浙江省杭二中2024-2025學年數學高二下期末質量檢測試題含解析

浙江省杭二中2024-2025學年數學高二下期末質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，如果函數f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數f(x)為n階整點函數．有下列函數:①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④2．中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關C．2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數依次成等差數列3．如圖，在△中,,是上的一點,若,則實數的值為()A． B． C． D．4．已知，則下列結論正確的是A．是偶函數 B．是奇函數C．是奇函數 D．是偶函數5．在數列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．816．已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．某煤氣站對外輸送煤氣時，用1至5號五個閥門控制，且必須遵守以下操作規則：①若開啟3號，則必須同時開啟4號并且關閉2號；②若開啟2號或4號，則關閉1號；③禁止同時關閉5號和1號.則閥門的不同開閉方式種數為（）A．7 B．8 C．11 D．148．給出下列命題：①命題“若，則方程無實根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③9．等差數列{an}的公差是2，若a2,a4A．n(n+1) B．n(n-1) C．n(n+1)2 D．10．z是z的共軛復數，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i11．已知函數在上可導且滿足，則下列一定成立的為A． B．C． D．12．在20張百元紙幣中混有4張假幣，從中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機上檢驗發現是假幣，則這兩張都是假幣的概率是()A． B． C． D．以上都不正確二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為，，，則__________.14．，若，則的最大值為______.15．已知的面積為，三個內角A,B,C成等差數列，則____．16．如圖所示，則陰影部分的面積是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結論．18．（12分）從某工廠的一個車間抽取某種產品50件，產品尺寸（單位：）落在各個小組的頻數分布如下表：數據分組頻數（1）根據頻數分布表，求該產品尺寸落在的概率；（2）求這件產品尺寸的樣本平均數；（3）根據頻率分布對應的直方圖，可以認為這種產品尺寸服從正態分布；其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經計算得，利用正態分布，求．19．（12分）某手機代工廠對生產線進行升級改造評估，隨機抽取了生產線改造前、后100個生產班次的產量進行對比，改造前、后手機產量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機產量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有的把握認為手機產量與生產線升級改造有關：手機產量部手機產量部改造前改造后（3）根據手機產量的頻率分布直方圖，求改造后手機產量的中位數的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）已知函數．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.21．（12分）已知函數．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）已知當時恒成立，求的最大值．22．（10分）某廠生產某產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本C(x)（萬元），若年產量不足80千件，C(x)的圖象是如圖的拋物線，此時C(x)<0的解集為(-30,0)，且C(x)的最小值是-75，若年產量不小于80千件，C(x)=51x+10000（1）寫出年利潤L(x)（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據新定義的“一階整點函數”的要求，對于四個函數一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【詳解】對于函數，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數；

對于函數，當x∈Z時，一定有g（x）=x3∈Z，即函數g（x）=x3通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，當x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數，故函數h（x）通過無數個整點，它不是一階整點函數；

對于函數，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數．

故選D．本題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數”．2、D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項，顯然正確；對于，，選項正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數列，故錯.故選：D本題考查統計的知識，考查數據處理能力和應用意識,是基礎題3、C【解析】

先根據共線關系用基底表示，再根據平面向量基本定理得方程組解得實數的值.【詳解】如下圖，∵三點共線，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，對比①，②，由平面向量基本定理可得：．本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.4、A【解析】因為，所以，又，故，即答案C，D都不正確；又因為，所以應選答案A．5、C【解析】

利用題設中遞推公式，構造等比數列，求得等比數列的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，在數列中，，即可得數列表示首項，公比的等比數列，所以，故選C.本題主要考查了等比數列的定義，以及等比數列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數列的定義和等比數列的通項公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.6、A【解析】試題分析：設是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關系或范圍，解題的關鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯想到橢圓的定義．7、A【解析】

