2025中考數學二輪復習：利用圓的性質進行求解的問題（解析版）

專題02利用圓的性質進行求解的問題

圓在壓軸題中考查綜合性比較強，常與二次函數、全等三角形以及相似三角形結合進行考查，本專題中

重點側重壓軸題中對圓的性質的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關的性質。

圓有關的性質：

i.圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形有時中心對稱圖形。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

3.垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

4.圓心角、弧、弦的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

5.圓心角、弧、弦的關系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，

那么它們所對應的其余各組量都分別相等。

6.圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

7.圓周角定理的推論：

推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：直徑所對的圓周角是直角.

8.點與圓的位置關系：設點到圓心的距離為d.（l）d<r=;點在。。內；（2）d=rg點在。。上；（3）入廠點在。。

外.

9.直線和圓的位置關系

位置關系相離相切相交

公共點個數0個1個2個

數量關系d>rd=rd<r

10.切線的性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經過切點的半

徑。

11.切線的判定

（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義）；

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；

(3)經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

12.三角形的外接圓：經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這

個三角形叫做圓的內接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等。

13.三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，

這個三角形叫做圓的外切三角形；內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等。

14.正多邊形的有關概念

(1)正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心；

(2)正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；

(3)正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角；

(4)正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

15.弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長/=吧；扇形的面積5=2=工”.

1803602

16.圓錐與側面展開圖

(1)圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長。

(2)若圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,則這個扇形的半徑為/,扇形的弧長為2”，

圓錐的側面積為S圓錐側=工/?2兀〃=兀/7,圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=兀力+兀戶=兀尸(/+r).

真題精析

例孽1

布''如?泰大

(2022?黑龍江哈爾濱?統考中考真題)已知CH是。O的直徑，點A,點B是。O上的兩個點，連接04,02,

點。，點E分別是半徑的中點，連接CD,CE,BH,S.ZAOC=2ZCHB.

H圖1H圖2H圖3

(1)如圖1,求證：NODC=NOEC；

(2)如圖2,延長CE交3”于點兒若CDLQ4,求證：FC=FH；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點G是8H上一點，連接AG,3G,〃G,OF,若AG:3G=5:3,HG=2,求。F

的長.

(1)根據SAS證明ACOD^ACOE即可得到結論；

(2)證明4=NECO即可得出結論；

(3)先證明Ob_LC”,連接證明=設AG=5x,BG=3x,在AG上取點M,使得4W=BG,

連接MH,證明△MHG為等邊三角形，得MG=HG=2,根據AG=AM+MG可求出x=l,得AG=5,

BG=3,過點H作HNLMG于點N,求出=再證HF=2OP,根據=3。尸=M可得結論.

