在上有解，則函數與函數的函數圖象有交點，又，所以時，，時，，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，又時，時；時，；時；所以或.故答案為：或.14.已知項數為的數列滿足，若數列中存在連續三項，使得成立，則稱數列為“友好數列”.當時，“友好數列”的個數為_______；當時，隨機選取一個數列，該數列是“友好數列”的概率為_________【答案】①6②.【解析】對于①：當時，數列共有種可能.需滿足，分情況討論：：可取0，1，2，對應，共3種；：可取0，1，共2種；：可取0，共1種；總數為.對于②：當時，數列共有種可能.需滿足存在至少一個三元組滿足條件：計算滿足前三個條件的數列數目：前三個元素滿足，有6種可能，任意，共有種.計算滿足后三個條件的數列數目：后三個元素滿足，有6種可能，任意，共有種.計算同時滿足兩個條件的數列數目：需滿足，，有4種可能.根據容斥原理，總數為所以概率為.故答案為：①6②.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）設D為邊的中點，若，的面積為14，求的長解：（1）由正弦定理可得，即.在中，由，得，所以，又，，所以，所以；（2）因為，所以，所以，所以，即，因為，即，所以，三角形中，由余弦定理可得，所以.16.如圖，梯形中，，，為的中點，將沿邊折起，使點C到達點P的位置.（1）證明：；（2）若二面角的大小為120°，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接交于點，連接，由題可得，且，所以為的中點，在中，，所以，同理，又，平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）可以點為坐標原點，以，方向和垂直于平面向上的方向分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題可知為等腰梯形，且，可得，由（1）可知，為二面角二面角的平面角，所以，從而，因為，所以點到平面的距離為，則有，，，，所以，，，設為平面的一個法向量，則有，令，則，設直線與平面所成角為，則有，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線：的焦距為4，點在上.（1）求的方程；（2）設過的左焦點的直線交的左支于點A，B，過的右焦點的直線交的右支于點C，D，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是面積為的平行四邊形，求直線的方程.解：（1）由雙曲線：的焦距為4，點在上，可得，所以，且，又因為，即，聯立方程組，解得，，所以的方程為.（2）由題意知，四邊形為平行四邊形，可得直線與平行，當直線斜率不存在時，令，代入雙曲線方程，可得，此時四邊形為矩形，面積為，不合題意；當直線斜率存在時，設直線方程為，則直線方程為，直線和的距離，設，，聯立方程組，整理的，則且，，又由雙曲線的漸近線的方程為，要使得過的左焦點的直線交的左支于點，可得，則，所以，化簡可得，解得，或，因為，所以，解得，故直線的方程為，即或.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數為增函數，求的值；（3）若函數有兩個不同的零點，求的取值范圍.解：（1）當時，，，所以，，，所以，在點處的切線方程為：，即；（2）因函數為增函數，所以對于恒成立，所以，當時，恒成立，即，即，當時，恒成立，即，即，綜上，得；（3）由，①當時，令，得，當時，，當時，，因為時，，，，所以在上存在一個零點，不合題意舍去.②當時，（ⅰ）當時，由（2）可知在上單調遞增，不合題意舍去；（ii）當時，令，得，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，當時，取得極大值，且，當時，取得極小值，又當時，，只需保證，即.所以，當時，在和上各存在一個零點；（ⅲ）當時，令，得，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，當時，取得極大值，當時，取得極小值，又，只需保證，即，解得，此時在，上各存在一個零點.綜上所述，的取值范圍為.近年來，全球數字化進程持續加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡稱AI）已然成為科技變革的核心驅動力.有媒體稱DeepSeek開啟了我國AI新紀元.某高校擬與某網絡平臺合作組織學生參加與AI知識有關的網絡答題活動，為了解男女學生參與答題意愿的差異，用比例分配的分層隨機抽樣方法在全體學生中抽取100人，設事件“學生報名參加答題活動”，“學生為男生”，據統計，，.19.（1）根據已知條件，完成下列列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否推斷該校學生報名參加答題活動與性別有關聯?性別男生女生合計未報名參加答題活動報名參加答題活動合計100（2）網絡答題規則：答題活動不限時間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定；每輪均設置道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對一題，則其本輪答題結束，答錯則繼續答題，直到第道題答完，本輪答題結束.已知甲同學報名參加答題活動，假設甲每道題回答是否正確相互獨立，且每次答對的概率均為.①求甲在一輪答題過程中答題數量的數學期望；②假設甲同學每輪答題答對前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分.記甲答題累計得分為的概率為，求的最大值.參考公式與數據：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）因為，所以報名參加答題活動人數為，又因為，所以報名參加答題活動的男生人數為，報名參加答題活動的女生人數為，又，所以樣本中男生人數為，女生人數為50，得到列聯表為：性別男生女生合計未報名參加答題活動203555報名參加答題活動301545合計5050100零假設為：學生報名參加答題活動與性別無關，則，依據小概