高中數學【橢圓的幾何性質(一)】教學設計

橢圓的幾何性質（1）

教材分析

教材的地位和作用地位：本節課是在橢圓的概念和標準方程的基礎上，運用代數的方法，研

究橢圓的簡單幾何性質及簡單應用.本節課內容的掌握程度直接影響學習雙曲線和拋物線幾何性

質。作用：提高學生的數學素質，培養學生的數形結合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此，

內容在解析幾何中占有非常重要的地位。

教學目標與核心素養

課程目標學科素養

A.掌握橢圓的幾何性質，掌握a,b,c,e的幾1.數學抽象：橢圓的幾何性質

何意義及a,b,c,e之間的相互關系.

2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

B.嘗試利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

3.數學運算：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

質.

C.嘗試利用橢圓的知識解決簡單的實際問4.數學建模：利用橢圓的知識解決應用問題

題.5.直觀想象：離心率的幾何意義

重點難點

重點：橢圓的幾何性質

難點：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質

課前準備

多媒體

教學過程

教學過程教學設計意圖

核心素養目標

一、創設問題情境，探究新知

下面我們由橢圓的方程來研究橢圓具有的幾何性質

已知橢圓c的方程為亍+y2=1,根據這個方程完成下列任務：

(1)已觀察方程中與是否有取值范圍，由此指出橢圓C在通過特例，通過

橢圓的標準方程，運

平面直角坐標系中的位置特征；

用方程與函數的思

(2)指出橢圓C是否關于久軸、y軸、原點對稱；想，獲得橢圓的幾何

(3)指出橢圓C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標.性質，進而推廣到一

般。幫助學生進一步

K體會數形結合的思

想方法。發展學生數

x=-2x=2學運算，數學抽象和

橢圓的幾何性質

數學建模的核心素

焦點的養。

焦點在X軸上焦點在y軸上

位置

A

圖形

BA0\B2x

標準彳■+^=2

l(a>6>0)yx一、

o1o-iL(Q0U)

方程abab7

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

范圍-a<x<a_0_-b<y<b-b<x<b且-a〈y〈a

A(-a,O),A(a,0),A(O,-a),A(0,a),

1212

頂點

B(O,-b),B(0,b)B(-b,O),B(b,0)

1212

軸長長軸長為四，短軸長為2b

焦點八。。)呼,0)「。?呼，0

焦距2c

對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標原點

離心率e=￡g(0,1),其中c=^/a2~b2

a

1.已知橢圓C:^+^=l的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()

az4

A.-B.-C.—D.—

3223

解析:：4=4+22=8,；.a=2企.=當故選C.

答案:C

2.判斷

(1)橢圓，+，=im>b>0)的長軸長是a.()

⑵若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的

方程為經+*1.()

⑶設F為橢圓W+M=l(a>b>0)的一個焦點,M為其上任一點，則也用

azbz

的最大值為a+c(c為橢圓的半焦距).()

答案:(l)x(2)x(3)7

(1)根據橢圓離心率的定義判斷橢圓離心率的取值范圍；

(2)猜想橢圓離心率的大小與橢圓的形狀有什么聯系，并嘗試證明。

思考1.離心率對橢圓扁圓程度的影響？

提示:如圖所示，在RtABFO中,cos/BBO=￡,記e=3則0<e<l,e越大,

2aa

ZBF2O越小，橢圓越扁;e越小,越大，橢圓越接近于圓.

二、典例解析

22

例1已知橢圓C1：三+±=1,設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長

10064

分別相等,且橢圓c的焦點在y軸上.

(1)求橢圓C］的半長軸長、半短軸長、焦點坐標及離心率；

(2)寫出橢圓C的方程，并研究其性質.

2

22

解:(1)由橢圓G：三+9=1,可得其半長軸長為10,半短軸長為8,焦點

10064

坐標為(6,0),(-6,0),離心率

22

(2)橢圓C2：鼻+3=1?性質如下：

1UU64

①范圍：-肥爛8且-10W朽10;②對稱性:關于x軸、y軸、原點對稱;③頂

點:長軸端點(0,10),(0,-10),短軸端點(-8,0),(8,0);④焦點:(0,6),(0,-6);⑤

離心率:e\.