［答案與解析】

0F=—

【答案】⑴見解析；(2)見解析；(3)3

【詳解】(1)如圖L???點D,點￡分別是半徑QAO3的中點

圖1

AOD=-OA9OE=-OB

22

OA=OB9

：.OD=OE

VZBOC=2ZCHB,ZAOC=2ZCHB

：.ZAOC=ZBOC

oc=oc

ACOD三△COEf

：.ZCDO=ZCEO；

(2)如圖2.VCDLOA,

:.NCDO=90°

C

圖2

由(1)得NCEO=NCDO=90。，

OE1

:.sinZOC￡=—=-

OC2

JNOCE=30。，

:.Z.COE=90°-Z.OCE=60°

11

V/H=—ZBOC=—X60。=30°

22

：.ZH=ZECOf

：.FC=FH

(3)如圖3.丁8=0",FC=FH

:.OFVCH

：.ZFOH=90°

c

H

圖3

連接A2/?VZAOC=ZBOC=60°

:.ZAOH=ZBOH=120°,

AAH=BHfZAGH=60°

VAG:5G=5:3

設AG=5x,

:.BG=3x

在AG上取點使得4V/=NG,連接MH

?；/HAM=ZHBG,

：.△HAM9^HBG

：.MH=GH9

???△MHG為等邊三角形

:.MG=HG=2

?:AG=AM+MG9

/.5x=3%+2

??%—1f

：.AG=5

**?BG=AM=39

過點”作HVLMG于點N

MN=-GM=-x2=l,7?V=WG-sin60°=V3

22

：.AN=MN+AM=4,

，HB=HA=y/NAr+HN2=>/19

VZFOH=90°,NOHF=30。，

AZOFH=60°

,:OB=OH,

：.NBHO=ZOBH=30°,

:.ZFOB=ZOBF=30°

：.OF=BF,

在RMOFH中,NOHF=30。,

：.HF=2OF

:.HB=BF+HF=3OF=屈,

..OF=-----.

3

總結與點撥

本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質,

勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵.

例年2

（2022?浙江溫州?統考中考真題）如圖1,為半圓。的直徑，C為54延長線上一點，CO切半圓于點

BELCD,交CO延長線于點E,交半圓于點R已知3。=5,3石=3.點尸，0分別在線段AB,形上（不

Ap5

與端點重合），且滿足仄方=了.設BQ=x,CP=y.

APOCAPOF

圖1圖2

⑴求半圓。的半徑.

（2）求y關于尤的函數表達式.

（3）如圖2,過點尸作PRLCE于點R,連結P2,RQ.

①當△尸QE為直角三角形時，求x的值.

②作點F關于QR的對稱點F',當點尸'落在BC上時,求三7的值?

ODCO

（1）連接如，設半徑為r,利用△CODs^CBE,得三=2，代入計算即可；

BECB

（2）根據CP=AP十4G用含了的代數式表示AP的長，再由（1）計算求AC的長即可；

（3）①顯然/依。＜90。，所以分兩種情形，當NRPQ=90。時，則四邊形RP0E是矩形，當NPQR=

90。時，過點尸作PH_L5E于點則四邊形PHER是矩形，分別根據圖形可得答案；

②連接AEQF',由對稱可知QP=QP',/F'QR=/EQR=45。，利用三角函數表示出39和5尸的長度，從

而解決問題.

［答案與解析］

155S0O11Q

【答案】⑴］；（2）y=z尤+"（3）①,或亍；②§

【詳解】（1）解：如圖1,連結°。.設半圓。的半徑為r.

E

：.ODYCD.

?：BE1CD,

：.OD//BE,

：.△CODsMBE,

?OPCO

??一，

BECB

r5—r

即M三，

即半圓o的半徑是雪.

oo

G4=CB-AB=5-2x”

(2)由(1)得：84.

AP5?

5。4V

:.AP=—x.

4

VCP=AP+AC,

.55

??y=—xH—.

44

(3)①顯然/PRQ<90°,所以分兩種情況.

i)當/RPQ=90。時，如圖2.

:.NERP=90。.

VNE=90°,

二四邊形RPQE為矩形,

:.PR=QE.

333

VP7?=PCsinC=-y=-x+-,

544

33

—XH——3—X,

44

._9

??x-

7

ii）當NPQR=90。時，過點尸作PH，跳;于點如圖3,

圖3

則四邊形PHEK是矩形,

二PH=RE,EH=PR.

■:CB=5,BE=3,

?**CE=Vs2-32=4?

4

VC/?=CPcosC=-y=x+l,

.?.PH=RE=3-X=EQ9

：.ZEQR=ZERQ=45°9

：.ZPQH=450=ZQPH9

：.HQ=HP=3-X9

33

由&/=PR得:(3—冗)+(3—x)=-x-\—,

44

?一21

11

綜上所述，X的值是:或II.

