第六章 平行四邊形B卷壓軸題模擬訓練（解析版）

第六章平行四邊形B卷壓軸題模擬訓練

一、填空題

1.如圖所示，直線/繞平行四邊形ABCD頂點A轉動，分別過點8,C,。作/的垂線段,

垂足分別為M，N,P.己知NABC=60。，AB=6,BC=5,則3M+CV+DP的最大值

為-,

【答案】2而

【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，梯形的中位線定理，全等三角形的判定

和性質，勾股定理等，連接AC,BD交于點0,過點。作OTJL直線/于T,在OT的延長線

上截取77?=。7,連接RN,ON,過點C作CE1AB于E,先證四邊形為直角梯形，

再證OT為梯形a叱D的中位線，則3Af+DP=2OT=OR,然后證！。4T和ARVT全等得

ZAOT=ZR,進而得。4〃秋，據此可證得四邊形為平行四邊形，則

CN=OR=BM+DP,BM+CN+DP=2CN,要求3M+CN+DP的最大值，只需求出CN

的最大值即可，根據"垂線段最短"可知：CN<CA,故得OVWC4的最大值為線段。1的長，

最后在Rt^CBE中可求出，BE=2.5,CE=2.5后，進而得AE=3.5,在Rt^ACE中由勾股

定理得C4=商，據此可得出BM+CN+DP的最大值，熟練掌握平行四邊形的判定和性質，

梯形的中位線定理，全等三角形的判定和性質，理解垂線段最短，靈活運用勾股定理進行計

算是解題的關鍵.

【詳解】解：連接AC,交于點0,過點。作07,直線/于T,在OT的延長線上截取

TR=OT,連接RN,ON,過點C作CE，AB于E,如圖所示：

回￡>P_L直線/,1直線/,

回四邊形由小。為直角梯形，

回四邊形ABCD為平行四邊形，

回點。為3D,AC的中點，

國。直線/,

SOT//BM//DP,

EOT為梯形BMPD的中位線，

^\BM+DP=2OT,

STR=OT,

SOR=2OT=BM+DP,

EICN_L直線/,

在RtA4CN中，點。為斜邊AC的中點，

^\ON=OA=OC,

回AQ4N為等腰三角形，

^OTLAN,

SAT=NT,

在EIOAT和EIRNT中，

AT=NT

<ZOTA=ZRTN,

TR=OT

回AOAT四△RVT(SAS),

ZAOT=ZR,

SOA//RN,

即OC〃㈤V,

團CN_L直線/,OT_L直線/,

SOR//CN,

國四邊形OVR9為平行四邊形，

?CN=OR=BM+DP,

?BM+CN+DP=2CN,

要求BM+OV+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可,

根據"垂線段最短”可知：CN<CA,

fflCN的最大值為線段C4的長，

BZABC=60°,BC=5,CE1AB,

在RtACBE中，/BCE=90°-ZABC=30°,

SBE=-BC=2.5,

2

由勾股定理得：CE=y/BC2-CE2=2,573>

團AB=6,BE=2.5,

^\AE=AB-BE=6-2.5=3.5.

在RSACE中，由勾股定理得：C4=j5+小二如，

回CN的最大值為"[,

SiBM+CN+DP的最大值為2歷.

故答案為：2如

2.如圖，在平面直角坐標系中，A（-2,0）,尸為y軸上一動點，連接相并延長至點。，使

DP=AP,取y軸負半軸上一點8,使得。4=03,以AB,為邊作YABCD.

（2）設點P坐標為則點。的坐標為（用含加的代數式表示），連接0C,則OC

長度的取值范圍為.

【答案】（0,-2）（2,2m）OC>4

【分析】（1）由點的坐標得到的長，再根據04=03即可求解；

（2）過點。作x軸的平行線交y軸于點/，過點c作y軸的平行線交產。于點E,易證明

△OPb名AAPOIAAS）,得到。產=49=2,FP=OP,即可求得點。的坐標；由四邊形ABCD

為平行四邊形可證明到ACDE絲JAaAAS）,得至IJDE=AO=2,FE=4,根據C點始終在平

行于y軸的直線上運動，并且這條直線與y軸的距離為4,即可得到oc的取值范圍；

本題考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，判斷出點C

始終在平行于y軸的直線上運動是解題的關鍵.

