2.2.2 導數的幾何意義 課件 高二數學北師版 選擇性必修2

2.2.2導數的幾何意義第二章導數及其應用1.根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程.平均變化率的幾何意義【問題1】設函數y＝f(x)的圖象如圖，點

，點

，則

在

上的平均變化率為結合直線斜率的定義可知：函數在點P0到點P之間的平均變化率即為割線P0P的斜率.它表示什么？

xyx0x0+?xf(x0)f(x0+?x)y=f(x)OP?P0T?f(x0+?x)-f(x0)觀察右圖，當點

P沿著曲線y＝f(x)趨近于點

P0時，割線

P0P的變化趨勢是什么？我們發現，當點P(x,f(x))沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0(x0,f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點P0

處的切線.xyOy＝f(x)f(x0)x0T切線的定義：P0P在曲線y＝f(x)上任取一點P(x,f(x))此切線定義與初中學過的圓的切線定義有何不同

？導數f

′(x0)的幾何意義：割線P0P的斜率k切線P0T的斜率k0點P→點P0函數

y＝f(x)在x=x0處的導數f

′(x0)曲線y＝f(x)在點P0(x0,f(x0))處切線的斜率k0導數f

′(x0)的幾何意義P0TP0TP0T通過觀察，可以發現點P0

處的切線P0T比任何一條割線都更貼近點P0附近的曲線.

如圖，將點P0附近的曲線不斷放大，可以發現點P0附近的曲線越來接近于直線.因此，在點P0

附近，曲線y=f(x)可以用點P0處的切線P0T近似代替.PxyOT即思考：你能求出曲線y=f

(x)在點M(x0,f

(x0))處的切線方程是什么嗎？【例1】已知函數y=x2及自變量x0=-2.（1）分別對△x=l，0.5，0.1求y=x2在區間[x0，x0+△x]上的平均變化率，并畫出過點(x0，f(x0))的相應割線；（2）求函數y=x2在x0處的導數，并畫岀曲線y=x2在點(x0，f(x0))處的切線.解：當△x=l，0.5，0.1時，區間[x0，x0+△x]相應為[-2，-1]，[-2，-1.5]，[-2，-1.9]，y=x2在這些區間的平均變化率分別為令△x趨于0，可知函數y=x2在x0=-2處的導數為-4.如圖，其相應割線分別是經過點（-2，4）和點（-1，1）的直線l1，經過點（-2，4）和點（-1.5，2.25）的直線l2，經過點（-2，4）和點（-1.9，3.61）的直線l3.（2）函數y=x2在區間[x0，x0+△x]上的平均變化率為因此，曲線y=x2在點（-2，4）處的切線為經過點（-2，4），斜率為-4的直線l，如圖.

歸納總結求曲線在某點處的切線方程的步驟根據今天所學，回答下列問題：1.導數的幾何意義是什么？2.如何求函數在某點處的切線的方程？1.如圖，直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線，則f

′(x0)=()A.0.5B.3C.4D.52.曲線y=-2x2+1在點P(1，-1)處的切線方程為

.A4x+y-3=03.已知函數f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是(

)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3