安徽省2024-2025學年高三年級下冊3月調研考試數學試題（含答案解析）

安徽省2024-2025學年高三下學期3月調研考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合4={彳€1\,<4},2=1€1<卜2-%-6<0},則AB=()

A.0B.{-1,0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知復數Z滿足(z+l)i=l+i3,貝l|z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

3.己知等差數列{4}的前8項和為48；%+/=4,則{%}的公差為()

A.1B.2C.4D.8

4.下列函數中，是奇函數的是()

A.〃x)=e：e*B./(x)=sin^+|^|

x2x+1

C./(x)=xln|x|D./(%)=~+1

X-1

5.已知平面向量滿足問=1,|2〃+石卜2,且(a+Z?)_La,則卜卜()

A.2B.6C.&D.1

TT

6.把函數/(x)=2cosx(sinx+cosx)-l的圖象向左平移孑個單位長度后，得到函數g(x)的圖

象，則g(x)的圖象的一條對稱軸方程為()

7.甲每個周末都跑步或游泳，每天進行且僅進行其中的一項運動.已知他周六跑步的概率為

0.6,且如果周六跑步，則周日游泳的概率為0.7,如果周六游泳，則周日跑步的概率為09

若甲某個周日游泳了，則他前一天跑步的概率為()

8.已知“X)是定義域為R的非常值函數，且〃x+y)+/(x—y)=2〃x)〃y),/(2)=0,

/⑺是的導函數，且/'(x)的定義域為R.若設/>⑺=。,/(1)=6,則曲線y=〃x)

在點耳-5,〃-5))處的切線方程為()

A.y=—bx—5b—aB.y=bx+5b+aC.y=—bx—5b+a

D.y=bx+5b-a

二、多選題

9.記數列｛凡｝的前幾項和為S“，則下列條件使他“｝一定為等比數列的是（）

n

A.?=3B.d+a+2C.Sn=3-2D.

Unai

10.己知產是拋物線￡：/=2外5>0）的焦點，點"1#,-2在圓

C：Y+（y+2）2=R2（R>0）上，圓C在點N處的切線與￡只有一個公共點，動直線

l:y=6x+t,則下列說法正確的是（）

Q

A.R=l,p=-

B.與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條

C.若圓C上僅有一個點到/的距離為2,則滿足條件的/的值有4個

D.若t=0,E上一點。到/的距離為〃，則|。尸|+1的最小值為：

11.如圖，正方體ABC。-的棱長為1，點4尸,G分別在棱AA,A瓦，4A上（與

端點不重合），過點A作平面跳G,垂足為a,則下列說法正確的是（）

A.￡FG可能為直角三角形

B.若H為.EFG的外接圓的圓心，則三棱錐A-E/G為正三棱錐

C.若AE=A^=AG,則四面體AE尸G的棱與面所成角的正弦值的集合是

試卷第2頁，共4頁

[o3變1]

'3'2'

]]11

2+2+22

D，Aj￡AFAfi~A}H

三、填空題

12.甲同學自進入高三以來，前四次數學考試的分數逐次遞增，第一次的分數為116,第四

次的分數為132,且中位數為120,則甲同學這四次數學考試的平均分為.

2

13.過雙曲線EY:二-―2=1(。＞0/〉0)的右焦點/作直線yb=一力的垂線/,垂足為與石

aba

的右支交于點5,若FB=BA，則E的離心率0=.

14.t己tanA=根，tan—+—tan—+-tan—=—-1,則實數。=____.

3228416832am

四、解答題

15.在VABC中，內角A,3,C的對邊分別為a,6,c,已知sin'A+sinBsinCusinZB+sin2c.

⑴求A；

⑵若。為AC的中點，且的長為2,求稅的最大值，并求此時。的值.

JT

16.如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ASCD是邊長為2的菱形，且ZA8C=g,ABPC是正三

角形，24=",6為8。的中點.

⑴求證：PE_L平面A3CD；

(2)求二面角D—PA—B的正弦值.

17.口袋中有編號分別為1,2,3,…，10的10個小球，所有小球除了編號外無其他差別.

(1)從口袋中任取3個小球，求取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率；

(2)從口袋中任取5個小球，設其中編號的最小值為X,求X的分布列及期望.

22oi

18.已知橢圓￡卞+今=1(。>6>0)的離心率為3，點「(1，5)在石上，直線y=5無+根與E

交于4,8兩點，點A關于x軸的對稱點為C,O為坐標原點.