【詳解】（1）0A（-2,O）,

EOA=2,

又?OA=OB,

0OB=2,

05（0,-2）,

故答案為(o,-2)；

(2)如圖，過點。作無軸的平行線交y軸于點尸，過點。作y軸的平行線交FD于點E,

貝UZDFP=ZDEC=ZAOB=ZAOP=90°,

ZDFP=ZAOP=90°

^<ZDPF=ZAPO,

DP=AP

0A￡>PF^AAPO（AAS）,

^\DF=AO=2fFP=OP,

0P（O,m）,

團OP=|m|,

[?]FP=|m|,

0OF=2|m|=|2m|,

回點D的坐標為（2,2m）,

故答案為：（2,2m）；

回四邊形ABCQ為平行四邊形，

回AB=CD,AB//CD,

^ZDAB-^ZADC=180°,

0AFDP+AADC+ACDE=180°,

國/DAB=/FDP+/CDE,

團ZDAO+ZBAO=NFDP+NCDE,

團所〃龍軸，

0/DAO=/FDP,

⑦/BAO=/CDE,

在和△BAO中，

ZCED=ZAOB=90°

<ZCDE=ZBAO,

CD=AB

團ACDE均540（AAS）,

0DE=AO=2,

0FE=2+2=4,

SCE1.EF,CE〃y軸，

0c點始終在平行于y軸的直線上運動,并且這條直線與y軸的距離為4,

國點。到這條直線的距離為4,

團OC長度的取值范圍為OC24,

故答案為：OC>4.

3.如圖，在YABCD中，A8=A￡>=g+l,N8AD=60。，取對角線AC上兩點M、N,使

AM=CN,BM〃EN,點,E在BC上,若/BMC=75°,則加衣+瓦已=.

【答案】10-4^/-4>/3+10

【分析】作于H,EF/AC于尸，由于YABCD,鉆=AD,可判斷四邊形ABCD

為菱形，再由菱形的性質可得NB4c=NBG4=30。，利用等腰三角形對角對等邊的性質可得

HM=HB,設HM=HB=x,在RtAAMB中，則4Vf=2x,AH=6x,因為A2=6+l,

可解得x=l,從而得到AM,的值，再利用三角形內角和定理，得到CN=CE,可得CE

的長，在RbCFE中和在RtZXE/W中，分別利用勾股定理得到EN,的長，即可得到答案.

【詳解】解：作于H，EF1AC于/，如圖所示：

團在YABCD中，AB=AD,

回四邊形ABCD為菱形，

0ZS4Z)=6O°,

SZBAC=ZBCA=30°,

0ZBMC=75°=ABAC+/MBA,

SZMBA=45°,

SZMHB=90°,

SZHMB=ZHBM=45°,

RHM=HB,

設HM=HB=x,則AM=2x,AH=^x,

團AB=5/3+1?

Sy/3x+x—y/3+1，

0x=l,

團AM=2,BM=血，

⑦BM〃EN,/BMC=75。,

團NC7VE=75。，

團ZCEN=180°-ACNE-ZC=180°-75°-30°=75°,

出CN=CE,

^\AM=CN=2,

0CE=2,

在RSCFE中，由勾股定理得：EF=1,CF=△,

自NF=2-6,

在RtZXEFN中，由勾股定理得：硒2=(2-否丫+1=8-46,

SBM2+EN2=(&『+8-46=10-4月，

故答案為：10-4G.

【點睛】

本題考查菱形的性質與判定，平行線的性質，勾股定理，三角形內角和定理，熟練掌握菱形

的性質：對角線平分一組對角；平行線的性質和勾股定理是解題的關鍵.

4.如圖，等邊三角形A8C中，AB=4,E、/分別是邊A3、AC上的動點，且龐=gcF,

則^BF+CE的最小值為.

【答案】2幣

【分析】取中點G,3C中點“，GH=|BF,在座的外側作絲AHCG,出的長

度即為所求，本題考查了求線段和最小值問題，勾股定理解三角形，等邊三角形的性質，全

等三角形的判定和性質，三角形中位線，30。角的直角三角形，解題的關鍵是通過構造中位

線和全等三角形，將;3尸+CE進行轉化.

【詳解】解：取FC中點G,8C中點a,作NAB/=60。，使由=C"，作交CB

延長線于點J,

?.?點G是尸C中點，點H是BC中點，

:.GH=-BF,CG=-CF,CH=-BC

222

BE=-CF,

2

:.BE=CG,

又???等邊三角形ABC,

.-.ZBC4=60o,

:.ZABI=ZBCA,

5L-.-BI=CH,

.".AIBE=^HCG,

:.IE=HG=-BF,

2

;.^BF+CE=IE+CE,當點E在線段/C上時ZE+CE取最小值，長度為線段/C的長，

???BI=CH」A8」x4=2,AIBJ=180°-ZABC-AABI=60°,

22

..IJ=與BI=6,JB=^BI=1,JC=JB+BC=5,

:.IC=y/u2+JC2=J（同+52=277,

故答案為：2幣.

5.如圖，在AABC中，NACB=120。，點E是A2的中點，延長AC到點。，點//是BC上

一點，連接過點E作EK_L3c垂足為點K,延長EK交HD于點F,HF=FD,AD=4,

則EF的長為.