討論橢圓的幾何性質時,一定要將方程化為標準方程，標準方程

222

能將參數的幾何意義凸顯出來，另外要抓住橢圓中a-b=c這一核心通過典型例題，

關系式.

掌握根據橢圓的基

2222

跟蹤訓練1求橢圓rnx+4my=1(機>0)的長軸長、短軸長、焦點坐本幾何性質及其簡

標、頂點坐標和離心率.

單運用，提升學生數

解:由已知得仝+全=1(加>0),因為0<%2<4序,所以*>需.

m24m2學建模，數形結合，

所以橢圓的焦點在X軸上,并且半長軸長fl=-,及方程思想，發展學

m

生邏輯推理，直觀想

半短軸長6=；,半焦距,=獸，所以橢圓的長軸長2a=3短軸長26=工，

2m2mmm

象、數學抽象和數學

焦點坐標為，頂點坐標為運算的核心素養。

V3L

G，。)，(4，。)，(。，-土)，(喘)，離心率e="智=T

m

22

例2橢圓a+左=1(“>6>0)的兩焦點為勺,々，以勺只為邊作正三角

形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率

為__________.

解析:方法一:如圖，:△。尸1尸2為正三角形,N為。尸2的中點，

???FiNl.FN?:\NF2\=\OF2\=C,

：.|A^Fi|=J|F/2『-WF2『=V4c2-c2=V3c.

由橢圓的定義可知|NFi|+|N&|=2a,

V3c+c=2tz,a」"；』；=^+1=V3-1.

方法二:注意到焦點三角形NFg中,/NR尸2=30。,/N&R=60。,/

FI^F2=90°,則由離心率的焦點三角形公式，可得

_sin4FiN%_sin90°_1_叵

'sinz.NF^+sinZ.NF2F1sin300+sin60°工+在,

22

林.

oA/*

答案:g-i

變式i若例2改為如下:橢圓捺+\=im>6>o）的兩焦點后局以

西&為底邊作等腰直角三角形，其三角形頂點恰好落在橢圓的頂點處，

則橢圓的離心率為_________.

解析:根據等腰直角三角形的特征可知層+。2=4上即-=容

答案號

22

例3已知橢圓今+2=13泌>0）尸1,巳分別是橢圓的左、右焦點橢

az

圓上總存在點P使得尸尸則橢圓的離心率的取值范圍

為__________.

解析:由尸尸1LPP2,知/2是直角三角形，

所以|OP|=c?，即。2次2",所以a<V2c.

因為e=￡,O<e<l,所以學S?<1.

a2

答案欄,1）

求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法

（3）方程法:若a,c的值不可求，則可根據條件建立關于a,b,c的關系式，

222

借助于a=b+c，轉化為關于a,c的齊次方程（或不等式），再將方程（或

不等式）兩邊同除以a的最高次騫，得到關于e的方程（或不等式），即可

求得e的值（或取值范圍）.

⑴直接法:若已知a,c,可直接利用e=￡求解.若已知a,6（或6?可借助于

a

次="+，求出c（或4）,再代入公式e=￡求解.

a

⑵幾何法:若借助數形結合，可挖掘涉及幾何圖形的性質,再借助

/=/+廿,找到a與c的關系或求出a與c,代入e=￡即可得到.

a

跟蹤訓練2(1)已知橢圓/+、=l(a>b>0)過點(1,迎),其離心率的取值

范圍是住,?］,則橢圓短軸長的最大值是()

A.4B.3C.VT1D.2V3

22

⑵設B,F2分別是橢圓E*+卷=1(°>6>0)的左、右焦點,P為直線

a"

x=￥上一點，△/2PB是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率

為__________.