②如圖4,連結AEQF，,

,:BEJ-CE,PRLCE,

:.PR〃BE,

:.NEQR=NPRQ,

VBQ=Xcp=-x+-

一944f

:.EQ=3-x,

?:PR〃BE,

：.ACPR^ACBE,

.CPCB

??一—~，

CRCE

55

即：尸4二5,

CR~4

解得：CR=x+l,

：.ER=EC-CR=3-X9

即：EQ=ER

：.ZEQR=ZERQ=45°9

：.ZFfQR=ZEQR=45°

：.ZB2F=90o,

4

:.QF=QFr=BQtmB=—x.

???AB是半圓。的直徑，

：.ZAFB=90°9

9

/.BF=AB-cosB=—

49

-4_9

??一xx——f

27

x=——

28

.CF'BC-BF'BC[_3]19

??即―BFf~BFf一9

總結與翻

本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，三角函數等知識,

利用三角函數表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關鍵.

（2022?浙江舟山?中考真題）如圖1.在正方形ABCD中，點、F,H分別在邊AD,A3上，連結AC,FH交

于點E,已知CF=CH.

H

圖2圖3

⑴線段AC與可垂直嗎？請說明理由.

KHAK

（2）如圖2,過點A,H,尸的圓交CF于點尸，連結交AC于點K.求證:

CHAC

⑶如圖3,在（2）的條件下，當點K是線段AC的中點時，求思的值.

PF

(1)證明RtZkCZ)尸經RtZXCBH(HL),得到=進一步得到/FC4=/HC4,由△

是等腰三角形，結論得證;

(2)過點K作KG_LAB于點G.先證△4KGsA4CB,得一=—,證AKHGsC凡B可得一=—,

ACCBCHCB

結論得證;

(3)過點K作長6，鉆點6.求得空=1,設GH=a,BH=2a,則KG=AG=G8=3a,則

BH2

CH=CF=^BH2+BC2=2y/10a，勾股定理得FH=[A/+AF?=4"Z，EH=2^2a，由AFPHs乙HEC得

PFFH,4A/106M

—，Z得FPF=----aCP=----af即可得到答案.

CH55

［答案與解析］

CP3

【答案】（1）AC，切，見解析；（2）見解析；（3）==：

PF2

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCQ是正方形，

:?CD=CB,ZD=ZB=90°,

又,：CF=CH,

：.RtACDF^RtACB/7(HL),

：.ZDCF=ZBCH.

又VZDC4=ZBCA=45°,

:.ZFCA=ZHCA.

■:CF=CH

???△CFH是等腰三角形，

:.AC.LFH.

(2)證明：如圖1,過點K作KGLAB于點G.

圖1

?:CB±AB9

：.KG//CB.

AAAKG^AACB,

.AKKG

"AC-CB*

?:/PHA=/DFC,/DFC=/CHB,

：.ZKHG=ZCHB.

：.AKHGsMHB,

.KHKG

.AK_KH

（3）解：如圖2,過點K作KGLAB點G.

圖2

???點K為AC中點:

由（2）得桀=AK

AC-2

.GHKH1

t9^H~~CH~2

設GH—a9BH=2a,貝!)KG=AG=GB=3a,

/?CB=AB=6a,AH=4a,

：?CH=CF^/BH2+BC2=2y/10a，

*：AF=AH,

；?FH=尸2=4缶，EH=2。,

VZFPH+ZFAH=180°,

：.ZFPH=900=ZCEHf

又,：/CHE=/PFH,

：.AFPHsAHEC,

?PFFH

?D口4^/10

5

?「Dr口D口6M

??CP=CF—PF=----af

5

?CP3

??=.

PF2

總結與點撥

此題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識，熟練

掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

睛說儂題

1.（2022?浙江溫州?溫州市第三中學校考模擬）如圖，AB是OO的直徑，弦于點E,G是人。上

一動點（不與點A,點。重合）,以AG,CG為邊構造平行四邊形AFCG,交。。于點“，交AB于點”,

右CD―4V2>BE=1.

⑴求證：ZF=ZACD.

⑵當CF與。。相切時，求AG的長.

⑶①當AAMG中有一個角與相等時，求AG的長.