B

【答案】6

【分析】分別取AC,CD的中點尸、Q,連接PE,尸Q,作尸E垂足為先根據中位線

的性質和平行線的知識求出NPW=3。。，再求出尸。=2,進而求出尸加=1,根據勾股定理

求出MQ=g,最后證明四邊形劭?尸為平行四邊形，即可求出EP=〃Q=石.

【詳解】解：如圖，分別取AC,CD的中點尸、Q,連接尸及尸Q,作加，PE垂足為

團點E、尸分別為A3、的中點，

EEP、FQ分別是VABC'VOCW的中位線，

SEP//BC,FQ//HC,

^PE//FQ,Z.CPM=180°-ZACB=60°,

SQMPE,

0ZPQM=90°-ZMPQ=30°.

回尸、。分別為AC,C￡＞的中點，

0PC=|AC,C2=|CZ),

^\PQ=PC+CQ=-AD=2,

^PM=-PQ=\,

2

0MQ=JPU-PM?=6

BEK1BC,EP\\BC,

?EFLPE,

iaQM_LPE,

0MQ〃EF,

^PE//FQ,

回四邊形EMQF為平行四邊形，

SEF=MQ=s/3.

B

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，平行線的性質與判定，直角三角形30。角問題,

勾股定理，平行四邊形的判定與性質等知識，綜合性強，難度較大，熟知相關知識，根據題

意添加輔助線構造直角三角形和平行四邊形是解題關鍵.

6.如圖，點E是YABCD的AD邊上的中點，連接BE,點尸為BE中點，若AB=6,AD=4,

ZBAD=UQ°,則。尸的長為.

【答案】373

【分析】過點尸作EM〃AD交于點"，首先根據梯形的中位線得出府的值，再證明

△CZ*為直角三角形、AWZ呼和AWCF為等腰三角形，進而解得43=30。，易得

FC=1C￡>=3,根據勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：過點尸作孫/〃AD交CD于點如下圖，

團四邊形ABC。為平行四邊形，

團AB=CD=6,AD=5C=4,ZBAD+ZADM=180°,

團尸為的中點，且/〃AD,

13M為。中點，ZADM=ZFMC,

S\DM=CM=-CD=3,

2

SZBAD+ZADM=180°,44)=120°

0ZADM=NFMC=180°-120°=60°,

國點E是YABCD的A￡＞邊上的中點,

^AE=DE=-AD=2,

2

0FM=；(OE+3C)=；x(2+4)=3,

SDM=CM=FM=3,

EZMFD=ZMDF,/MFC=NMCF,

在ACDR中，ZMFD+ZMDF+ZMFC+ZMCF=180°,

0ZDFC=ZMFD+ZMFC=-xl80°=90°,

2

BFM//AD,SZEDF=ZMFD,

^DM=FM,

BZMDF=ZMFD,

0ZEDF=ZMDF=-ZADM=30°,

2

SFC=-CD=3,

2

^DF=CEr-FC1=V62-32=343-

故答案為：3月.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半、等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線，熟練掌握相關知

識點并靈活運用.

7.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZG4B=30°,BC=4,。為A3邊上一動點（不與點A

重合），△血＞為等邊三角形，過點。作DE的垂線，尸為垂線上任意一點，連接E尸，G

為E廠的中點，連接3G、CG,則3G+CG的最小值是.

F

【答案】45

【分析】

取DE的中點連接"G,AH,推出AH,G三點共線，進而得到點G在直線A”上運動,

作點C關于AH的對稱點C',連接3C',得到BG+CGnBG+C'GABC,進而得到氏G,C

三點共線時，3G+CG的值最小，作3MLCC',利用含30度的直角三角形的性質，結合

勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：0ZC=9O°,ZCAB=30°,BC=4,

回AB=8,AC=AB2-BC-=4A/3-

取。E的中點H,連接

0DE1DF,G為EF的中點，

SGH//DF,

BGH1DE,

回△AED為等邊三角形，

SAH±DE,ZDAH=30°,

回A,H,G三點共線，

回點G在直線A"上運動，

作點C關于的對稱點C,連接CC交于點N,連接作BMLCC,

SBG+CG=BG+CG>BC,?V垂直平分CC',

國當民G,C'三點共線時，BG+CG的值最小，

ElZC4B=30o,

SiZCAH=ZCAD+ZDAH=60°,

0ZAC7V=3O°,

0A?/=-AC=2A/3,

2

^CN=y/AC2-AN2=6>

QCC'=2CN=12,

0ZACB=90°,ZACN=30°,

BZBCM=60°,

^\BMYCC,

SZCBM=30°,

0CM=-BC=2,

2

團=yjBC2-CM2=2A/3，C'M=CC-CM=10，

回BC'=\lBM2+C'M2=4不-

0BG+CG的最小值是4近；

故答案為：4幣.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形，三角形的中位線，勾股定

理，利用軸對稱解決線段和最小的問題.綜合性強，難度大，屬于填空題中的壓軸題，解題

的關鍵是確定點G的運動軌跡.