⑴求E的方程；

(2)證明：30c的面積為定值；

(3)若點B在直線AC的右側，求直線BC在y軸上的截距的最小值.

19.若函數“X)的圖象上存在三點43〃期,8伍,/。)),“(加,〃/)bS.a<m<b,使得

直線反與〃x)的圖象在點”處的切線平行，則稱加為“X)在區間可上的“中值點”.

⑴若函數〃x)=V+3x+2在區間,力］上的中值點為加，證明：機力成等差數列.

⑵已知函數g(x)=2xlnr-x2+在，存在b>a>0,使得g(a)=g。).

(i)求實數f的取值范圍；

(ii)當仁ApwN*)時，記g(x)在區間［a,句上所有可能的中值點之和為證明：

19

S.+S.++S>-n92+-n.

1244

試卷第4頁，共4頁

《安徽省2024-2025學年高三下學期3月調研考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DABCACDDADABC

題號11

答案BCD

1.D

【分析】先求出集合A和3,由集合的交集運算即可求解.

【詳解】因為x<4,xeN,所以A={o,l,2,3},f-x—6<0n(x-3)(x+2)<0n-2cx<3,

所以B={x卜2(尤<3},

所以AB={O,1,2}.

故選：D.

2.A

【分析】利用復數的乘方及除法計算得解.

【詳解】依題意，(z+l)i=l-i,則z+1--1,所以z=—2—i.

1

故選：A

3.B

【分析】根據題意求出首項和公差即可.

【詳解】依題意乞=也烏兒=48,即4+%=12,

2

假設等差數列{。〃}的首項為%,公差為d,

%+/=2。］+7d=12

則解得d=2,

a2+a3=2a{+3d=4

故選：B.

4.C

【分析】由奇函數的定義組個判斷各個選項即可得到答案.

【詳解】A選項，函數定義域為R,/(0)=函數/■(%)不是奇函數，A選項錯誤；

B選項，函數定義域為R,/(0)=sin^=1^0,函數/(x)不是奇函數，B選項錯誤；

A選項，函數定義域為(F,O)(O,-H?),/(-x)=-xln\-x\=-%ln|x|=-/(%),函數是奇函

答案第1頁，共14頁

數，c選項正確；

D選項，函數定義域為(力,1)不關于原點對稱，函數/'(x)不是奇函數，D選項

錯誤.

故選：C.

5.A

【分析】根據給定條件，利用數量積的運算律及垂直關系的向量表示列式計算即可.

【詳解】由(a+6)_La,得+=。，貝!I4為=-1,

由|2。+6|=2,得4a2+62+4入6=4，因此＞=4,

所以忖=2.

故選：A

6.C

【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再利用平移變換求出g(x),進而求出其

對稱軸方程得解.

【詳解】依題意，/(x)=sin2x+cos2x=72sin(2x+,

則g⑺"(嗚)=缶訶2(嗚)+?=0sin(2x+巖)'

Ic11兀兀77r立刀ZF45兀kll.

由2%H------Fkit,左￡Z,角牛有1%-----1，左￡Z,

122242

因此函數g(x)的圖象的對稱軸方程為彳=-碧+9，左€2,

17兀

取人=—1,得尤=-b，C正確，不存在整數上使得ABD成立.

24

故選：C

7.D

【分析】根據給定條件，利用條件概率、全概率公式列式計算得解.

【詳解】用事件48分別表示“周六跑步”，“周日跑步”，則無力分別表示“周六游泳”，“周

日游泳”，

于是P(A)=0.6,P(B|A)=0.7,P(B|A)=0.9,P(A)=0.4,P(B|A)=0.1

因此P(B)=P(B|A)尸⑷+P(B|A)P(A)=0.7x0.64-0.1x0.4=0.46,

答案第2頁，共14頁

P(AB)P(B|A)P(A)0.7x0.621

所以尸(A|B)=

P(B)P(B)0.4623

故選：D

8.D

【分析】取x=2,得到函數的對稱中心.令無=y=0,求得/(0),然后令x=0,求得函數

對稱軸.由兩個等量關系求出函數的周期，由/(7)求出了(-5).然后由函數的對稱軸和對稱中

心得到其導數的對稱中心和對稱軸，同理由/'(1)求出/''(-5),然后寫出切線方程.