②若點”關于AC的對稱點印落在AACG的內部（不包括AACG的邊界），求CH的取值范圍（直接寫出

答案）.

【答案】⑴見詳解；（2）4五;⑶①3②30<3<3而

【分析】（1）連接AZ）,由垂徑定理可知CE=OE=；CD,進而證明NACD=NADC；再由&c=AC，可

證明ZADC=ZAGC,然后由“平行四邊形對角相等“即可證明/F=ZACD；

（2）連接CO并延長，交AG于點K,首先證明AOCE空AOA;“A4S）,由全等三角形的性質可知CE=AK,

再結合垂徑定理即可求得AG的長；

（3）①連接OC,設。。半徑為x,由勾股定理可解得x=4.5,AC=6直,由圓內接四邊形的性質可知

ZCHF=ZAGC=ZF；當CG經過。點，即。、M重合時，止匕時=,再證明AMGASAADC,

由相似三角形的性質可解得4G=3,即當AAMG中有一個角與/HCV相等時，即當NAMG=/HCF時，AG

的長為3；②若點H關于AC的對稱點"落在AACG的內部（不包括AACG的邊界），可分別計算出當“

落在邊CG上時和當〃落在邊AG上時CH的長，即可獲得答案.

【詳解】（1）證明：如下圖，連接AD,

B

???A3是OO的直徑，CD，AB,

CE=DE=-CD

2f

:.AC=AD,

：.ZACD=ZADCf

;AC=ACf

：.ZADC=ZAGC,

V四邊形AbCG為平行四邊形，

/.ZF=ZAGC,

：.ZF=ZADC=ZACD；

(2)如下圖，連接CO并延長，交AG于點K,

若。尸與。。相切，

,/OC為。。半徑，

AOC1CF,

???四邊形A尸CG為平行四邊形,

：.CF//AG,

：.CK±AG,

又?.?CD_LAB,

???ZOEC=ZOKA=90°,

VOC=OAfZCOE=ZAOKf

：.^OCE^OAK(AAS),

???CE=AK,

?：CE=DE=-CD,

2

CD=2CE,

'：OKLAG,

AG=2AK=2CE=CD=4應;

(3)①連接OC,如下圖，

VCE=-CD=2A/2,BE=1,

2

設。。半徑為x,貝IJO3=OC=無，OE=OB-BE=x~l,

22

，在RtAOCE中，由勾股定理可得CE+OE=OC-,

即(2V2)2+(X-1)2=X2,解得x=4.5,

OE=4.5-1=3.5,

：.AE=(M+OE=4.5+3.5=8,

在Rt^OCE中，由勾股定理可得AC=\/CE2+AE2=J(2A/2)2+82=60;