8.如圖，在等邊三角形A3C中，AC=6,CD，AB,點E是線段CD上一動點，連接AE,

將線段AE繞點A順時針旋轉60。，得到線段AP,連接。尸,則。尸長的最小值為.

3

【答案】1/1.5

【分析】取AC的中點K,連接。K、EK,根據等邊三角形的性質，得到ZB4C=6O。，

AD=3=AK,再結合旋轉的性質，證明AAPD峪AASK(SAS),有DP=EK,故當EK最小時，

13

DP最小，此時EKLCD,由EK是AACD的中位線，^EK=-AD=-,從而。尸長的最

3

小值為

【詳解】解：如圖，取AC的中點K,連接OK、EK,

???△ABC是等邊三角形，AC=6,CDLAB,

:.ZBAC=60°,AD=3=AKf

???將線段AE繞點A順時針旋轉60。，得到線段"，

.\ZPAE=6Q°,AE=AP,

:.ZPAE=ZBAC=6D°,

:.ZPAD=ZEAK,

在和^AEK中,

'AP=AE

</PAD=/EAK,

AD=AK

.\AAPD^AAEK(SAS),

:.DP=EK,

???當石K最小時，。尸最小，此時fKLCD,

?：CDYAB,

:.EK//AD,

「.￡K是ziACD的中位線，

13

:.EK=-AD=-

22

二。尸長的最小值為；3，

3

故答案為：—.

【點睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性

質三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，點石、方分別是邊AB、5。的中點，連接￡C、FD,G、

?分別是EC、ED的中點，連接由，若AB=6,BC=8也,ZBAD=15O°,則G"=.

【答案】等

【分析】連接CH并延長交AD于尸，連接PE,根據平行四邊形的性質得AD〃BC,證明

△尸七歸四ACTH,根據全等三角形的性質得到PD=C/，CH=PA,根據勾股定理，含30

度角的直角三角形的性質和三角形的中位線定理即可得到結論.

【詳解】解：如圖，連接CH并延長交加于P,連接PE,過點E作交ZM的延長

線于點K,

K4Pp

BFC

團四邊形ABCD是平行四邊形，

0AD/7BC,

團點石、方分別是邊AB、的中點，AB=6,BC=86，

SAE=-AB=3,CF=LBC=46,

22

^\AD//BC,

⑦ZDPH=/FCH,

在與△。方H中，

ZDPH=ZFCH

<ZPHD=ZCHF,

DH=FH

0^PDH^CFH(AAS),

出PD=CF=4?,CH=PH,

^\AP=AD-PD=^,

0Z￡L4D=150°,

回NE4K=30。，

13

^\EK=-AE=-

22f

________q

回AK=VAE2-KE2=A/32-1.52=-43,

2

回KP=AK+AP=3百+44=口石，

22

回點G是EC的中點，CH=PH,

EG//=-EP=—

22

故答案為：平

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理,

勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關

鍵.

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=6,ZA=120°,點F、點N分別為C。、

AB的中點，點E在邊AD上運動，將△￡?產沿所折疊，使得點。落在O0處，連接3D,

點〃為中點，則的最小值是

【答案】幣-1/-1+用

【分析】

根據三角形中位線定理可得MN=可知當取得最小值時，取得最小值，根

據折疊可知M在以點尸為圓心，。尸的長為半徑的半圓弧上運動，當點次運動到線段AF上

時，此時A。'取得最小值，最小值為AF-DR,過點/作FHLAD于點H,根據30。的直

角三角形的性質可得加的長，根據勾股定理求出切的長，再在RtAAF”中，根據勾股

定理求出AF的長，進一步可得AD'的最小值，即可求出的最小值.

【詳解】

解：連接AD',

,??點N為A2的中點，點M為皮＞的中點，

.?.加為454￡/的中位線，；.肱7=；/1。，

???當A。'取得最小值時，MN取得最小值，

在平行四邊形ABC。中，AB=CD,AB//CD,,NA+ND=180。,

■.■AB=4,AD=6,ZA=120°,:.CD=4,ZD=60°,

,?,點歹為線段8的中點，??.DF=CF=2,

根據折疊可知。F=DF=2,

二點"在以點F為圓心，DF的長為半徑的半圓弧上運動，

當點。，運動到線段AF上時，此時AO取得最小值，最小值為AF-ZXF,

過點E作FHLAD于點如圖所示：

貝l」NPHD=90°,.-.ZHFD=30°,:.DH=^DF=1,

在Rt△"加中，根據勾股定理，得尸H=萬萬=6,

,/AD=6?:.AH=6—1=5,

在RtZ\Af7/中，根據勾股定理，得AF=JAH?+FH?=2勾，

AZ7的最小值為277-2,MN的最小值為近-1,

故答案為：A/7-I.

