四川省資陽市2024-2025學年高一下冊5月月考數學試卷附解析

/四川省資陽市2024_2025學年高一下冊5月月考數學試卷一、單選題1．（

）．A． B． C． D．2．已知向量，，則在上的投影向量的模為（

）A． B．1 C． D．23．已知正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為2，則該正四棱臺的體積為（

）A．1 B．2 C． D．4．在中，內角所對的邊分別為，已知（為常數），若該三角形有兩個解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知為兩個不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（

）A． B． C． D．6．已知點M為中邊上的中點，點N滿足，過點N的直線與分別交于P，Q兩點，且設，則的值為（

）A．5 B．6 C．9 D．107．如圖是一個正方體的展開圖，若將它還原為正方體，則（

）A． B． C．EI與BG共面 D．AF與BG異面8．函數的部分圖象如圖所示，，，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．已知復數，則（

）A．B．C．為純虛數D．在復平面內對應的點位于第四象限10．有下列說法，其中正確的說法為（

）A．若，，則B．兩個非零向量、，若，則與垂直C．若點G為的重心，則D．若，，分別表示、的面積，則11．已知的內角的對邊分列為的平分線交于，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最大值是 D．的周長的取值范圍是三、填空題12．已知海上島在島的北偏東方向距離島5海里處，島在島的北偏西方向，島與島相距7海里，則島與島的距離為海里.13．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形ABC的面積為14．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足，且，則.四、解答題15．已知向量.（1）若，求實數的值；（2）若，求實數的值16．已知函數．（1）求的單調遞增區間；（2）若函數的零點為，求．17．如圖，四面體的四個頂點均為長方體的頂點．(1)若四面體各棱長均為，求該四面體的表面積和體積；(2)若，，，求四面體外接球的表面積．18．銳角三角形中，角的對邊分別為且.（1）求；（2）求三角形周長的取值范圍；（3）求三角形面積的最大值.19．1637年，法國數學家笛卡爾發表了《幾何學》，在這本書中，笛卡爾提出了著名的笛卡爾坐標系統.笛卡爾坐標系就是直角坐標系和斜坐標系的統稱，相交于原點的兩條數軸，構成了平面放射坐標系.如兩條數軸上的度量單位相等，則稱此放射坐標系為笛卡爾坐標系，兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱為笛卡爾直角坐標系，否則稱為笛卡爾斜角坐標系，如圖，設、是平面內相交成的兩條射線，、分別為、同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系，在仿射坐標系中，若，則記.（1）在仿射坐標系中，若，求；（2）在仿射坐標系中，若，，且與的夾角為，求；（3）如圖所示，在仿射坐標系中，、分別在軸、軸正半軸上，，，、分別為、中點，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【詳解】解：故選B2．【正確答案】C【詳解】，則在上的投影向量的模為.故選C3．【正確答案】D【詳解】由題，正四棱臺上下底面面積分別為，故由棱臺體積公式得.故選D.4．【正確答案】C【詳解】若該三角形有兩個解，則，又，所以，解得，所以的取值范圍是.故選C.5．【正確答案】B【詳解】因為向量，，所以．又，所以與共線．故選B．6．【正確答案】D【詳解】根據題意，得，三點共線，，即.故選D.7．【正確答案】C【詳解】根據題意，畫出該正方體的直觀圖，A選項，，為等邊三角形，AF與CH所成的角為，A錯誤；B選項，CH與BD異面，B錯誤；C選項，直線EI與BG相交，所以直線EI與BG共面，C正確；D選項，，直線AF與BG共面，D錯誤.故選C.8．【正確答案】C【詳解】記與軸的交點為，連接，由題意可得在函數的圖象上，且為一個對稱中心，設，則，又，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以函數的最小正周期為，所以，所以.故選C.9．【正確答案】ABD【詳解】，，A正確；，B正確；不是純虛數，C錯誤；在復平面內對應的點位于第四象限，D正確.故選ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，若，則，不一定平行，故A錯誤；對于B，因為向量，為非零向量，且，即，即，又，均為非零向量，故與垂直，故B正確；對于C，若點G為的重心，延長AG與BC交于M，則M為BC的中點，如圖所示：所以，所以，故C正確；對于D，如圖所示取AC中點為D，則，由，可知，所以O，B，D三點共線，且，故，故D正解．故選BCD11．【正確答案】ACD【詳解】對于選項A，因為是的平分線，，所以.根據三角形面積公式，可得.即，已知，代入可得：，化簡得.兩邊同時除以bc，得到，所以選項A正確.對于選項B，在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得.因為，所以，所以選項B錯誤.對于選項C，由A知道．由三角形內角平分線定理，得，所以，，可得．在中，由余弦定理得，所以，當且僅當時取等號，此時．故的最大值為．所以選項C正確.對于選項D，由可得，根據基本不等式，則，解不等式可得（當且僅當時取等號）.再根據余弦定理，令（），則，函數在上單調遞增，所以，即.所以的周長，即的周長的取值范圍是，選項D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】如圖，由題意得，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以島與島的距離為海里.13．【正確答案】【詳解】依題意，正的邊長，所以.14．【正確答案】/【詳解】因為①，所以由題意可化簡②，①-②可得，所以.又③，④，③+④可得，即.15．【正確答案】（1）（2）或【詳解】（1）因為，所以，所以；（2）由已知，則，解得：或.16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1），令，解得，所以的單調遞增區間為.（2）由（1）得，因為函數的零點為，所以.17．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）依題意可得為棱長為的正方體，且四面體為正四面體，即可求出其表面積，利用割補法求出其體積；（2）依題意長方體的外接球即為此四面體的外接球，求出長方體的體對角線即為外接球的直徑，從而得到外接球的表面積．【詳解】（1）若四面體各棱長均為，則長方體為棱長為的正方體，且四面體為正四面體，所以，；（2）因為四面體的四個頂點均為長方體的頂點，所以四面體外接球與長方體的外接球是同一個球，設此四面體所在長方體的棱長分別為，，，則，解得，設長方體外接球的半徑為，則，則，所以外接球的表面積為．18．【正確答案】（1）（2）（3）.【詳解】（1）由正弦定理：，則，所以，根據得.（2）由正弦定理：，所以，，注意到，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍是.（3）余弦定理：，所以三角形面積為，當且僅當時，即為等邊三角形時，三角形面積取最大值.19．【正確答案】（1）1；（2）；（3）.【詳解】（1）由題意可知，、的夾角為，由平面向量數量積的定義可得，因為，則，