:四邊形AGCH內接于。。，

NCHF=ZAGC=NF；

當CG經過。點，即。、M重合時，如下圖，

B

此時，GM=AM,

：.ZAGM=ZGAM,

又：NCHF=ZAGM=NF,

：.ZAMG=180°-ZAGM-Z.GAM=180°-ZF-ZCHF=ZHCF,

,：ZAGM=ZADC,

XVZAGC=ZGAM,ZACD=ZADC,

：.ZAGM^ZADC,ZGAM=ZACD,

^MGA^^ADC,

,AMAG4.5AG

"~CA~~CD，L'6A/2-4V2，

二AG=3,

.?.當AAMG中有一個角與/"C/相等時，即當NAMG=NHCF時，AG的長為3；

②若點“關于AC的對稱點"落在AACG的內部（不包括AACG的邊界），則CH的取值范圍為

3A/3<CH<3^/6,理由如下：

當H'落在邊CG上時，如下圖，連接印T交AC于點N,連接

:點”與點印關于AC的對稱,

/.HN=H'N,HH'LAC,

V四邊形AFCG為平行四邊形，

/.CG//AF,

：.ZHAN=ZH'CN,

又：ZANH=NCNH'=90°,

：.AHAN、H'CN(AAS),

AN=CN=-AC=3>/2,

2

HH'LAC,

二小/'經過圓心o,OH=OC=4.5,

在Rt2AN中，ON=y/o^-AN2=j4.52-(372)2=1.5，

，NH=OH-ON=4.5-1.5=3,

.?.在RtACAW中，CH=y/CN2+NH2=7(3A/2)2+32=373；

當"'落在邊AG上時，如下圖，連接印T交AC于點N,連接GP交AC于點Q,

:點H與點H'關于AC的對稱，

由軸對稱的性質可知，ZAHC^ZAH'C,CH=CH',

：.180°-ZAHC=180°-ZAH'C,

ZCHF=ZCH'G,

:四邊形AFCG為平行四邊形，

ZAGC=ZAFC,

:.ACHF0ACH'G(AAS),

：.CF=CG,

，四邊形AFCG為菱形，

：.GF1AC,且AQ=CQ=；AC=3應，

：3斤經過點0,

在RtAOAQ中，OQ=Jol-AQ?=74.52-(3A/2)2=1.5，

/.GQ=OG+OQ=4.5+1.5=6,

.?.在RbCGQ中，CG=JCQ，+GO,=J(30C+6?=31，

..?四邊形AFCG為菱形，

/.CF=CG=3指,

,/NCHF=ZAGC=ZAFC,

，CH=CF=346.

綜上所述，若點“關于AC的對稱點H'落在△ACG的內部(不包括AACG的邊界)，

則的取值范圍為：3A/3<C77<3V6.

2.（2022?浙江寧波??？家荒＃┑妊切蜛/G中,AF=AG,且內接于圓。，D、E為邊FG上兩點（D

在F、E之間），分別延長AD、AE交圓。于8、C兩點（如圖1）,記NBAF=ct,AAFG=f3.

圖1圖2圖3

（1）求—ACB的大?。ㄓ胊,夕表示）；

(2)連接CP,交于H(如圖2),若￡=45。，5.BCxEF=AExCF,求證：ZAHC=2NBAC；

⑶在（2）的條件下，取CH中點連接ON、GM（如圖3）,若NOGM=2a-45。,

①求證：GM//BC,GM=-BC-

2

②請直接寫出器的值.

【答案】⑴N—+外⑵證明見解析；⑶①證明見解析；②君或字

【分析】（1）如圖1中，連接CP,利用同弧或等弧所對的圓周角相等即可求出-ACB的大小;

(2)利用同弧或等弧所對的圓周角相等，可證△區VSA砥C,得到AExCF=EbxE4,再根據

BCxEF=AExCF,得到BC=AF,進而得到4c=45。，ZAHC=90°,即可證明結論；

(3)①如圖3中，連接CG,延長GM交A8于點/,證明△AffffgAWCG,推出Aff=MG,HI=CG,

再證明BC〃:IG,得到中位線皿，即可證明結論；

②連接雙，FB,設HI=BI=m,則F"=2〃z,FI=J5m,^AH=CH=n,利用勾股定理求出加，〃之

間的關系，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖1中，連接C尸，

■.■AF=AG,

:.AAFG=ZAGF=/3,

ZACF=ZAGF=p,

?：ZBAF=a,

:.ZFCB=ZBAF=a,

/.ZACB=ZACF+/FCB=a+0；

(2)解：證明：如圖2中，

：AF=AG,ZAFG=/7=45°,

?.NAFG=NG=NACH=45。,

.-ZEAF=ZFAC,

\^EAF^FAC,

.EFAE

CF-FAj

r.AExCF=EFxFA,

.-BCxEF=AExCF,

\BCxEF=EFxAF,

:.BC=AF,

?*-AF=BC，

:.ZBAC=ZAGF=45°,

/.ZAHC=180?！?5°-45°=90°,

.\ZAHC=2ZBAC；

（3）解：①證明：如圖3中，連接CG,延長GM交于點/.