【點睛】

本題考查了翻折變換，線段最小值問題，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，直角三角

形的性質，找出線段AD最小時點D的位置是解題的關鍵.

二、解答題

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)若點尸為線段CZ)上的動點(點P不與點。重合)，連接針，過點尸作￡?LAP交直線8。

于點E.

①如圖2,當點尸為線段。的中點時，請直接寫出出，PE的數量關系；

②如圖3,當點尸在線段。上時，求證：DA+6DP=DE.

【答案】(1)證明見解析(2)①24=PE；②證明見解析

【分析】(1)根據已知條件得到CD,AD〃BC,再由平行四邊形的判定即可得證；

(2)①連接5D,可知ABDC是等腰直角三角形，再證明右上位汪△尸團(AAS),利用全等

三角形性質即可得到PA=PE；

②過點P作尸RLCD交。E于點尸，首先證明△皿NAEEP(ASA),得AD=EF,進而再

證明ADPF是等腰直角三角形即可得到結論.

【詳解】(1)證明：?.?4￡)=9，ZBAD=45°,

:.ZBAD=ZABD^45°,

:.ZADB=90°,

ZCBD=90°,

:.NCBD=ZADB,

:.AD//BC,

?,*ZC=45°,ZCBD=90°,

.?.N3OC=45。，BD=BD,

"BDC=ZABD=45。,

:.AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：①=

理由如下：連接的，如圖所示:

由（1）知是等腰直角三角形，當點尸為線段CO的中點時，BP=PD=-CD

2f

ZCBP=ZDBP=-ZCBD=45°,

2

:.NPBE=180°-ZPBC=135°,

?：AB//CD,

...ZADC=180。—/BAD=180°-45°=135°,

,\ZADC=ZPBE,

???ZPAD+ZAOD=ZPEB+/POE=90°,

ZAOD=ZPOE,

:.ZPAD=ZPEB,

:.^PAD/△PED（AAS）,

.\AP=PE；

②證明：過點尸作尸交。石于點尸，如圖所示：

E

.PF工CD,EPLAP,

:.ZDPF=ZAPE=90°f

:.ZDPA=ZFPE,

?/四邊形ABC。是平行四邊形，

/.ZC=ZDAB=45°,ABHCD,

又?；AD=BD,

.\ZDAB=ZDBA=ZC=ZCDB=45°,

ZADB=ZDBC=90°,

，NPFD=45。,

:.ZPFD=ZPDF,

:.PD=PF,

ZPDA=ZPFE=135°,

..△ADP^EFP(ASA),

:.AD=EF,

在Rt△田P中，/PDF=45。,貝I。尸=

DE=DF+EF,

:,DA+>[2DP=DE.

【點睛】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、

全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，根據題意作出輔助線構造全等三角形是解題的

關鍵.

12.已知點。是AABC任意一點，連接Q4并延長到點E,使得AE=Q4,以03,OC為鄰邊

作平行四邊形O3FC,連接OF,與BC交于點連接E尸.

EJ

FFF

圖1圖2圖3

問題發現：

(1)如圖1,若AABC為等邊三角形,由三角形中位線定理可知，線段AH與線段E廠的位置

關系是_____,數量關系為______.線段E尸與BC的位置關系是______.數量關系為______

⑵拓展研究：如圖2,若AABC為等腰直角三角形(8C為斜邊)，(1)中的兩個結論是否成

立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出正確的結論再給予證明.

⑶解決問題：如圖3,若AABC是等腰三角形，AB=AC=5,BC=6,請你直接寫出線段所

的長.

【答案】(1)AH〃跖，AH=^EF,EF±BC,EF=43BC

⑵AH〃EF,AH=^EF,EF18C成立，EF=^BC不成立,正確的是歷=3。

(3)EF=8

【分析】(1)由平行四邊形的性質可得8H=HC=；BC,OH=HF,由等邊三角形的性質可

得AH=CBH,由三角形中位線定理可得AH〃E/,AH=^EF,可得結論；

(2)由平行四邊形的性質可得〃/=水?=；g，OH=HF,由等腰直角三角形的性質可得

AH=BH,由三角形中位線定理可得A"〃跖，AH=-EF,可得結論；

2

(3)由平行四邊形的性質可得〃7=HC=；BC,OH=HF,由等腰三角形的性質可得

AHA.BC,由勾股定理可求A"的長，由三角形中位線定理可得跖=24/=8.

