薛定諤方程與狄拉克方程推導比較

狄拉克方程\o"理論物理"理論物理中，相對于\o"薛定諤方程"薛定諤方程之于\o"量子力學"非相對論量子力學，狄拉克方程是\o"相對論量子力學"相對論量子力學的一項描述\o"自旋-1/2"自旋-?粒子的\o"波函數"波函數\o"方程"方程，由\o"英國"英國物理學家\o"保羅·狄拉克"保羅·狄拉克于\o"1928年"1928年建立，不帶矛盾地同時遵守了\o"狹義相對論"狹義相對論與\o"量子力學"量子力學兩者的原理，實則為薛定諤方程的洛倫茲協變式。這條方程預言了\o"反粒子"反粒子的存在，隨后\o"1932年"1932年由\o"卡爾·安德森"卡爾·安德森發現了\o"正電子"正電子(positron)而證實。狄拉克方程的形式如下：，其中是\o"自旋-1/2"自旋-?粒子的\o"質量"質量，與分別是\o"空間"空間和\o"時間"時間的\o"座標"坐標。狄拉克的最初推導\o"狄拉克"狄拉克所希望建立的是一個同時具有\o"洛倫茲協變性"洛倫茲協變性和\o"薛定諤方程"薛定諤方程形式的波方程，并且這個方程需要確保所導出的\o"概率密度"概率密度為正值，而不是像\o"克萊因-戈爾登方程"克萊因-戈爾登方程那樣存在缺乏物理意義的負值?？紤]薛定諤方程薛定諤方程只包含線性的時間一階\o"導數"導數從而不具有洛倫茲協變性，因此很自然地想到構造一個具有線性的空間一階導數的\o"哈密頓量"哈密頓量。這一理由是很合理的，因為空間一階導數恰好是\o"動量"動量。其中的系數和不能是簡單的常數，否則即使對于簡單的空間旋轉變換，這個方程也不是洛倫茲協變的。因此狄拉克假設這些系數都是N×N階\o"矩陣"矩陣以滿足洛倫茲協變性。如果系數是矩陣，那么波函數也不能是簡單的標量場，而只能是N×1階列矢量狄拉克把這些列矢量叫做\o"旋量"旋量（Spinor），這些旋量所決定的概率密度總是正值同時，這些旋量的每一個標量分量需要滿足標量場的\o"克萊因-戈爾登方程"克萊因-戈爾登方程。比較兩者可以得出系數矩陣需要滿足如下關系:滿足上面條件的系數矩陣和\o"本征值"本征值只可以取±1，并且要求是無跡的，即矩陣的對角線元素和為零。這樣，矩陣的階數N只能為偶數，即包含有相等數量的+1和-1。滿足條件的最小偶數是4而不是2，原因是存在3個\o"泡利矩陣"泡利矩陣。在不同\o"基(線性代數)"基中這些系數矩陣有不同形式，最常見的形式為這里即為\o"泡利矩陣"泡利矩陣因此系數矩陣和可進一步寫為按照\o"量子場論"量子場論的習慣，，狄拉克方程可寫為狄拉克方程的洛倫茲協變形式定義四個\o"反對易"反對易矩陣γμ,μ=0,1,2,3。其反對易關系為，其中ημν是光滑時空的\o"度規"度規。利用上式可證明這里也采取了量子場論的習慣，。此時狄拉克方程形式為克萊因-戈爾登方程為。很多時候會用\o"自然單位"自然單位（\o"光速"c=\o"約化普朗克常數"?=1）寫成由于\o"平面波"平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：遵從狹義相對論的能量動量關系式跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應著兩個，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的\o"波函數"波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為。相對論量子力學下的形式推導自由粒子的薛定諤方程是非相對論量子力學的最基本方程：其中是\o"動量"動量算符。薛定諤方程并非相對論\o"協變"協變的，意味著它不滿足\o"愛因斯坦"愛因斯坦的\o"狹義相對論"狹義相對論。利用狹義相對論中四維動量的\o"不變性"不變性導出的相對論動量能量關系，相對論能量替換薛定諤方程左邊自由粒子的動能，并最終得到它的協變形式其中\o"達朗貝爾算符"達朗貝爾算符從相對論量子力學的觀點來看，達朗貝爾算符的出現意味著克萊因-戈爾登方程是一個量子力學的波方程。量子場論下的形式推導場論中，對于\o"自旋"自旋為零的場（\o"標量"標量場），\o"拉格朗日量"拉格朗日量被寫成這里依照量子場論的習慣選取了\o"自然單位"自然單位，將光速和普朗克常數都取作1。代入\o"歐拉-拉格朗日方程"歐拉-拉格朗日方程可直接得到克萊因-戈爾登方程。從量子場論的觀點來看，以上推導過程都在經典場論的范圍之內，因此克萊因-戈爾登方程只是一個經典場的場方程。自由粒子解相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念，但形如克萊因-戈爾登方程這樣的波方程仍然具有形式上的波包解：其中從克萊因-戈爾登方程得出的能量\o"本征值"本征值為因而克萊因-戈爾登方程的解包含了負能量。同時，由這個解導出相應的概率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊因-戈爾登方程在很長一段時間里被認為是缺乏物理意義的.\o"英國"英國物理學家