?/ZOGM=ZAGM-ZAGF=2a-45°,ZAGb=45。，

:.ZAGM=2a,

???AF=AG,ZAG尸=45。，

.?.NE4G=90。，

.:bG是直徑，

.\ZFCG=90°,

\-ZAHC=90°,

:.ZAHC^ZGCH=1SO°,

:.ABIICG,

.\ZMHI=ZMCGf

在△MH/和/XMCG中，

ZMHI=/MCG

<MH=MC,

ZHMI=ZCMG

:.M1=MG,HI=CG,

???/ABC+NBCH=96。,ZGMC-^-ZMGC=90°,ZABC=ZMGC,

...NMGC+/BCH=9。。,

4CH+N/CG+NMGC=180。,

ZBCG+ZMGC=180°,

:.BCHIG,

「.A〃為△抽。的中位線，

2

:.MG=-BC,MGIIBC；

2

②解：連接FB,

又?.?OF=OG,MG=MI,

.?.ON為△F/G的中位線，

：.OM=-FI,

2

?MHMI會CMG,

：.HI=CG,

\-ZAHC=90°,

.\ZFHB=90°,

???ZACF=ZABF=45°f

:.FH=BH,

設==則FH=2m,FI=45m,設AH=CH=幾,

1J5,---------------,-----------

：.OM=~FI=—m,BC=AF=AG=\ICH2+BH2=>/n2+W

FG2=AF2+AG2=2AG2=2n2+8m2,

FG2=CF2+CG2,BF=FH+CH=2m+n,CG=MI=m,

Sm2+2nz=(2m+n)2+m2,

整理得“2-4nm+3m2=0,

.1〃=機或"=3m,

OM_OM_20M_FI_鬲

''MC-1-CH~CH~n

—C/7

2

.OM

,~MC

圖3

3.(2022?河北邯鄲?校考三模)如圖1,菱形ABC。的邊長為12cm,ZB=60°,M,N分別在邊AB,CD.上,

AM=3cm,DN=4cm,點尸從點M出發，沿折線MB-BC以Icm/s的速度向點C勻速運動(不與點C重

合)；△APC的外接圓。。與C￡)相交于點E,連接PE交AC于點凡設點產的運動時間為窗.

(1)/APE=°；

⑵若。。與相切，

①判斷。。與CD的位置關系；

②求APC的長；

(3)如圖3,當點尸在8C上運動時，求CP的最大值，并判斷此時PE與AC的位置關系；

⑷若點N在。。的內部，直接寫出f的取值范圍.

【答案】(1)60°

(2)①。。與C￡>相切；②APC="@"

3

(3)CF的最大值為3cm,此時AC±PE

(4)當0</<1時或17<?<21時，點N在圓內部；

【分析】(1)根據菱形的性質易證AAC。為等邊三角形，根據同弧所對的圓周角相等即可得到NAPE的度

數；

(2)①先找出。。與相切時的情況，根據切線長定理即可證明。。與C。相切；②根據切線長定理和

菱形的性質，可求得圓的半徑，根據弧長公式即可求解；

(3)要使W取得最大值，則應該取最小值，當ACLPE時，AF最小，此時CT取得最大值，求出即

可;

(4)分兩種情況進行討論，當尸在AB上時和當點P在BC上時.

【詳解】(1)解：：四邊形ABC。為菱形，ZB=60°,

：.ZD=ZB=60°,AD=CD,

...△AC。為等邊三角形,

ZAC￡=60°,

/.ZAPE=ZACE=60°,

故答案為：60°.