【詳解】(1)解：如圖L連接A”，

圖1

四邊形是平行四邊形，

BH=HC=-BC,OH=HF,

2

又?.?△ABC是等邊三角形，

AHVBC,ZABC=60°,

AH=y[3BH,

\'AE=OA,OH=HF,

^AH//EF,AH=-EF

2f

⑦AH〃EF,AHLBC,

:.EFIBC,

?.?EF=2AH,AH=6BH,BC=2BH,

.-.EF=y/3BC，

故答案為：AH//EF,AH=^EF,EF±BC,EF=y/3BC；

(2)解：AH//EF,AH=-EF,EF13C成立，EF=BC；

2

如圖2,連接AH,

V四邊形是平行四邊形，

:.BH=HC=-BC,OH=HF,

2

又?.?△ABC是等腰直角三角形，

AH±BC,^ABC=45°,

:.AH=BH=HC,

■.■AE=OA,OH=HF,

^AH//EF,AH=-EF,

2

^AH//EF,AHLBC,

:.EF±BC,

-.AH=BH,BC=2BH,

BC=2AH,

?;EF=2AH,

.-.EF=BC；

(3)解：如圖3,連接AH,

E

圖3

四邊形O3FC是平行四邊形,

/.BH=HC=—BC=3,OH=HF,

2

又?.?AB=AC=5,

：.AH±BC,

根據勾股定理得，AH=^AB2-BH2=4，

?.?OH=HF,AE=AO,

:.EF=2AH=8.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰三

角形的性質，勾股定理，三角形中位線定理，判斷出〃跖，是解本題的關

鍵.

13.已知在平行四邊形ABCD中，點尸在A3邊上，連接CF,ZDCF=ZD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：CF=AD；

(2)如圖2,過點A作AGLBC于點G,交CF于點E,若NBAG=a,求/8C尸的度數；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若G為8C的中點，CE=CG+AE,平行四邊形A3CD的面

積為144,求EG的長.

【答案】⑴見解析

(2)2a

(3)8

【分析】⑴由平行四邊形的性質可得NB=ND,AD=BC,AB//CD,由平行線的性質

可得NDCF=NBFC,從而得到=尸C,推出CF=3C,即可得結論；

(2)過點C作CHLA3交A3于點//,交AG于點。，由等腰三角形的性質可得

NBCH=NFCH,ZBCH+ZB=90°,由同角的余角相等可得==,從

而即可得結論；

(3)連接。E,過點。作。KLCF于點K,CRLAB于點R,證明“GB也,

推出3G=CK,AG=DK,證明口以口弘絲母/^汨用川口，推出")=￡火=AG,設

AE=EK=a,CK=CG=b,則BC=AD=AG=?,在Rt^ECG中，CG?+EG?=EC?,

即k+(26-“y=(4+6)2①，再由S"B8=BCAG=262b=144②，求出久6的值，最后

由G^=AG-AE進行計算即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

;.ZB=ZD,AD=BC,AB//CD,

:.ZDCF=ZBFC,

???/DCF=/D,

:"B=/BFC,

:.CF=BC,

CF=AD；

(2)證明：過點。作CHLAN交A5于點H,交AG于點0,

???CHLAB,

:.ZBCH=ZFCHfNBCH+NB=9。。,

?.?AGIBC,

:.ZAGB=90°,

:.ZBAG+ZB=90°,

ZBAG=ZBCH=ZFCH,

ZBCF=NBCH+NFCH=/BAG+/BAG=2/BAG=2a；

(3)解：如圖，連接過點。作DKLCF于點K,CRJ_AB于點H,

???四邊形ABC。是平行四邊形,

:.AB//CD,AD//CB,

???CRLAB,

.\CR±CDf

.?./FCR+ZDCK=90。,

DK.LCF,

..NDCK+NCDK=90。,

:.NFCR=NCDK,

由（1）可得：CF=BC,

???CRYAB,

:.ZBCR=ZFCR,NBCR+NB=9/,

?.-AG1BC,

.\ZAGB=90°,

/.ZBAG+ZB=90°,

:./BAG=NBCR=NFCR,

:.NBAG=NCDK,

vAG±CB,DKtCF,

ZAGB=ZDKC=90°,

-AB=DC,

.?.△AGB%DKC（AAS）,

:.BG=CK,AG=DK,

?.-BG=CG,CE=CG+AE,

AE=EK,

：AD//CBf

:.AD,LAG,

.\ZDAE=ZDKE=90°,

.DE=DE,

...RtA￡>E4^Rt^DEK（HL）,

:.AD=DK=AG,

^AE=EK=a,CK=CG=b,貝！J5C=A￡>=AG=2Z?,

在R^ECG中，CG2+EG2=EC\即。2+（26—a）2=g+》）2①，

???SAHrn=BCAG=2b-2b=144②,

由①②解得：a=4,b=6,

:.AG=n,AE=4,

EG=AG-AE=12-4=8.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的三線

合一的性質、同角的余角相等、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用的輔助線，構

造全等三角形，學會利用參數構建方程解決問題，屬于壓軸題.

14.如圖1,在平面直角坐標系中，點A（a,0）,點C（3,6）,且滿足后工+自-4|=0,

平移。4至CB(點。與點C對應，點A與點8對應)，連接OCAB.

