貴州省貴陽市2023−2024學年度第二學期期末監測試卷高一 數學試題（含解析）

貴州省貴陽市2023?2024學年度第二學期期末監測試卷高一數學試題（含答案）一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．周明同學本學期的8次數學測驗成績為：.則這8次成績的第80百分位數為（

）A．86 B．88 C．90 D．87.53．已知平面向量，且，已知點坐標為，則點坐標為（

）A． B． C． D．4．關于事件和事件，下列說法錯誤的是（

）A．若與互為互斥事件，則B．若，則與互斥C．若與互斥，則D．若與相互獨立，則5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．若，則6．若樣本數據的平均數是62.3，方差為16，則對于樣本數據，下列結論正確的是（

）A．平均數是124.6，方差為64 B．平均數是124.6，標準差為32C．平均數是123.6，方差為32 D．平均數是123.6，標準差為87．如圖，在正方體中，點分別是的中點，過點的平面截該正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形8．在中，，且是邊上一點，且，則的值為（

）A． B．6 C． D．0二、多選題（本大題共2小題）9．中角所對的邊分別為，若，則下列結論正確的有（

）A．若，則有一個解B．若有兩個解，則有可能等于C．若為等腰三角形，則或4D．若為直角三角形，則一定為210．如圖，在正方體中，點在線段上運動時（包括點），下列命題正確的是（

）A．三棱錐的體積不變B．直線一定與平面平行C．直線與夾角余弦值的取值范圍為D．當時，二面角的余弦值為三、填空題（本大題共5小題）11．若復數滿足，則復數的虛部為.12．已知向量滿足，則.13．有一個底面邊長分別為的直三棱柱，如果該三棱柱存在內切球，即該球與三棱柱的各個面都相切.則該三棱柱的體積為.14．在中，角所對的邊分別為，若，且，則周長的最大值為.15．豌豆是自花傳粉?閉花受粉的植物，在自然條件下只能進行自交.豌豆葉子黃色（）相對綠色（）為完全顯性，即都表現為黃色，表現為綠色.現有遺傳因子組成為和的親本植株雜交，子一代植株的遺傳因子為.令子一代植株自交，獲得的子二代植株遺傳因子組成有三種類型：.據此回答下列問題：（1）通過子一代植株自交后，獲得的子二代植株的葉子顏色是綠色的概率為.（2）若隨機選擇一株子二代植株進行自交，獲得的子三代植株的葉子顏色是綠色的概率為.四、解答題（本大題共5小題）16．在中，點在邊上，且，設.(1)用表示；(2)若且，求.17．在中，角的對邊分別為，已知.(1)求的值；(2)求的面積.18．根據央視網消息顯示，貴州省文旅廳網站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情況》，其中顯示，假期前三天，根據抽樣調查結果，全省接待游客2038.26萬人次（用2038萬計算），較2022年假日同期增長（用計算），恢復到2019年假日同期水平的（用計算）.某大學旅游管理專業的學生陳楓為了了解“紅色旅游景區”的游客對景區歷史文化背景的知曉情況，隨機抽選了若干名游客進行問卷調查，根據問卷得分，統計如下：得分頻率0.100.200.400.200.10(1)求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（單位：萬），精確到0.01.(2)根據表格估計“紅色旅游景區”的游客對景區歷史文化背景知曉情況問卷得分的平均水平（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）.(3)陳楓為了答謝游客的參與，在問卷得分為的游客中按的比例抽選6人作為景區“幸運游客”，景區在“幸運游客”中隨機選取兩人評為“五星游客”，求得分為，的游客中各有一人評為“五星游客”的概率.19．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面為的中點.(1)設平面與直線相交于點，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大小.20．材料一：我們可以發現這樣一個現象：隨機生成的一元多項式，在復數集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個數（包括重復因式）就是被分解的多項式的次數.事實上，數學中有如下定理：代數基本定理：任何一元次復系數多項式方程至少有一個復數根.材料二：由代數基本定理可以得到：任何一元次復系數多項式在復數集中可以分解為個一次因式的乘積.進而，一元次多項式方程有個復數根（重根按重數計）.下面我們從代數基本定理出發，看看一元多項式方程的根與系數之間的關系.設實系數一元二次方程,在復數集內的根為，容易得到,設實系數一元三次方程①,在復數集內的根為，可以得到，方程①可變形為,展開得②,比較①②可以得到根與系數之間的關系：.閱讀以上材料，利用材料中的方法及學過的知識解決下列問題：(1)對于方程在復數集內的根為，求的值；(2)如果實系數一元四次方程在復數集內的根為，試找到根與系數之間的關系；(3)已知函數，對于方程在復數集內的根為，當時，求的最大值.