【詳解】令尤=2,貝|/(2+y)+/(2-y)=0,則函數/(元)關于點(2,0)中心對稱，

令x=y=0,貝廳(0)+〃0)=2〃0)〃0),則"0)=0或/(0)=1,

當〃0)=。時，令y=0,貝iJ〃x)+〃x)=0,即〃x)=0,不合題意，舍去.

故"0)=1,則令x=0,即y)=〃y),即函數關于〉軸對稱，

f(2+y)+f(2-y)=0^f(2-y)=-f(2+y),

令y=x+2,則/(T)=_/(X+4),又?."(T)=〃X),

f(x+4)=-f(x),貝I]/(x+8)=/(x+4+4)=-/(x+4)=-(-/(%))=/(x),

即函數/(x)是周期為8的周期函數，

A/(-5)=/(3)=-〃1)=-⑺=-?,

:函數八》)關于點(2,0)中心對稱和y軸對稱，

???導數r(X)關于X=2對稱和點(0,0)中心對稱，

同理可得/'(x+8)=_f(x),

.?.〃_5)=〃3)=廣⑴=6,

上切線方程為：y+a=b(x+5),gpy=bx+5b-a.

故選：D

【點睛】關鍵點睛，本題有兩個解題關鍵：(1)由對稱軸和對稱中心得到函數的周期；(2)

由函數的對稱中心和對稱軸得到其導數的對稱軸和對稱中心.

答案第3頁，共14頁

9.AD

【分析】利用等比數列定義，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由等比數列定義知，｛%｝一定為等比數列，A是；

對于B,當凡=0時，成立，｛%｝不成等比數列，B不是；

對于C由5〃=3"-2,得[=S]=1,出=邑一$1=6,%=S3-S2=18,%,生，%不成等比數列，

C不是；

對于D,由今="，得〃產。，”“=%,｛%｝是公比為1的等比數列，D是.

故選：AD

10.ABC

【分析】對于A,根據點在直線上記直線與圓和拋物線相切可求得R,。；對于B,畫圖可以

判斷；對于C,依題意可知圓心C到直線/的距離為3或1,求出f的值即可判斷；對于D,

由|Q司+dN|Q同zg且等號同時成立可以判斷D.

【詳解】對于A,因為點在圓C上，所以+^-|+2^=7?2,解得R=l,

所以圓C的方程為Y+（y+2）2=l,所以圓心C（0,-2）,

所以直線CN的斜率kCN=

了

所以圓C在點N處的切線的斜率左=6，

所以切線方程為>+]=括x—BP=A/3X-4,

代入拋物線E的方程f=2py（0>O）中，得尤2-2有。尤+8p=。，

Q

由A=12p2-32p=。，解得〃=（。=。舍去），故A項正確；

對于B,如圖所示，在y軸右側，當直線斜率不存在時，有一條直線與E和圓C各恰有一個

公共點，當斜率存在時，有兩條這樣的直線.根據對稱，總共有6條直線與E和圓C各恰有

一個公共點，故B正確；

答案第4頁，共14頁

對于C,若圓C上僅有一個點到/的距離為2,則圓心C到直線/的距離為3或1,

1-2-d

當圓心C到直線/的距離為3時，［^==3^解得t=4或二=-8；

1-2-r|

當圓心c到直線/的距離為1時，^^=1,解得r=0或/=-4；故c項正確；

V3+1

對于D,因為d>0,所以耳+當點。與原點重合時等號成立，

此時|。尸|取得最小值1,故D錯誤.

故選：ABC.

11.BCD

【分析】對于A,結合余弦定理判斷即可；對于B,由外心得到HE=HF=HG,再結合勾

股定理說明==進而可判斷，對于C,分類討論以4為定點，E為定點的情

況即可判斷；對于D,設。=\E,b=4￡c=AG,〃=,利用等體積法，結合正余弦定理、

三角形面積公式、錐體體積公式化簡即可判斷.

【詳解】對于A,設AE=a,A/=6，AG=c,其中a,6,ce（0,l）,

所以跖2=/+b\EG2=a2+c\GF2=c2+b2,

由余弦定理得cosNEFG尸?上G吐EG：>°,所以?G為銳角，同理其它兩角也是銳

2EF-GF

角，故A錯誤；

對于B,

答案第5頁，共14頁

4

E

F

因為目為,EfG的外心，所以HE=HF=HG,再由平面跳6,

結合勾股定理易知AE=A尸=AG,又三個側面都是直角三角形，易證全等,

所以EF=EG=G產，故三棱錐A-MG為正三棱錐，正確;

對于C,若棱在面內，則棱與面所成的角為0,正弦值為0；

若棱不在面內，考察側棱與底面所成的角,

以KE為例，（4￡A]G一樣），設AE=a,則￡尸=EG=GE=w，

則EFG的面積為白（伍了><￥=￥4，

由等體積，三棱錐4-理七的體積丫=_143=[義立二xA",

6321

所以4笈=。々，所以==

即以4為頂點，"G為底面的三棱錐的側棱與底面所成角的正弦值為.