(2)點D,E分別是OA,AB邊上的動點，連接DC,DE,M,N分別為DC,DE的中點，連接MN,

當分別在04,A8邊上運動時，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若

不存在，請說明理由；

⑶如圖2,將線段CO繞點C逆時針旋轉90。至CF,連接為線段O尸上一點.試猜想

尸O2,pp2,pc2三者之間有怎樣的數量關系，并證明你的猜想.

【答案】(1)6,4,鞏9,4)

12

⑵存在最小值，最小值是《

(3)尸。2十尸尸2=2尸02,證明見解析

【分析】(1)利用絕對值、算術平方根的非負性求出mb,根據平移性質求點3的坐標；

(2)由是ACDE的中位線，得出MN=；CE,當CE/AB時，CE取最小值，取

最小值，因此利用面積法求出CE最小值即可；

(3)以“為直角邊作等腰直角三角形CP。，其中NPCQ=90。，連接廠。，先證

△OCP^AFCQ(SAS)，得出。尸=，ZCOF=ZCFQ，再證明ZPFQ=ZOFC+ZCFQ=90°,

利用勾股定理得出尸。2+尸尸2=尸。2,再由尸。2=pc2+QC2=2PC=即可證明

PO2+PF2=2PC--

【詳解】(1)解：0y/6—a+—4|=0,y]6—a>0,性一4,0,

團6-4=0,b-4=0,

回〃=6,b=4,

回4(6,0),C(3,4),

國。(0,0),點。與點C對應,

國平移方向為先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度

由平移得，3(6+3,4),即3(9,4),

故答案為：6,4,8(9,4)；

EIM,N分別為DC,DE的中點，

團肋V是ACDE的中位線，

^\MN=-CE,

2

回要使得MN最小，則CE最小.

國當時，CE取最小值，MN取最小值.

由(1)知A(6,0),3(9,4),

EIOA=6,AB=J(9-6『+(4-0『=5,

回C(3,4),

12cH=4,

0So1O7/AizB>Cc=_2OA,CH=_2AB-C￡*取ZJj、,

yOACH6x424

最小AB55

112412

團A/7V的最小值為：~^CE最小=工義-^~=-^~,

2255

1?

即存在最小值，最小值是彳；

(3)解：尸。2+尸產2=2尸。2,證明如下：

如圖所示，以C尸為直角邊作等腰直角三角形CPQ,其中/尸。。=90。，連接尸Q,

團CP=CQ,

由旋轉得，CO=CF,ZOCF=90°,

^\ZOCF=ZPCQ,

團ZOCF-NPCF=ZPCQ-ZPCF,

^\ZOCP=ZFCQ,

在和△/CQ中，

OC=FC

<ZOCP=ZFCQ,

CP=CQ

0AOC/^AFC（2（SAS）,

^\OP=FQ,ZCOF=ZCFQf

國CO=CF,ZOCF=90°,

ZCOF=ZOFC=45°f

^ZCFQ=45°f

團ZPFQ=ZOFC+ZCFQ=90°,

根據勾股定理得，FQ2+PF2=pQ2,

^\PO2+PF2=PQ2,

又團PQ2=PC2+QC2=2PC2,

^\PO2+PF2=2PC2.

【點睛】本題考查絕對值、算術平方根的非負性，平移、旋轉的性質，中位線的判定與性質，

垂線段最短，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識點，綜合

性較強，牢固掌握上述知識點，并熟練運用等量轉化的思想是解題的關鍵.

15.如圖，平面直角坐標系中，CB//OA,ZOCB=90°,CB=2,OC=4,直線y=-1x+2

過A點，且與y軸交于。點.

⑴求點A、點8的坐標；

(2)試說明：AD1BO；

⑶若點M是直線AZ)上的一個動點，在無軸上是否存在另一個點N,使以。、B、M、N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)44,0),8(2,4)

(2)見解析

(3)存在,N(-6,0)或N(6,0)或N(14,0)

【分析】

(1)根據題意利用矩形性質及判定可得點8坐標，令y=0即可得到X的值，即為點A坐標；

(2)根據直線解析式求出點。坐標，得到8的值，根據矩形對邊相等，OC=4,然后證

明AAOD2AOCB,再利用全等性質即可得到結論；

(3)根據平行四邊形對邊平行且相等可得物BM=AN,令y=2求出點M坐標,

從而得到BM長度，再分情況討論求出點N坐標.