(2)

如圖，當點P運動到點8時，。。與AD相切,

①?.?四邊形ABC。為菱形，

：.AD=CD,

；。。與AQ相切，

,。。與C。相切；

②連接OD,

由(1)可知，ZADC=60°,

'.'AD.C￡>分別與0O相切，

ZADO=|ZA￡)C=30°,

/.AO=ADxtan30°=12x^-=4>^,

3

APC=：xQ/tx4乖>>=兀；

(3)

由圖可知：C斤AC-AR

'：AB^BC,ZB=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，則4C=12cm,ZACB=60°,

要使CF取得最大值，則A尸應該取最小值，

當ACJ_PE時，Ab最小，此時CF取得最大值，

?點。為△APC外接圓圓心，

OA=OC=OP=—AC=6cm,

2

ZACB=60°,

CF=CP.cos60°=3cm,

綜上：CP的最大值為3cHi,此時AC_LPE.

(4)

①當點P在A3上時，

???四邊形APCE為圓的內接四邊形，

ZAPC+ZAEC=180°,

ZAED++ZAEC=1SO°,

：./APC=/AED,

在△APC和△DE4中，

AC=ADfNB4ON。，ZAPC=ZAEDf

：.AAPC^ADEA,

：.AP=DE,

當點E與點N重合時，DE=DN=AP=4,

MP=4-3=lcm,

當0＜《l時，點N在圓內部；

②當點尸在BC上運動時，

ZA￡P=ZACP=60°,

.,.△APE為等邊三角形，

：.AP=AE,ZPAE=6Q°,

'：Na4c=60。，

NBAP=NCAE,

在454「和4CAE中，

AB=AC,ZBAP=ZCAE,AP=AE,

.?.△54尸四△CAE,

：.BP=CE,

當點E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12.-4=Scm,

止匕時仁”產=9+8=17S,

當點尸到達點C時，u21s,

當17V<21時，點N在圓內部;

綜上：當0<<1時或17V<21時，點N在圓內部.

4.(2022?上海楊浦?統考二模)已知在扇形A03中，點C、。是AB上的兩點，且

CD=2AC,ZAOB=130°,OA=10.

(D如圖1,當ODLQ4時，求弦CO的長；

(2汝口圖2,聯結AD,交半徑OC于點E,當0。//AC時，求一的值;

(3)當四邊形BOCD是梯形時，試判斷線段AC能否成為OO內接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊

形的邊數；如果不能，請說明理由.

【答案】⑴8=10

AE一下-1

---=-----

DE2

⑶線段AC能成為。。的內接正多邊形的邊，邊數為18

【分析】(1)取C。的中點E,連接OE,根據圓的有關性質可得NCOE=NEOZ)=NAOC=(z,然后由余

角的性質及等邊三角形的判定與性質可得答案；

(2)由平行線的性質及三角形內角和定理可得448=108。.然后根據相似三角形的判定與性質可得答案；

(3)根據圓內接多邊形的性質及三角形的內角和定理分兩種情況進行解答：①3D//OC；②CDIIOB.