分兩類解決，第一類：若開啟3號，然后對2號和4號開啟其中一個即可判斷出1號和5號情況，第二類：若關閉3號，關閉2號關閉4號，對1號進行討論，即可判斷5號,由此可計算出結果.【詳解】解：依題意，第一類：若開啟3號，則開啟4號并且關閉2號，此時關閉1號，開啟5號，此時有1種方法；第二類：若關閉3號，①開啟2號關閉4號或關閉2號開啟4號或開啟2號開啟4號時，則關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；②關閉2號關閉4號，則開啟1號關閉5號或開啟1號開啟5號或關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.本題考查分類加法計數原理，屬于中檔題.8、A【解析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【詳解】①命題“若，則方程無實根”的否命題為：“若，則方程有實根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當時，不是恒成立的.當時,則解得：，所以正確.故選：A本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎題.9、A【解析】試題分析：由已知得，a42=a2?a8，又因為{an}【考點】1、等差數列通項公式；2、等比中項；3、等差數列前n項和．10、D【解析】試題分析：設z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點：復數概念及運算．【易錯點晴】在復數的四則運算上,經常由于疏忽而導致計算結果出錯.除了加減乘除運算外,有時要結合共軛復數的特征性質和復數模的相關知識,綜合起來加以分析.在復數的四則運算中,只對加法和乘法法則給出規定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運算.復數代數形式的運算類似多項式的運算,加法類似合并同類項;復數的加法滿足交換律和結合律,復數代數形式的乘法類似多項式乘以多項式,除法類似分母有理化;用類比的思想學習復數中的運算問題.11、A【解析】易知在上恒成立，在上單調遞減，又.本題選擇C選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.12、A【解析】設事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B).又，由公式.本題選擇A選項.點睛：條件概率的求解方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6.【解析】

求出即得解.【詳解】由題意，向量的夾角為，所以，所以.故答案為：6本題主要考查向量模的計算，考查向量的數量積運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

均值不等式推廣；【詳解】熟練掌握。15、8【解析】分析：根據三角形的面積公式求解即可．詳解：根據三角形的面積公式，三個內角A,B,C成等差數列故，，所以點睛：三角形的面積公式，和向量的內積公式的角度一樣，邊長就是兩個向量的模，故整體替換相互轉化．16、32【解析】試題分析：由題意得，直線y=2x與拋物線y=3-x2，解得交點分別為(-3,-6)和(1,2)，拋物線y=3-x2與x軸負半軸交點(---302xdx+考點：定積分在求面積中的應用．【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應用，其中解答中根據直線方程與曲線方程的交點坐標，確定積分的上、下限，確定被積函數是解答此類問題的關鍵，同時解答中注意圖形的分割，在x軸下方的部分積分為負（積分的幾何意義強調代數和），著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；證明見解析【解析】

根據三角形兩邊之差小于第三邊這個性質，按題設數據，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2的棱為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C），于是問題轉化為對棱長分別為（I）（II）（III）的四面體來計算體積的最大值（或估計）.【詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個性質，按題設數據，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C）.對情形（I）（A）與（B），四邊形沿AB折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，∴體積為；對情形（II）（A）與（C）四邊形沿AB折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，∵，∴為鈍角，與平面斜交，∴；對情形（III），（B）與（C），這樣的四面體也有兩個，體積也相等，記為，.∴最大體積為.本題考查四面體的體積，解題關鍵是找到以棱長為2的棱為突破點，分析以它為邊的兩個三角形的邊長可能有哪些情形，然后一一求出它們的體積（可估計體積大小），再比較.難度較大.18、（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根據條件得到概率為；（2）由平均數的概念得到數值；（3）結合第二問得到的均值，以條件中所給的得到，S=4.73，由得到結果.詳解：（1）根據頻數分布表可知，產品尺寸落在內的概率.（2）樣本平均數.（3）依題意.而，，則....即為所求.點睛：這個題目考查了平均數的計算，概率的理解，以及正態分布的應用，正態分布是一種較為理想的分布狀態，常見的概率.19、（1）0.1（2）有的把握認為手機產量與生產線升級改造有關，詳見解析（3）（百部）【解析】

（1）由改造前的頻率分布直方圖計算前五個小長方形的面積即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖補充表格，計算隨機變量的觀測值與臨界值表中的數據比較即可得結論．（3）先估計中位數所在區間，然后利用中位數左右兩側長方形面積相等列式計算即可．【詳解】解：（1）改造前手機產量低于5000部的頻率為，因此，事件的概率估計值為0.1．（2）根據手機產量的頻率分布直方圖得列聯表：手機產量部手機產量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認為手機產量與生產線升級改造有關．（3）因為改造后手機產量的頻率分布直方圖中，手機產量低于5000部的直方圖面積為，手機產量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數在之間，設改造后手機產量的中位數為，則故改造后手機產量的中位數的估計值為（百部）．本題考查由頻率分布直方圖計算概率與中位數，獨立性檢驗，屬于簡單題．20、（1）見解析；（2）【解析】

分析：(1)先構造函數，再求導函數，根據導函數不大于零得函數單調遞減，最后根據單調性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數：，這里產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設函數，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3