【詳解】(1)解：當y=0時，一無+2=0,解得：x=4,

回點A坐標為(4,0),

團NOCB=90°,CB=2,OC=4,

回過點8作8尸，AO于歹，則四邊形3co尸是矩形，

回點8的坐標為(2,4)；

(2)解：當x=0時，>=-；*0+2=2,

倒點。坐標為(0,2),

團OD=BC=2,

根據(1)中結論，四邊形3co廠是矩形，

國OC=BF=4,AO=OC=4,

在△49。和中，

OD=BC

<ZAOD=ZOCB,

AO=CO

0AAOD^AOCB,

⑦NOAD=NCOB,

^ACOB+ZAOB=9Q0,

團NQ4D+NAC?=90。，

0Zz4EO=9O°,

^\AD±BO；

(3)解：存在

團點N在％軸上，0、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

團5M〃兄軸且=ON,

根據(1),點3(2,4),

0——x+2=4,解得：x=—4

2f

團點〃(-4,4),

團BM=2—(—4)=6,

①點N在點。的左邊時，ON=BM=6,

團點N的坐標為(-6,0),

②點N在點。的右邊時，ON=BM=6,

回點N的坐標為(6,0),

③作N(-6,0)關于A的對稱點M,則乂也符合，點M的坐標為(14.0),

綜上所述：N(-6,0)或N(6,0)或N(14,0).

【點睛】

本題考查坐標與圖形，一次函數與坐標軸交點，矩形性質及判定，平行四邊形性質，全等三

角形判定及性質.

16.如圖，在YA5CD中，ZA=60°,A￡>=8,AB>AD,E是AB上一點，連接CE,DE.

(1)如圖1,若CE,DE分別平分ZBCD和/ADC,求證：CE±DE；

(2)如圖2,連接BD交CE■于。，若DE=AE,CELBD,求AB的長；

⑶在(1)的條件下，將ACDE繞點C順時針旋轉得到△CDE',直線交CD于R當

AF±CD'^,求AACE'的面積.

【答案】⑴見解析

(2)48=4+4若

(3)24A/19-24V3

【分析】

(1)利用平行四邊形的性質可得NADC+/3c0=180。，由角平分線的性質可得

ZEDC+ZDCE=90°,即可得ZDEC=90。，進而可證明結論.

(2)過點E作EM_LCD于點M,證明?4DE為等邊三角形，可得DE=AD=8,ZADE=60°,

再利用平行四邊形的性質可/￡?加=60。,/。應0=30。，即可求解DM,E”的長，再通

過證明△￡>￡C絲ACBQ,可得NECM=45。,可求解CM的長，進而可求解.

(3)過C點作CGLAB交A2的延長線于點G,連接AC,易求BG,CG的長，再利用勾

股定理求解AC?的長，結合旋轉的性質利用含30。角的直角三角形的性質及勾股定理求解

CF,E'F,AF的長，再利用三角形的面積公式根據S：ACE=S“ACF-S%CE即可求解.

【詳解】(1)

證明：回四邊形ABCD為平行四邊形，

.-.AD//BC,

:.ZADC+ZBCD=180°,

CE、DE分別平分NBCD和^ADC,

ZEDC=-ZADC,ZDCE=-ZBCD,

22

ZEDC+ZDCE=90°,

:./DEC=90°,

:.CELDE.

(2)

)解：過點E作上MLCD于點M,

?/ZA=60°,DE=AE,

.?VAD石為等邊三角形，

:.DE=AD=8,ZADE=6Q°,

團四邊形ABCD為平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CD,AD=BC,

.?.ZADC+ZA=180°,DE=BC,

ZADC=120°,

ZEDC=120。—60°=60°,

.*.ZD￡M=30°,

:.DM=-DE=4,

2

EM=\lDE2-DM2=4A/3，

QEB//CD,DE=BC,

回四邊形8CDE是等腰梯形，

CE=BD,

在△DEC和△CB0中，

DE=CB

<CE=DB,

DC=CD

:.^DEC^CBD（SSS）,

:.ZECD=ZBDC,

■.■BD1CE,

:.ZCOD=90°,

/.Z￡CD=45°,

;.CM=EM=46，

AB=CD=DM+CM=4+46.

(3)

過C點作CGLAS交A3的延長線于點G,連接AC,

D’

回四邊形ABC。為平行四邊形，ZDAB=60°,

.\AD//BC,AB//BC,BC^AD=8,/BCD=60°,

??.NCBG=ZDAB=60。,ZADC=120°,

.?.ZBCG=30。，

BG=-BC=4

2f

CG=7BC2-BG2=473，

???ZEDC=-ZADC=60°=ZDAE,

2

「.VADE1是等邊三角形，

DE=AD=8,

ZDCE=-ZBCD=30°,ZDEC=90°,

2

；.AB=CD=2DE=16,

:.AG^AB+BG=20,

2222

AC=AG+CG=20+(4@2=448,

由旋轉可知：NCE'D=NCED=90°,D'E'=DE=8,ZD'CE'=ZDCE=30°,CD,=CD=16,

:.CE'=^Clf-D'E'2=A/162-82=85/3，

?/AF±CD',

E'F=-CE'=4y/3,

2

:.CF=slCE'2-E'F2=12)

AF=VAC2-CF2=,448-122=4回,

S"S.ACF-S.CE=；CF