參考答案1．【答案】D【分析】由復數乘法以及復數的幾何意義即可求解.【詳解】，它對應的點位于第四象限.故選D.2．【答案】B【分析】數學測驗成績從小到大排列，根據第80百分位的定義計算可得答案.【詳解】周明同學本學期的8次數學測驗成績為：，因為，所以這8次成績的第80百分位數為.故選B.3．【答案】A【分析】直接由向量坐標的線性運算即可求解.【詳解】設點坐標為，則，解得.故選A.4．【答案】A【分析】由互斥事件、對立事件定義可判斷ABC，由獨立事件定義可判斷D.【詳解】對于A：若與互為互斥事件但不對立，則不成立，故A錯誤；對于B：若，這意味著若發生則一定不發生，換言之則與互斥，故B正確；對于C：若與互斥，則，，故C正確；對于D：若與相互獨立，則，故D正確.故選A.5．【答案】B【分析】由線面、面面位置關系即可逐一判斷各個選項.【詳解】對于A：若，且，則或相交或或，故A錯誤；對于B：由線面平行的性質可知，若，則，故B正確；對于C：設，，，又，所以，但不成立，故C錯誤；對于D：若，則或異面，故D錯誤.故選B.6．【答案】D【分析】直接由平均數、方差（標準差）的性質即可求解.【詳解】若樣本數據的平均數是62.3，方差為16，則對于樣本數據，平均數是，標準差為.故選D.7．【答案】C【分析】把截面補形，利用共面可得結果．【詳解】延長與直線相交于連接與分別交于點連接，則五邊形即為截面.故選C.8．【答案】C【分析】根據已知條件兩邊平方可得，結合三角形面積公式得，從而得到，最后代入計算得出結果.【詳解】因為，且，所以,因為，所以為角平分線，兩邊平方得,化簡得，所以由三角形面積公式，有,得到,（其中為角平分線），代入化簡得,因此可得,所以.故選C.【關鍵點撥】屬于向量二級結論，說明是角平分線.證明如下：設,，則,且,由平行四邊形法則，易知四邊形為菱形，為菱形的對角線，故由菱形對角線平分對角的性質可知，是，即的角平分線.9．【答案】AB【分析】對于A，由余弦定理得到，故只有一個解；對于B，由余弦定理得，根據得到有兩個解；對于C，當時，，當時，由正弦定理求出；對于D，若為直角時，，若為直角時，.【詳解】對于A：由余弦定理得，即，故，解得，故有一個解，故A正確；對于B：當時，由余弦定理得，即，解得，因為，而，故有兩個解，故B正確；對于C：當時，，當時，，由正弦定理得，即，其中，故，解得，故C錯誤；對于D：若為直角，，故，若為直角，，故，則不一定為2，故D錯誤.故選AB.10．【答案】ABD【分析】對于A，只需證明平面即可判斷；對于B，直接由線面平行的判定定理證明平面即可判斷；對于C，由定義法可以得知直線與夾角的大小等于，故只需求出的范圍即可進一步判斷；對于D，設分別為靠近的三等分點，由定義法可知二面角的平面角為，進一步結合解直角三角形知識即可判斷.【詳解】對于A：連接，設該正方體的棱長為，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離相等，故，故A正確；對于B：因為，平面，平面，所以平面，故B正確；對于C：因為，所以直線與夾角的大小等于，設，因為平面，平面，所以，所以，在等腰直角三角形中，點在斜邊上，設到的距離為，所以，所以的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤；對于D：設分別為靠近的三等分點，連接，顯然，因為，所以，又平面，所以平面，所以，而，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，平面平面，平面，平面，所以二面角的平面角為，而在直角三角形中，，從而，故D正確.故選ABD.11．【答案】【分析】直接由復數除法運算以及虛部的概念即可求解.【詳解】，故復數的虛部為.12．【答案】【分析】根據已知模長應用數量積的運算律計算即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以所以.13．【答案】【分析】由等面積法求得底面內切圓的半徑，進一步結合已知可得三棱柱的高，即可求解.【詳解】因為，所以底面是斜邊為5的直角三角形，設其內切圓半徑為，三棱柱的高為，由等面積法得，解得，如果該三棱柱存在內切球，這意味著，所以該三棱柱的體積為.14．【答案】【分析】先由已知條件結合正弦定理得到，然后證明，最后說明當時，即可得到周長的最大值為.【詳解】由已知有，結合正弦定理就有，故.從而，故，從而，由知.而當時，滿足全部條件，此時.所以周長的最大值為.15．【答案】【分析】（1）第一空直接由獨立乘法公式即可求解；（2）第二空直接由獨立乘法、互斥加法公式即可求解.【詳解】（1）通過子一代植株自交后，子二代植株的葉子顏色是綠色（）的概率為；（2）若隨機選擇一株子二代植株進行自交，獲得的子三代植株的葉子顏色是綠色（）的，則子二代遺傳因子組成為，而子二代得到的概率為，子二代得到的概率為，子二代得到的概率為，故所求為.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量的減法及數乘運算表示即可；（2）應用（1）的結論結合數量積運算律求模長.【詳解】（1）在中，，，則，；（2），則，即，由（1）可知，.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平方關系以及正弦定理即可求解；（2）由余弦定理求得，再結合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）因為，且角是三角形內的角，所以可得，由正弦定理可得；（2）由余弦定理得，即，即，可得或-3，因為是的一邊，所以，由三角形面積公式可得.18．【答案】(1)1435.21萬，1940.95萬(2)90(3)【分析】（1）根據2022年和2019年和已知數據2023年的數據的比例關系求解；（2）由表中數據計算，平均數等于每一組的平均值乘以頻率的和；（3）根據比例，找出得分為分別抽取2人和4人為“幸運游客”.找出總的組合結果為15，各一人的結果有8種，從而得到概率.【詳解】（1）由題可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次為萬；2019年同期接待游客人次為萬.（2）由表中數據計算，游客的平均水平估計為.（3）由題意可知，在得分為中分別抽選了2人（記為）和4人（記為）為“幸運游客”.所以從中選兩人的可能結果有：共15種，其中各占一人的結果有共8種，所以所求概率為.19．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）首先證明平面，然后結合線面平行的性質得，再結合線面平行的判定定理即可得解；（2）首先說明是直線與平面所成的角，結合解三角形知識即可求解.【詳解】（1）因為底面為菱形，所以，因為平面，且平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以，因為平面，且平面，所以平面.（2）過作交于，連接，因為平面平面，所以，又因為平面，所以平面，所以是直線與平面所成的角，因為底面為菱形，且，所以為等邊三角形，且，所以，所以平面平面，所以，且是的中位線，所以在中，,，所以在中，，所以，即直線與平面所成的角為.2