【詳解】(1)解：設NAOC=c,取C。的中點E,連接OE,

CD=2CE=2DE，

又：CD=2,AC>

CE=DE=AC，

：.ZCOE=ZEOD=ZAOC=a,

,：OD1OA,

ZAOD=90°,

???ZAOC+ZCOE+ZEOD=90°,

a+a+a=90°,

a=30°,

JZCOD=60°,

OC=OD,

???△COD是等邊三角形,

:.CD=OC=OA,

又04=10,

???CD=10；

(2)解：

?:OD//AC,

：.ZOCA=ZCOD=2a9

u：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=2a,

在AAOC中，

ZOAC+ZOCA+ZAOC=180。，

,2a+2a+a=l80°,

???a=36。，

.??ZAOC=36°,ZCOD=72°,

???ZAOD=108°f

在△AOD中，

?.*OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

9：ZOAD+ZODA+ZAOD=180°,

ZOAD=ZODA=36°,

：.ZOED=ZOAD+ZAOC=360+36°=72°,

JZOED=ZCOD,

：.ED=OD=10f

?.,ZOAE=ZOAD,ZAOE=ZADO,

:.AAQESA24r,

.OAAE

??茄—

設AE=x,貝UAD=10+x,

10='.解之得％=56-5,

10+x

?A￡_5A/5-5_V5-1

"DE-10-2

(3)解：當四邊形5OCD是梯形時，?BD//OC,

：.ZODB=ZCOD=2a,

,:OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=2a,

*/ZAOB=ZAOC+ZCOD+NDOB=130°,

???ZBOZ)=130°-3cr,

在△BOD中,

?.*ZOBD+ZODB+Z.BOD=180。，

A2a+2a+130。-3a=180°,

a—50°.

當a=50。時，ZBOD=130°-3cr<0,不合題意，舍去.

②CD"OB,

：.ZODC=NBOD=130。-32,

■:OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=130°-3a,

在△[">中，

?.?ZOCD+ZODC+ZCOD=180。，

???130—3a+130?！?。+2a=180°,

：.a=2Q°,

???線段AC能成為。。的內接正多邊形的邊，邊數為18.

5.(2022.黑龍江哈爾濱?哈爾濱風華中學?？既?如圖，A3是。。的直徑，弦CDLAfi,垂足為H,P

為弧A。上一點.

（1）如圖1,連接AC、PC、PA,求證：ZAPC=ZACD；

（2）如圖2,連接PB,PB交CD于E,過點P作。。的切線交CZ）的延長線與點F,求證：FE=PF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AE,且過點A作AG_LW,垂足為G,若尸G=6,PE=4百,

求8H的長.

【答案】⑴見解析；（2）見解析；（3）明=4

【分析】（1）連接AD,根據同弧或等弧所對圓周角相等即可證明；

（2）連接OP,根據切線性質以及余角的性質即可證明NPEF=NEPE,從而證得小=??；

（3）過E作EM_LPF,證明AG/KSJWEP,根據tan=tan/F求出MR再利用勾股定理求出PM、

EM,再利用三角函數求出刑，進而求出BH.

【詳解】（1）證明：連接AD

??,AB是。。的直徑，弦COLAB,

AC=，

:.ZACD=ZDC,

VAC=AC>

.-.ZAPC=ZADC,

ZAPC=ZACD,

(2)連接OP,

???尸尸是。。的切線,

?.OP1PF,^ZEPF+ZOPE=9Q0,

?：OP=OB,

:.ZOPB=ZOBP,

CD^AB,

丁./HEB+/HBE=90。,

ZPEF=ZHEB,

ZPEF=AFPE,

FE=PF；

(3)過E作四，小，垂足為M,

AGLPF,

ZGAP+ZGPA=90°,

???NAPE=90。，

NGPA+NEPM=90°,

ZAGP=Z.EMP=90°,

J.^GPA^LMEP,

.EPEM

,,樂一記’

???ZPAE=ZF,

PEEM

tan/PAE=tanZF,貝！J——=----,

APMF

EPEM

?PA-PGJ

EMEM

,PG~MF'

.\MF=PG=6,

設尸M=x,

由PE2-PM2=EF--FM2可得：(4J?)?-/=(x+6)2-62,

解得：玉二-10,9=4,即PA/=4,

1222

:.EM=^PE-PM=A/(4A/5)-4=8,

EPEM4A/58

?「——=---，即二一二一，

PAMFPA6

:.PA=35

\-CDLAB,AB是直徑，

:.NBHE=ZAPB=90。,

：.ZHEB=ZBAP,

?：ZMPE=ZHEB,

PBME幡PB8

tan/PAB==tan/MPE=,即—尸——,

PAMP3V54

PB=65

:.BE=PB-PE=2y/5,

BHEMBH8

vsinZHEB=——=sinZEPM=——,BR—=

BEPE2V54V5

6.（2022?浙江溫州?溫州市第十四中學校聯考三模）如圖1,直徑他，CD于點E,AB=W,CD=8,點

尸是8延長線上異于點。