解析:⑴由題意，可得5+卷=1，即?2--

az匕”-2

2

222h

因為/=/+°2,所以標=毯h=恐1=3積離心率的取值范圍是

b2-2

［評］，所以上3/2號解得問|,亨］,

所以橢圓短軸長的最大值是亞?

⑵由題意，知/F2FIP=ZF2PF1=3O°,/.ZPF^=60°.：,

|尸尸2|=2x(|a-c)=3a-2c.：|尸uZcJBFzl=|尸產2］,六3a-2c=2c,；.e=￡=

7答案：(1)C(2)f

44

22

(3)已知橢圓C:京+琶=13>6>0)的左、右焦點分別為用/2,右頂點為

A,上頂點為民若橢圓C的中心到直線AB的距離為"回民|,求橢圓C

6

的離心率.

解：由題意知4(。,0),8(0力)，從而直線AB的方程為?+?=1,即

bx+ay-ab-0,又|FIF2|=2C,■,=—c.b2=a2-c2,

Vaz+Z7z3

3(z4-7a2c2+2c4=0,

解得cr=2c?或3a2=/(舍去),；.e=j.

例4.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實現了中國人

民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為

橢圓的一個焦點，如右圖所示.假設航天員到地球表面的最近距離為

d，最遠距離為d,地球的半徑為R,我們想象存在一個鏡像地球，其中心

12

在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面發射某種神秘信號，需要

飛行中的航天員中轉后地球上的人才能接收到,則傳送神秘信號的最

短距離為()

A.d+d+RB.d-d+2RC.d+d-2RD.d+d

12212112

22

解析:設橢圓的方程為京+竟=l(a>6>0),半焦距為C,

兩焦點分別為飛行中的航天員為點P,

由已知可得］，［。則2a=4+凌+2尺，

故傳送神秘信號的最短距離為|PPiI+|尸&園R=2a-2R=&+必.

答案:D

三、達標檢測

1.已知點(3,2)在橢圓/+3=1上，則()

A.點(-3,-2)不在橢圓上B.點(3,-2)不在橢圓上

通過練習鞏固本

C.點(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上

節所學知識，通過學

解析:由橢圓以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心可知，點在橢

(-3,2)生解決問題，發展學

圓上，故選C.

生的數學運算、邏輯

答案:C

22推理、直觀想象、數

2.設AB是橢圓今+卷=l(a>6>0)的長軸，若把線段AB分為100等份，

學建模的核心素養。

過每個分點作AB的垂線，分別交橢圓的上半部分于點P,P,F

12991

為橢圓的左焦點，則|下川+|尸尸|+|尸尸|+…+|尸尸|+|/2|的值是

111121991

()

A.98aB.99aC.lOOaD.lOltz

解析:由橢圓的定義及其對稱性可知

\FP|+|FP\=\FP|+|FP\=...=\FP|+|FP\=\FA\+\FB\=2a,\F

111991219814915111

P|=a，故結果應為50x2a+|FP|=101a.

150150

答案:D

3.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形，則該橢圓

的離心率為()

A.-B.—C.—D.—

2244

解析:不妨設橢圓的左、右焦點分別為F,F,B為橢圓的上頂點.依題意

12

可知,尸尸是正三角形.???在尸中,[0/|二c,[5尸|二〃,N

OF5=60。,，cos60°=-=,即橢圓的離心率e二;故選A.

2a22

答案:A

\OFTJX

22

4.已知橢圓器+3=1左、右焦點分別為月,巳,上、下頂點分別為歷,民,

則四邊形BF1B2F2的面積為.

解析:根據題意，設四邊形的面積為S,橢圓的標準方程為事+

；=1,其中a=V3,b=迎，貝I]c=V3^2=1,則

f!(-l,0),F2(l,0),BI(0,V2),B2(0,-V2),

即|。尸1|二|。尸2|=1,|。81|=|。82|=魚，

貝I]S=4XSAB10F1=4x(|x|OB!|x|OFI|)=2V2.

答案：2夜

y\

2

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