以E或尸或G為頂點的三棱錐的側棱與底面所成角,

答案第6頁，共14頁

E

以E點為例，（/或G一樣），因為AE，平面A/G,所以與平面A/G所成角為90。，

正弦值為1,

由線面角的定義可知：NEFA為所與平面APG所成角，易知NER=45°,正弦值為5，

所以四面體4E/G的棱與面所成角的正弦值的集合是，0,1，，￥，■

故C正確；

對于D,若Q=A2b=Ab,C=AjG,力=4"，又以一封6=^E-\FG,

即4月4尸AG=G石GbsinZEG/，

71[7~2---27772----rrL~~,a2+c2+b2+c2-a2-b2.

所以"c=/?J（"2+。2）（"+。2）1一（——,）22,

丫2，（a+c）（b+c）

則abc=力2c2+，°2，即4282c2=h2（a2b2+a2c2+b2c2），

11111111

所以記=/+7+/'即*+#+桁=而'D正確；

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：D選項，利用匕iFG=%."G，即A.E-A.F-A,G=A.H-GEGFsinZEGF

判斷;

12.122

【分析】利用中位數求出第二、第三次分數和，再利用平均數的定義計算得解.

【詳解】設甲第二、第三次的分數分別為x，y,由中位數為120,得亨=120,即無+y=240,

所以甲同學這四次數學考試的平均分為U6+x：y+132=I?2.

故答案為：122

答案第7頁，共14頁

13.&

【分析】過8作/于C,利用相似三角形性質用。，瓦c表示點3的坐標，再將該坐標

代入雙曲線方程求解即得.

be

22

【詳解】設雙曲線￡:5-與=13>0,6>0）的半焦距為。［4尸1==b,

ab

|OAI-yj\OF^-\AF\i-a,設8（九〃），由RB=BA，得B是線段AF的中點,

|BF||gC|\CF\

過B作BC_LOF'于C,則V5CFS/\Q477,

\OF\^\OA\~\AF\

因此?=4=三2,解得〃?=￡1±《,〃=茲，由點3在雙曲線E上,

2cab2c2c

）A

4日1（。2+/2/目口/1、21r-r-r>lI-

得―廿--工=1，即3+-）2---=4f所以e=JL

4ca4cee

【分析】根據給定條件，利用二倍角的正切公式裂項變換，再求和比對即可得解.

x

2tan—

X11tan-

【詳解】當tanx,tan/均不為0時,由tan%=---------得——=------------

tanx

1-tan2—2tan^2

22

x

tan—

211E”1兀171171

由,因止匕一tan—+—tan—+—tan一

2

2tan—tanx28416832

2

11111111.

+_（--------------------）+—（

_71兀---2c兀714c兀71

2tan—tan—2tan—tan—2tan——tan—

841683216

1

-1=---1即J__l=，-一1,所以q=8.

c兀8m

8tan—am8m

32

故答案為：8

【點睛】關鍵點點睛：將二倍角的正切公式取倒數變形，利用裂項相消法求和是求解問題的

答案第8頁，共14頁

關鍵.

Tt

15.⑴A=§；

⑵歷的最大值為8,0=273.

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；

（2）利用余弦定理，結合基本不等式求出最大值，進而求出。值.

【詳解】（1）在VABC中，由$11124+51118$M。=511128+5山2。及正弦定理得，a2=b2+c2-be,

由余弦定理得cosA=2—“2=[,而0<4<兀，

2bc2

所以4=1.

（2）在△岫）中，由余弦定理得，22=Br）2=c2+L/-2c,6cosA,

42

則16=4c二+6」-26c22A/4c「力」-2Z?c=2bc，即6cW8,當且僅當Z?=2c=4時取等號，

此時a=揚+。2-次cosA="+2?一4>2=2有，所以反的最大值為8,a=2?

16.（1）證明見解析；

⑵手.

【分析】（1）根據給定條件，證出尸再利用線面垂直的判定定理即可得

證；

（2）以E為原點建立空間直角坐標系，求出平面皿）與平面mB的法向量，再利用面面角

的向量法求解.

【詳解】（1）在四棱錐2-ABCD中，連接AE,由四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=1,

得VABC是正三角形，又E為BC的中點，則AE，BC,AE=g,

而，BPC是正三角形，則=6,于是PE2+AE2=6=PA2,

PELAE,又BCAE=E,3C,AEu平面ABCD,

所以PE_L平面ABCD

答案第9頁，共14頁

(2)由(1)知，直線EC,反4,EP兩兩垂直，

以E為原點，直線EC,胡,EP分別為無,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則B(-1,0,0),A(0,A/3,0),D(2,6,0),P(0,0,g),

PA=(0,yf3,-y/3),PD=(2,瓜-5,PB=(-1,0,-73),

PA-n=A/3_Y—A/3Z=0

設平面PAD的法向量〃=a,y,z),取z=l,得w=(0,l,l),

PD-n=2x+也y—s/3z=0

PA-m=y/3b-y/3c=0

設平面E4B的法向量加=(。/,c),則「取。=1,得加=(一百,1,1),

PB-m=-a-J3c=0

m-n2A/10

cos(m,ri)=

所以二面角D-B4-3的正弦值為

5

17.(Dy；

0

(2)分布列見解析，期望為#■.

【分析】(1)利用古典概率的概率公式即可解出；

(2)求出X的可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出期望.

【詳解】(1)從口袋中任取3個小球有C：。種方法，編號全為奇數的取法有C；種，全為偶數

的取法有C；種,

因此編號既有奇數又有偶數的取法種數為C：o-C；-C；=120-10-10=100,

所以取到的小球編號既有奇數又有偶數的概率為*=|.

(2)依題意，X的所有可能值為1,2,3,4,5,6,

答案第10頁，共14頁

從口袋中任取5個小球有C：0=252種取法,

1C4705C4355

P(x=2)=2=a—,P(X=3)=T=——=一，

2I25218C；025236

C445C41

P(X=5)=-l-=—P(X=6)=W=，

C252C10252

(2)證明見解析;

(3)T-

【分析】(l)根據給定條件，列出關于。2,"的方程組即可求出E的方程.

(2)聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理、三角形面積公式及數量積的坐標表示計算得證.

(3)在玉％R。時，利用斜率坐標表示求出截距的表達式，結合韋達定理求出最小值，再求

出3尤2=。的情況即可.

【詳解】⑴由橢圓E：W+[=1的離心率為得耳"即上=3,

a2bz2a2a24

31Q

由點P(l，7)在E上，得—+治=1,聯立解得〃2=4/2=3,

2

2a4b之

22

所以E的方程為土+二=1.

43

(2)設4芯,%),5(%2，為)，則M)，

1

y=—x+m

2

由,22消去》并整理得好+/+/―3=0,

——+—=1

143

A=m2-4(m2-3)>0=>m2<3,再+々=一m,國入2=-3,

答案第11頁，共14頁

2

SBOC=^\OBIIOC\sinZBOC=||OB||OC|A/1-COSZBOC

=1sl(\OB\\OC\)2-(OBOC)2=|"(<+y：)(上+貨)-(再飛-.%)2

=；Ix1%+9M1=；I&g々+租)+尤2g%+I

113

——|無1/+根(X[+%)1=/I'"2—3一7，?"|=$,

所以30c的面積為定值.

(3)由點8在直線AC的右側，得馬>王，設直線BC與>軸的交點為7(0"),

當占馬=0時，點氏C中有一個點與橢圓E的上頂點重合，此時T即為E的上頂點，t=6,

當中1。時，由8CT共線，得上=且，即;％+優一〈一;占一比一,

x27X,1-

x2X]

整理得t-—-~二-1->0，而％2—玉=J(%1+%2)2—47入2

=^m-4(m-3)=4l2-2m<273,當且僅當m=0時取等號，

所以直線BC在y軸上的截距的最小值為占.

2

19.(1)證明見解析；

(2)(i)(0,+“)；(ii)證明見解析.

【分析】(1)根據中值點定義得到相關方程，則“+6+3=2加+3,化簡即可；

(2)(i)通過二次求導得坂口而二力⑴.，再對區0和f>0討論即可；

(ii)首先證明與+%>2+3，通過構造函數研x)=ln(l-lnx)+x-l,利